Логарифм числа a по основанию b равен показателю степени равен показателю степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (если , то , где b>0 и b≠1, a>0). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (если , то , где b>0 и b≠1, a>0). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (число Эйлера) — натуральные логарифмы (ln a) и по основанию 10 — десятичные логарифмы (lg a), а также двоичные логарифмы (lg2 a), которые применяются в теории информацииa), которые применяются в теории информации и информатике.

Свойства Логарифмов.

​

​

​

7) Формула перехода к новому основанию:

​

Десятичный логарифм:

lga = log₁₀a

Натуральный логарифм:

lna = log_ea, e ≈ 2,718…

Натуральный логарифм

При справедливо равенствo:

​

​

​

​

​

Эта формула не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится, и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

​

​

​

​

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа z.

​

​

В частности,

Десятичные Логарифмы.

• Логарифмы по основанию 10 (обозначение lg a) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если
• а = b · 10n
• то
• lg a = lg b + n
• Поэтому, если составить таблицы логарифмовПоэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную).
• И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество
• 10x = 10{x} · 10[x]
• где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.
• Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

Доказательство свойств:

1)

Доказательство. Так как , то, по определению логарифма получим доказываемое равенство.

​

2)

Доказательство:

​

3)

Доказательство:

​

.

nR

.

​

​

4) b > 0, b  1 (формула «перехода» от одного основания логарифма к другому).

​

5) Доказательство. Пусть тогда x = .

​

Следовательно что и т. д

​

Следствие k  0 , так как

​

По аналогии можно получить формулу «перехода» к другому основанию для показательной функции:

=

Леонард Эйлер.

• Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15 апреля; 4 (15 апреля) 1707; 4 (15 апреля) 1707, Базель; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург) — выдающийся математик; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург) — выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург) — выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург) — выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики; 4 (15 апреля) 1707, Базель — 7 (18 сентября) 1783, Санкт-Петербург) — выдающийся математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
• Эйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализуЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрииЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чиселЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениямЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механикеЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физикеЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптикеЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистикеЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроениюЭйлер — самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших значительное влияние на развитие науки. С точки зрения математики, XVIII век — это век Эйлера.
• Если до Эйлера достижения в области математики представляли собой разрозненные вспышки гения, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».
• Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  гПочти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-ПетербургПочти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в РоссиюПочти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии НаукПочти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 гг. работал в БерлинеПочти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726  г. был приглашён работать в Санкт-Петербург, в 1727 г. переехал жить в Россию. В 1731—1741 и начиная с 1766 гг. был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741—1766 гг. работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть свои сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России [1].
• В честь Эйлера назван кратерВ честь Эйлера назван кратер на Луне

Число Эйлера. Экспанентная функция.

• Число e.
• Значение числа e равно следующему пределу:��e = lim(1+1/N), при N → ∞.��С точностью 17 знаков число e равно 2.71828182845904512.��Равенство Эйлера.
• Это равенство связывает пять чисел, играющих особую роль в математике: 0, 1, число e, число пи, мнимую единицу.�� + 1 = 0��Экспоненциальная функция exp (x)
• �exp(x) =
• �Производная экспоненциальной функции
• Экспоненциальная функция обладает замечательным свойством: производная функции равна самой экспоненциальной функции:��(exp(x))' = exp(x)�

Задачи с логарифмами.

Доказать без помощи таблиц, что:

+ > 2.

Пусть log2 = a и log5 = b. Тогда 2^a= и 5^b= , т.е. = 2 и = 5. Поэтому =2*5 = 10. Учитывая, что < 10, получаем требуемое.