Wilcoxon signed-ranks test

Uji peringkat bertanda Wilcoxon

Pendahuluan

• Uji peringkat bertanda Wilcoxon memanfaatkan informasi tambahan dalam menguji hipotesis tentang median, yaitu dengan mengurutkan perbedaan antara hasil pengukuran sampel dengan nilai median dalam hipotesis
• Asumsi
• Sampel yang dianalisis adalah sampel acak berukuran n dari suatu populasi dengan nilai median θ tidak diketahui
• Variabel diukur dalam suatu skala yang kontinu
• Populasi simetris
• Skala pengukuran minimal berskala interval
• Pengamatan bersifat independen

Hipotesis

• Hipotesis yang diuji berkaitan dengan median populasi, H₀: θ = θ₀
• Hipotesis alternatif dapat berupa hipotesis satu arah, yaitu H₁: θ > θ₀ atau H₁: θ < θ₀ atau hipotesis dua arah, yaitu H₁: θ ≠ θ₀ ,
• Statistik uji yang digunakan tergantung pada H1

​

Statistik uji

Uji satu arah (H₁: θ < θ₀)

Uji satu arah (H₁: θ > θ₀)

Distribusi bagi W

Contoh 5

Contoh 6

• Gunakan data dalam Contoh 1 untuk menguji apakah kita mempunyai cukup bukti untuk menyatakan bahwa median IQ penyalahguna narkotika tidak sama dengan 107? Gunakan α = 0,05.

Contoh 6…

Large sample approximation

Large sample approximation

Adjustment for ties

Contoh 7

The following data show the life span, in years, of a random sample of 21 recorded deaths in a certain country. It has been known in the past years that the median life span in the country is 50 years. Can we conclude from these data that the median life span in the country has improved? Use α = 0.05

39 42 42 47 47 53 59 59 59 60 62 65 66 68 69 70 72 75 75 85 90

Selang kepercayaan bagi median dengan uji peringkat bertanda Wilcoxon

Contoh 8

Uji Binomial

a) Uji satu arah

b) Uji satu arah

c) Uji dua arah

Contoh 9

• In a survey of injection drug users in a large city, Coates et al. (1991) found that 2 out of 12 were HIV positive. We wish to know if we can conclude, at the 10% level of significance, that fewer than 40% of the injection drug users in the sampled population are HIV positive.
• Jawab

Parameter yang diminati adalah p, proporsi pengguna narkoba suntikan dalam populasi sampel yang positif HIV. Hipotesis yang akan diuji adalah H₀: p = 0,4 vs H₁: p < 0,4 pada taraf nyata α = 0,10.

Statistik uji adalah S, yaitu jumlah pengguna narkoba suntikan yang HIV positif. Jika H₀ benar maka S berdistribusi binomial dengan parameter n = 12 dan p = 0,4.

​

Contoh 9…

Large sample approximation

Contoh 10

• A commonly prescribed drug for relieving nervous tension is believed to be only 60% effective. Experimental results with a new drug administered to a random sample of 100 adults who were suffering from nervous tension show that 70 received relief. Is this sufficient evidence to conclude that the new drug is superior to the one commonly prescribed? Use α = 0.05.
• Jawab

Parameter yang diminati adalah p, proporsi orang dewasa yang sembuh dari ketegangan saraf setelah menjalani pengobatan dengan obat baru tersebut. Hipotesis yang ingin diuji adalah H₀: p = 0,6 vs H₁: p > 0,6 pada taraf nyata 0,05.

Contoh 10…

Large sample confidence interval for p

Contoh 11

Uji Chi-kuadrat

Contoh 12

Seorang mahasiswa Fakultas Peternakan, melakukan penelitian yang berkaitan dengan “Volume Penjualan Feed Aditive yang Dijual dalam Kemasan Berbeda dari Sebuah Poultry Shop”. Toko yang diteliti adalah yang menjual feed aditive dalam 4 macam kemasan yaitu Kemasan Jenis 1, Jenis 2, Jenis 3, dan Jenis 4. Feed aditive yang dijual berasal dari produsen yang sama serta memiliki kualitas yang sama pula, tetapi berdasarkan pengamatan sekilas di lapangan peneliti memperkirakan, bahwa feed aditive yang dijual dalam jenis kemasan tertentu lebih banyak terjual dibandingkan dengan jenis kemasan lainnya. Pengukuran dilakukan dengan cara mencatat jenis kemasan yang paling banyak terjual setiap hari.

