기호논리학
제9주: 술어논리의 언어
술어논리의 필요성
왜 술어 논리가 필요한가? 다음 논증들을 고찰해 보자:
모든 사람은 아담을 사랑한다.
따라서 이브는 아담을 사랑한다.
이브는 아담을 사랑한다.
따라서 어떤 사람은 아담을 사랑한다.
먼저 첫 번째 논증을 살펴보자. 이 논증은 직관적으로 타당하다. 그리고 두 번째 논증도 마찬가지다. 그런데 우리는 이 논증들의 타당성을 문장 논리만으로 증명할수 없다. 왜냐하면 이 논증들의 타당성은 논증 속에 나타나는 문장들의 내부구조에 의존하는데, 문장논리는 이러한 내부구조를 다룰 수 없기 때문이다. 따라서 우리는 그런 내부구조를 다룰 수 있는 논리학을 필요로 한다.
일항술어
(1 ) 소크라테스는 철학자이다.
(2) 플라톤은 철학자이다.
(3) 아리스토텔레스는 철학자이다.
이 문장들에 공통된 패턴은 다음과 같다:
‘____는 철학자이다.’
문장 (1)에서 ‘소크라테스’라는 이름을 제거하고 그 자리를 공란으로 남기면 우리는 이 패턴을 얻을 수 있다. 여기서 ‘___는 철학자이다’라는 표현은 일종의 술어이며, 이 술어 안에 공란이 하나만 있기 때문에 우리는 이 술어, 그리고 유사한 다를 술어들을, ‘일항 술어’ (one-place preclicate) 라고 부를 것이다.
일항술어의 기호화
이때 우리는 공란 대신에 변항(variable)을사용할 수 있다. 즉, 위 일항 술어를 다음같이 표현할 수 있다:
x는 철학자이다.
앞으로 우리는 술어를 기호화하기 위해 영문 대문자를 사용할 것이다. 그리고 이름을 기호화하기 위해 소문자를 사용할 것이다. 예컨대, ‘소크라테스,' 'x는 철학자다,' ‘소크라테스는 철학자이다'는 다음처럼 기호화된다:
s: 소크라테스.
Px: x는 철학자이다.
Ps: 소크라테스는 절학자이다.
이항술어
아담은 이브를 사랑한다.
로미오는 줄리엣을 사랑한다.
이 문장들에서 이름들을 제거하면, 다음 패턴을 얻게 된다:.
___은 ___을 사랑한다.
이 술어에는공란이 둘 있기 때문에 이와 유사한 술어를 앞으로 ‘이항술어’ (two-place predicate)라고 부를 것이다. 이런 경우 완전한 문장을 얻으려면 두 이름들을 채워 넣어야 한다.
이항술어의 기호화
앞 슬라이드의 문장들은 다음과 같이 기호화할 수 있다:
이름들
a: 아담 e: 이브 r: 로미오 j: 줄리엣.
이항술어:
Lxy: x는 y를 사랑한다.
문장들:
Lae: 아담은 이브를 사랑한다.
Lrj: 로미오는 줄리엣을 사랑한다.
순서의 중요성
문장 'Lea' 는두 이름 'e’와 'a’가 지칭하는 두 대상들 사이에 'L’에 의해서 표상되는 관계를 기술한다. 이때 이름들의 순서는 중요하다. 왜냐하면 'Lea’는 이브는 아담을 사랑한다는 문장인 반면, ‘Lae’는 아담이 이브를 사랑한다는 문장이기 때문이다. 따라서 이 두 문장들은 서로 다른 뜻을 나타낸다.
논항
술어 기호 다음에 나타니는 이름이나 변항들은 보통 ‘논항(argument)'이라고 불린다. 예컨대, 문장 'Lea'의 첫번째 논항은 'a'이고, 두번째 논항은 'e'이다.
그런데 때때로 우리는 논항이 가리키는 사물을 '논항'이라고 부르기도 한다. 이런 뜻으로는, 위 문장의 첫 번째 논항은 이브이고, 두 번째 논항은 아담이다.
삼항술어
이항 술어뿐만 아니라 삼항 술어 (three-place predicate)도 존재한다. 삼항 술어의 한 예는 다음과 같다:
길수는 미애와 윤주 사이에 있다.
