ΟΙ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΔΙΝΟΥΝ «ΛΥΣΗ» ΣΤΟ ΔΗΛΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
από τον μαθηματικό Μόσχο Αλέξανδρο
Το Δήλιο πρόβλημα
Το 430 π.Χ το ιερό νησί της Δήλου μαστιζόταν από
ένα φοβερό λοιμό. Οι Δήλιοι κατέφυγαν στο μαντείο,
προκειμένου να μάθουν τι πρέπει να κάνουν για να
εξευγενίσουν τον θεό Απόλλωνα. Ο χρησμός του
μαντείου υποδείκνυε να κατασκευάσουν ένα νέο βωμό
για τον θεό Απόλλωνα που να έχει διπλάσιο όγκο από
τον υπάρχον.
ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΥΒΟΥ
Το Δήλιο πρόβλημα λέγεται και «πρόβλημα διπλασιασμού κύβου». Μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
«Δίνεται κύβος ακμής α. Να κατασκευαστεί κύβος που να έχει διπλάσιο όγκο από τον αρχικό».
Το πρόβλημα αυτό ισοδυναμεί με την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη:
Δοθέντος ενός τμήματος α (ακμή του αρχικού κύβου) να κατασκευαστεί τμήμα x (ακμή του νέου κύβου) ώστε να ισχύει : x3 = 2α3
Η συμβολή του Ιπποκράτη του Χιου
Ο Ιπποκράτης ο Χίος (περίπου το 430 π.Χ)
ανήγαγε το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου
στην κατασκευή δύο τμημάτων x, y τέτοιων ώστε:
, στην κατασκευή δύο μέσων αναλόγων
Πράγματι οι παραπάνω ίσοι λόγοι δίνουν με χιαστί
και απαλοιφή του y δίνουν x3 = 2α3
Η κατασκευή μίας μέσης αναλόγου
Η κατασκευή της μίας μέσης αναλόγου , αφορούσε την κατασκευή τμήματος x
τέτοιου ώστε: , όπου α , β γνωστά ευθύγραμμα τμήματα. Η κατασκευή αυτή
ήταν δυνατή με κανόνα και διαβήτη και δημιούργησε προσδοκίες ότι θα είναι
κατασκευάσιμοι και οι δύο μέσοι ανάλογοι.
O Μέναιχμος�
Η λύση του Μέναιχμου
Ο Μέναιχμος ( περίπου στα 350 π.Χ) έδωσε λύση στο
Δήλιο πρόβλημα με τη μορφή της κατασκευής δύο
μέσων ανάλογων με τη βοήθεια των κωνικών τομών
Από τη σχέση έχουμε: y2 = 2αx (1) και
xy = 2α2 ⬄ y = (2). Άρα τα μήκη x,y μπορούν να
θεωρηθούν ως οι συντεταγμένες του σημείου τομής
της παραβολής (1) και της υπερβολής (2).
Η λύση γραφικά
Η αξία της λύσης Μέναιχμου