29.09.2023

Сьогодні

Урок

№ 20

Найбільший спільний дільник (НСД)

Математика

Розділ І. Подільність натуральних чисел

981 : 9

38 х 7

29.09.2023

Сьогодні

Математичні приклади. Гра у сніжки

279 : 9

37х 7

989 – 899

708 – 88

266

31

259

90

109

620

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Найбільший спільний дільник (НСД)

29.09.2023

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

ПЕРЕВІРЯЄМО

ДОМАШНЄ

ЗАВДАННЯ

118. 1) 1; 2; 5; 10; 13; 26; 65; 130;

2) 3; 7; 9; 21; 27; 63; 189.

120. Дільники 119: 1; 7; 17; 119

Відповідь: 17 платформ; 7 контейнерів.

122. 1) 1155

2) 230

128. Так. 23 = 15 + 8; 41 = 21 + 20.

​

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Алгоритм Евкліда (також називається евклідів алгоритм) — ефективний метод обчислення найбільшого спільного дільника (НСД). Названий на честь грецького математика Евкліда, котрий описав його в книгах VII та X Начал. Найбільший спільний дільник двох чисел це найбільше число, що ділить обидва дані числа без остачі. Алгоритм Евкліда заснований на тому, що НСД не змінюється, якщо від більшого числа відняти менше.

Цікаво знати

Евклід

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Наприклад, 21 є НСД чисел 252 та 105 (252 = 21 × 12; 105 = 21 × 5); оскільки 252 − 105 = 147, НСД 147 та 105 також 21. Оскільки більше з двох чисел постійно зменшується, повторне виконання цього кроку дає все менші числа, поки одне з них не дорівнюватиме нулю. Коли одне з чисел дорівнюватиме нулю, те, що залишилось, і є НСД. Обертаючи кроки алгоритму Евкліда у зворотний порядок, НСД можна виразити як лінійну комбінацію даних чисел помножених на цілі коефіцієнти, наприклад 21 = 5 × 105 + (−2) × 252. Ця важлива властивість відома як рівняння Безу.

Анімація алгоритму Евкліда для чисел 252 та 105. Рисочки відповідають числам кратним 21, найбільшому спільному дільникові (НСД). На кожному кроці менше число віднімають від більшого, поки одне з них не дорівнюватиме нулю. Число, що лишилось і є НСД.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Найбільший спільний дільник чисел a і b позначають так: НСД (a; b).

Наприклад, можна записати, що НСД (32; 24) = 8

Поняття про найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з цих чисел.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Задача 1. Знайти НСД (630; 1470).

Розв’язання. Розкладемо числа 630 і 1470 на прості множники і підкреслимо ті з них, які є спільними в обох розкладах:

630 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7;

1470 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7.

Отже, НСД (630; 1470) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.

Відповідь: 210.

630 2

315 3

105 3

35 5

7 7

1

​

1470 2

735 3

245 5

49 7

7 7

1

Найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних простих множників розкладу цих чисел

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Задача 2. Знайти НСД (60; 140; 220).

Розв’язання.

Маємо: 60 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5; 140 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7;

220 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 11.

Отже, НСД (60; 140; 220) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20.

Відповідь: 20

Найбільший спільний дільник кількох чисел дорівнює добутку спільних простих множників розкладу цих чисел

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Задача 3. Знайти НСД (8; 64; 320).

Розв’язання. Оскільки числа 64 і 320 діляться на 8, то НСД (8; 64; 320) = 8. Відповідь: 8.

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел, достатньо:�1) Розкласти ці числа на множники.�2) Виписати всі спільні прості множники у знайдених розкладах і обчислити їх добуток.

Якщо серед даних чисел є дільник усіх інших з даних чисел, то він і буде найбільшим спільним дільником цих чисел. Якщо розклади чисел на прості множники не мають спільних множників, то найбільшим спільним дільником цих чисел є число 1

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Наприклад, числа 12 і 35 — взаємно прості, адже НСД (12; 35) = 1. Числа ж 15 і 18 не є взаємно простими, бо мають спільний дільник — число 3.

Поняття про взаємно прості числа

Два натуральні числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1, називаються взаємно простими числами.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 141.

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

1) 16 і 24; 2) 15 і 60; 6) 12, 18 і 24.

1

рівень

Підручник.

Сторінка

41

Робота з підручником

Розв’язання

1. 16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 2⁴, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 =2³ ∙ 3;

НДС(16; 24)=2³=8;

2) 15 = 3 ∙ 5 , 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 5;

НДС(16; 60) = 3 ∙ 5 = 15 ;

6) 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 , 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2∙ 3;

НДС(12; 18, 24) = 2 ∙ 3 = 6 .

​

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 144.

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

1) 42 і 105; 2) 588 і 252; 3) 680 і 612.

1

рівень

Підручник.

Сторінка

42

Робота з підручником

Розв’язання

1. 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7, 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7;

НДС(42; 105)= 3 ∙ 7 = 21;

2) 588 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 7 , 252 = 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙7;

НДС(588; 252) = 2 ∙ 2· 3 ∙ 7 = 84 ;

6) 680 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 17 , 612 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 17;

НДС(680; 612) = 2 ∙ 2∙ 17 = 68 .