이 문장과 그 관련표현들은 다음과 같이 기호화할 수 있다:
이름- g: 길수 m: 미애 j: 윤주
술어- Bxyz
문장- Bgmj
사실상 이론적으로 임의의 자연수 n에 대해 n항 술어가 가능하다. 지금까지 소개한 새로운 논리는 이처럼 술어들을 고려하기 때문에, ‘술어 논리'라고 부른다.
연습문제
다음 문장들을 술어논리의 문장으로 번역하시오:
(1) 이브는 아담을 사랑하거나 또는 금발이 아니다.
(2) 아담은 스스로를 사랑하며, 만일 이브가 금발이라면
아담은 이브도 사랑한다.
(3) 길수는 윤주와 혜영 둘 다 사랑한다.
(4) 길수는 윤주 또는 혜영을 사랑한다.
(5) 이브는 아담을 사랑하지만, 그렇다고 그와
결혼하지는 않을 것이다.
양화사와 변항
다음과 같은 가능세계를 생각해 보자:
여기서 "가능세계"란 세계가 존재할 수 있었던 한 가지 방식을 말한다. 즉 말 그대로 "가능한 세계"이다.
논의영역
여기서 논의영역은 {소크라테스,플라톤,아리스토텔레스}다.
"논의영역"이란 변항, 예를 들어 "x"의 값이 될 수 있는 모든 대상들의 집합이다.
논의영역
여기서 논의영역은 {소크라테스,플라톤,아리스토텔레스}다.
"논의영역"이란 변항, 예를 들어 "x"의 값이 될 수 있는 모든 대상들의 집합이다.
가능세계와 문장의 평가
이 가능세계에서 다음 문장은 참인가 거짓인가?
(1) 모든 x에 대하여 x는 철학자이다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
논의영역의 모든 대상들이 "x는 철학자이다"를 만족한다.
(1) 모든 x에 대하여 x는 철학자이다
는 따라서 참이다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
다음 문장은 어떨까?
(2) 모든 x에 대하여 x는금발이다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
논의영역에서 플라톤은 "x는 금발이다"를 만족하지 않는다.
(2) 모든 x에 대하여 x는 금발이다
는 따라서 거짓이다. 아리스토텔레스를 반례로 써도 된다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
다음 문장은 어떨까?
(3) 어떤 x에 대하여, x는 철학자이다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
소크라테스는 "x는 철학자이다"를 만족한다. 따라서
(3) 어떤 x에 대하여, x는 철학자이다
는 맞다. 플라톤이나 아리스토텔레스를 예로 쓸 수도 있다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
다음 문장은 어떨까?
(4) 어떤 x에 대하여, x는 금발이다.
가능세계와 문장의 평가 (계속)
소크라테스는 "x는 금발이다"를 만족한다. 따라서
(4) 어떤 x에 대하여, x는 금발이다.
는 맞다. 플라톤이나 아리스토텔레스를 예로 쓸 수 있을까?
보편양화사
앞의 상황들을 기술하기 위해서 다음 기호들을 도입하자:
Px: x는 철학자이다.
Bx: x는 금발이다.
그러면 (1)-(4)는 어떻게 기호화할 수 있을까? 두 가지 기호가 새로 필요하다:
(a) "술어 'Px'가 모든 대상에 의해 만족된다"라고 말하기 위해서는 "(∀x)Px"라고 쓴다. 이것은 보통 ‘모든 x에 대하여 Px’ 또는 영어로 ‘for all x, Px’ 라고 읽는다. 여기서 기호 "∀"를 "보편 양화사(universal quantifier)"라고 부른다.
존재양화사
(b) "술어 'Px'를 만족하는 적어도 하나의 대상이 존재한다" 는 것을 표현하기 위해 우리는 ‘(∃ x)Px’ 라고 쓸 것이다. 이것은 ‘어떤 x에 대하여 Px’ 또는 영어로 "For some x, Px" 라고 읽는다. 여기서 기호 ‘∃’는 "존재양화사"(existential quantifier) 라고 부른다.
예 1
이제 다음 문장함수들을 생각해 보자 (문장함수란?):
Mx: x는사람이다.
Bx: x는 검은 눈동자를 가지고 있다.
그러면 다음 문장은 무엇을 표현하는가? 참인가 거짓인가?