Contoh 12….

Penelitian dilakukan selama 40 hari.

Hipotesis penelitian ini adalah :

Ho : p1 = p2 = p3 = p4

H1 : paling sedikit ada sepasang p yang tidak sama.

Taraf nyata atau tingkat signifikansi (level of significance) pengujian yang digunakan adalah α = 0,01.

Dari hasil penelitian selama 40 hari (40 kali pengamatan), frekuensi feed aditive yang paling banyak terjual dari masing-masing jenis kemasan dapat dilihat pada Tabel berikut

Frekuensi Feed Aditive yang Paling Banyak Terjual Berdasarkan Jenis Kemasannya

Contoh 12 …

Uji Kolmogorov-Smirnov Sampel Tunggal

Contoh 13

Seorang mahasiswa Fakultas Peternakan, melakukan penelitian yang berkaitan dengan “Keinginan Beternak Sapi Perah Menurut Skala Usaha Tertentu”.

Peternak yang diteliti 10 orang, sedangkan skala usaha yang menjadi pilihan mereka terdiri dari : ≤ 2 ekor, 3-4 ekor, 5-6 ekor, 7-8 ekor, > 8 ekor. Masing-masing skala usaha berturut-turut diberi ranking 1, 2, 3, 4, dan 5. Peneliti menduga, akan ada perbedaan dalam pemilihan skala usaha karena berkaitan dengan ketersediaan modal dan tenaga kerja serta efisiensi usaha.

Hipotesis penelitian ini adalah :

Ho : p1 = p2 = p3 = p4 = p5

H1 : paling sedikit ada sepasang p yang tidak sama.

Taraf nyata atau tingkat signifikansi (level of significance) pengujian yang digunakan adalah α = 0,01. Data hasil penelitian terhadap 10 orang peternak, disajikan pada tabel berikut

Contoh 13 …

The One-sample Runs test

• Jika dalam melakukan penelitian diinginkan untuk menarik kesimpulan tentang populasi, maka sampel yang digunakan harus merupakan sampel acak. Oleh karena itu, keacakan suatu sampel perlu diuji. Pengujian didasarkan pada jumlah runs yang ada di dalam sampel. Run didefinisikan sebagai urutan dari symbol yang identik yang diikuti dan didahului oleh symbol yang berbeda. Misalnya serangkaian nilai plus dan minus terjadi dalam urutan berikut:

+ + - - - + - - - + + - - - - - +

Sampel ini dimulai dengan dua tanda plus, diikuti dengan tiga tanda minus, terus satu plus, dan seterusnya. Kita bisa mengelompokkan skor tersebut dengan cara menggaris-bawahi dan menomori setiap urutan symbol yang identik

​

+ + - - - + - - - + + - - - - - +

___ ___ _ ____ ___ ______ _

1 2 3 4 5 6 7

Terlihat ada 7 runs.

Total jumlah run di dalam suatu sampel dengan ukuran sampel tertentu memberikan indikasi apakah sampel tersebut acak atau tidak.

​

Jika jumlah run hanya sedikit bisa menjadi indikasi adanya time trend atau pengelompokan karena lemahnya sifat independent. Jika jumlah run yang terjadi sangat banyak, fluktuasi siklus periode pendek yang sistematis mungkin mempengaruhi nilai-nilai skor. Misalnya dari pelemparan 20 koin timbulnya sisi muka (M) dan sisi belakang (B) sebagai berikut:

M M M M M M M M M M B B B B B B B B B B

Hanya dua run dari 20!!! Tidak mungkin kita simpulkan bahwa koin tersebut seimbang, ada ketidak-independen-an dalam percobaan tersebut. Di lain pihak misalnya hasilnya adalah sebagai berikut:

M B M B M B M B M B M B M B M B M B M B

Dalam kasus ini terlalu banyak run yang kita amati (r = 20). Sehingga kita juga dapat meragukan bahwa percobaan ini fair. Kedua contoh di atas adalah contoh tidak acaknya hasil percobaan.

Kedua contoh tersebut kita nilai berdasarkan urutan, jika kita nilai berdasarkan frekuensi, kita peroleh 10 M dan 10 B, maka dengan menggunakan Uji Binomial atau Uji χ², tidak akan ada alasan untuk menolak hipotesis bahwa koin itu seimbang 🡺 Terima H₀.