​

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 146.

Серед наведених пар чисел виберіть пари взаємно простих чисел:

1) 14 і 21; 2) 54 і 65.

Для пар чисел, які не є взаємно простими, укажіть їхній НДС

1

рівень

Підручник.

Сторінка

42

Робота з підручником

Розв’язання

1. 14 = 2 ∙ 7, 21 = 3 ∙ 7;

НДС(42; 105)= 7 – не взаємно прості.

2) 54 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 , 65 = 5 ∙ 13;

НДС(54; 65)= 1 – спільний дільник відсутній, тому числа взаємно прості.

​

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 149.

Складіть усі пари взаємно простих чисел із чисел 12, 14, 33, 25.

1

рівень

Підручник.

Сторінка

42

Робота з підручником

Розв’язання

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3

14 = 2 ∙ 7

33 = 3 ∙ 11

25 = 5 ∙ 5

Взаємно прості є : 12 і 25; 14 і 33; 14 і 25; 33 і 25.

​

29.09.2023

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацюй підручник сторінки 38-43.

Виконай завдання:

№. 148, 150.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Знайди найбільший спільний дільник чисел a і b,якщо: 1) a = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 17, b = 2 ∙ 5 ∙ 13;

2) a = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 19, b = 3 ∙ 3 ∙ 11

1

рівень

Розв’язання

1. a = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 17 = 3570, b = 2 ∙ 5 ∙ 13 =130;

НДС(3570; 130)=2∙5=10;

2) a = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 19 = 1710, b = 3 ∙ 3 ∙ 11=99;

НДС(1710; 99)= 3 ∙ 3 = 9 .

​

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Знайди найбільший спільний дільник чисел:

1) 78 і 195; 2) 35 і 18; 3) 210 і 120;

2

рівень

Розв’язання:�1) 78 = 2 · 3 · 13; 195 = 3 · 5 · 13; НДС (78;195)= 3 · 13=39;

2) 35 = 5 · 7; 18 = 2 · 3 · 3 ; НДС (35;18) = 1;

3) 210 = 2 · 3 · 5 · 7; 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5; НДС(210;120)=2·3·5=30�

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Знайди найбільший спільний дільник чисел:

4) 735 і 70; 5) 4, 24 і 32; 6) 36, 54 і 72.

2

рівень

Розв’язання:�1) 735 = 3 · 5 · 7 · 7; 70 = 2 · 5 · 7; НДС (735;70)= 5 · 7 = 35;

2) НДС (4;24;32) = 4 (число 4 ділиться на 24 і 32);

3) 36 = 2 · 2 · 3 · 3; 54 = 2 · 3 · 3 · 3; 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3;

НДС(36;54;72)=2· 3· 3=18.�

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Запиши три числа, які з числом 12:

1. є взаємно простими;
2. не є взаємно простими.

2

рівень

Розв’язання:�1)13, 15, 17;

2) 14, 16, 18.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Чи є взаємно простими числа:

1) 3 і 100; 2) 35 і 133; 3) 143 і 209; 4) 2010 і 2012

2

рівень

Розв’язання:�1) НДС (3 ; 100) = 1 – взаємно прості;

2) НДС (35 і 133) = 7 – не взаємно прості;

3) НДС (143 і 209)= 11 – не взаємно прості;

4) НДС (2010 і 2012)= 2– не взаємно прості.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна скласти з 72 цукерок «Волошка» і 60 цукерок «Троянда», використавши всі цукерки?

3

рівень

Розв’язання:�1)Дільники 72 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

2)Дільники 60 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

3) НСД (72; 60) = 12

Відповідь. 12 подарунків.

29.09.2023

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

У п’ятих класах 24 хлопці і 36 дівчат. Їх поділили на групи для вивчення іноземних мов так, щоб у кожній групі була однакова кількість дівчат і хлопців. На скільки груп поділили п’ятикласників, якщо груп більше ніж 7?

4

рівень

Розв’язання:

1) Спільні дільники чисел 24 і 36: 1; 2; 3; 4; 6 і 12.

Оскільки кількість груп більша за 7, то їх 12.

Відповідь. 12.

29.09.2023

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Запишіть чотири числа, які з числом 15:

• є взаємно простими;
• не є взаємно простими.

Завдання на закріплення матеріалу

29.09.2023

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Між дітьми розподілили порівну 155 цукерок і 62 печива. Скільки дітей одержали солодощі?

29.09.2023

Сьогодні

Індивідуальна робота

Для студентського гуртожитку придбали 108 настільних ламп та 144 стільці, які розподілили порівну по всіх кімнатах. Скільки кімнат у гуртожитку, якщо їх більше ніж 14, але менше від 31.

29.09.2023

Сьогодні

Завдання підвищеної складності

Знайдіть останню цифру числа:

1. 10¹⁹; 2) 5²⁰²²;

3) 3¹⁵; 4) 2²⁰²⁴.

Задачі на логіку:

Оціни роботу за допомогою фразеологізмів

29.09.2023

Сьогодні

Працювали так, що аж дим ішов.

Інформація була такою, що аж молоко кисне.

Я сьогодні на уроці бив байдики.

Ми були на коні.

Чудово ляси поточили.

Узяли нові знання, як бика за роги.