(∃ x)(Mx&Bx)
이 문장은 문장 함수 "Mx"와 "Bx"를 모두 만족하는 대상이 적어도 하나 있다는 것을 뜻한다. 일상적으로 말하면, 이 문장은 "검은 눈동자를 가진 사람이 존재한다" 는 것을 표현한다. 띠라서 이 문장은 우리 세계에 관해 참이다.
(∀x)(Mx→Bx)
이 문장은 무엇을 표현하는가? 참인가 거짓인가?
예 2
이제 다음 문장을 고려해 보자:
모든 사람은 이브를 사랑한다.
우리는 어떻게 이 문장을 술어 논리의 문장으로 기호화할 수 있는가? "x는 사람이다"를 "Hx"로, "x는 y를 사랑한다"를 "Lxy"로, 그리고 "이브"를 "e"로 기호화하자. 그러면
(∀x)(Hx→Lxe)
로 위 문장을 기호화할 수 있다. 다음 문장은 어떨까?
이브를 사랑하는 사람이 있다.
같은 기호를 쓰면,
(∃ x)(Hx&Lxe)
로 두번째 문장을 기호화할 수 있다.
연습문제
다음 정언진술들을 기호화하시오:
(1) 모든 마녀들은 빗자루를 타고 난다.
(All witches fly on broomsticks.)
(2) 어떤 마녀들은 빗자루를 타고 날지 않는다.
(Some witches do not fly on broomsticks.)
(3) 어느 마녀도 빗자루를 타고 날지 않는다.
(No witches fly on broomsticks.)
(4) 어떤 마녀들은 빗자루를 타고 난다.
(Some witches fly on broomsticks.)
술어논리의 구문론
기본기호
이름: a, b, c, ...
변항: x, y, z, ...
술어: Bx, Px, ...
2항술어: Lxy, ...
3항술어: Txyz, ...
연결사: ~, &, v, →, ↔
양화사: ∀ (보편 양화사), ∃ (존재 양화사)
괄호: ), (
항
모든 이름들과 변항들은 항(term)이다.
술어논리의 구문론 (계속)
단순적형식
만일 F가 n항술어이고 t1,..., tn이 각각 항이면 Ft1...tn은 단순적형식이다.
술어논리의 구문론 (계속)
적형식
(1) 모든 단순적형식들은 적형식이다.
(2) 만일 ‘A’가 적형식이면, ‘(~A)'도 적형식이다.
(3) 만일 ‘A’와 ‘B’가 적형식이면, ‘(A&B)’도 적형식이다.
(4) 만일 ‘A’와 ‘B’가 적형식이면, ‘(AvB)’도 적형식이다
(5) 만일 ‘A’와 ‘B’가 적형식이면, ‘(A→B)’도 적형식이다.
(6) 만일 ‘A’와 ‘B’가 적형식이면, ‘(A↔B)’도 적형식이다.
(7) 만일 ‘A’가 적형식이고 ‘x’가 변항이면, ‘(∀x)A’도
적형식이다.
(8) 만일 ‘A’가 적형식이고 ‘x’가 변항이면, ‘(∃x)A’도
적형식이다.
술어논리의 구문론 (계속)
구속변항
만일 변항 'x'의 한 사례(token)가 양화사의 적용 범위 내에서 발생하면, 그 'x'의 사례(token)는 구속되어 있다고 말한다.
자유변항
만일 x의 한 사례가 구속되어 있지 않으면, 그 x의 사례는 자유롭다고 말한다.
예 :
(1) (∀ x)Lxe : 'x'는 이 문장 속에서 구속되어 있다.
(2) (∀ x)Lxy: 이 적형식 속에서 'x'는 구속되어 있지만,
'y'는 자유롭다.
술어논리의 구문론 (계속)
만일 X가 (i) 적형식이고 (ii) 자유변항을 포함하지 않는다면, X는 문장(sentence)이다.
예:
Ba, Lae, (∀ x)Bx
연습문제
다음 적형식들에서 구속변항과 자유변항을 지적하시오. 그리고 이 적형식들 가운데서 문장들을 골라내시오.
(1) (∀ x)(Lxa→~By)
(2) Bx&~(∀ y)(Lya→~Ba)
(3) (∃ x)(Lax&(∃ y)(Lyx&~Lyx)).
(4) (∃ x)Bx&(∀ y)(Lyx→Lxy).