• Metode

Misalkan n₁ adalah jumlah unsur dari satu jenis dan n₂ adalah jumlah unsur jenis yang lain. Artinya, untuk contoh tadi n₁ adalah jumlah sisi M dan n₂ adalah jumlah sisi B; atau n₁ adalah jumlah tanda plus dan n₂ adalah jumlah tanda minus. N adalah total jumlah kejadian yang teramati yaitu n₁ + n₂.

Untuk menggunakan Runs Test, amati jumlah n₁ dan n₂ dalam urutan kejadiannya, kemudian tentukan nilai r, yaitu jumlah runs.

Jika n₁ dan n₂ jumlahnya sama, atau lebih kecil dari 20, maka gunakan Tabel F (Siegel, 1956). Tabel F tersebut memberikan nilai kritis r di bahwa H₀ untuk α = 0,05. Nilai-nilai tersebut adalah nilai-nilai kritis dari distribusi sampling r di bawah H₀. Jika nilai r yang diamati terletak antara nilai-nilai kritis, kita terima H₀. Tetapi jika nilai r yang diamati sama atau lebih ekstrim dari salah satu nilai kritis, maka kita tolak H₀.

Diberikan dua tabel, yaitu F_I dan F_II. Tabel F_I memberikan nilai r yang sangat kecil sehingga peluang yang terkait dengan kemunculannya di bawah H₀ adalah p = 0,025. Tabel F_II memberikan nilai r yang sangat besar sehingga peluang yang terkait dengan kemunculannya di bawah H₀ adalah p = 0,025.

Untuk setiap nilai r yang teramati yang nilainya sama dengan atau lebih kecil dari nilai yang tertera dalam Tabel F_I atau bernilai sama atau lebih besar dari nilai yang tertera dalam Tabel F_II, kita tolak H₀ dengan α = 0,05.

Sebagai contoh, untuk pelemparan koin pertama dimana kita mendapatkan dua runs dengan 10 M diikuti dengan 10 B. Maka dalam kasus ini kita mempunyai n₁ = 10, n₂ = 10 dan r = 2. Tabel F menunjukkan bahwa untuk kasus ini, suatu sampel acak diharapkan mempunyai nilai lebih dari 6 run tetapi kurang dari 16. Karena nilai r teramati adalah 2, maka kita tolak H₀ dan kita simpulkan bahwa koin tersebut menghasilkan rangkaian M dan B yang tidak acak. Demikian juga untuk hasil pelemparan koin yang kedua, kita tolak H₀ karena nilai r teramati = 20.

Contoh

• Hipotesis. �H₀: tanda plus dan minus terjadi secara acak. �H₁: tanda plus dan minus terjadi tidak secara acak.
• Statistik uji.�Karena hipotesis yang akan diuji berkaitan dengan sifat keacakan dari suatu urutan pengamatan, maka digunakan one-sample runs test
• Taraf nyata.�Kita gunakan α = 0,05. N = jumlah subyek = 24. Karena skor dikarakterisasi sebagai plus atau minus, tergantung apakah skor tersebut terletak di atas atau di bawah nilai tengah, maka n₁ = 12 dan n₁ = 12.
• Distribusi sampling.�Tabel F_I dan F_II memberikan nilai kritis bagi r
• Daerah penolakan.�Tolak H₀ jika nilai r teramati bernilai lebih kecil atau sama dengan nilai yang bersesuaian dalam Tabel F_I atau bernilai lebih besar atau sama dengan nilai yang bersesuaian dalam Tabel F_II. Untuk n₁ = 12 dan n₁ = 12 dari Tabel F kita peroleh bahwa daerah penolakan terletak jika r lebih kecil dari atau sama dengan 7 atau r lebih besar atau sama dengan 19.
• Kesimpulan�Tabel berikut menunjukkan skor agresi bagi tiap anak, sesuai dengan urutan kejadiannya. Nilai median untuk skor ini adalah 24,5. Setiap skor yang lebih kecil dari median diberi tanda minus dan setiap skor yang lebih besar dari median diberi tanda plus

Dari kolom bertanda plus dan minus kita ketahui ada 10 runs, sehingga nilai r adalah 10. Berdasarkan Tabel F kita tidak menolak H₀ dan menyimpulkan bahwa nilai skor sampel terjadi secara acak.

Large sample

Contoh

• Kesimpulan�Penonton pria (M) dan wanita (F) yang sedang antri di depan loket bioskop disajikan di dalam Tabel berikut