Matematika
MEDIA MENGAJAR
UNTUK SMP/MTs KELAS X
BENTUK ALJABAR DAN OPERASINYA
Sumber:
PETA KONSEP
Bentuk Aljabar dan Operasinya
Bentuk Aljabar dan
Unsur-Unsurnya
Operasi Bentuk
Aljabar
Suku Sejenis dan Tak Sejenis
Hasil Operasi Suku-Suku Bentuk Aljabar
Pecahan Bentuk Aljabar
Hasil Operasi Pecahan Bentuk Aljabar
Penjabaran Suku
Bentuk Aljabar
Hingga Suku Tiga
Penjabaran dan Pemfaktoran
Penyederhanaan
Pecahan Bentuk
Aljabar
Observasi
Aljabar merupakan suatu kaidah penghitungan di mana bilangan yang digunakan diperluas pengertiannya menjadi bilangan tetap (konstanta), koefi sien, dan variabel (peubah) sebagai pengganti dari bilangan yang nilainya tidak diketahui. Jadi, aljabar digunakan dalam penghitungan jika ada nilai yang tidak diketahui dalam suatu operasi hitung.
Misalkan, Amir membeli 3 buah pensil dan membayar dengan selembar uang Rp10.000,00 dan mendapat kembali Rp4.000,00. Berapa harga satu buah pensil yang Amir beli? Atau bagaimana jika Amir membeli “x” buah pensil dan membayar dengan uang Rp15.000,00 tanpa kembali? Permasalahan seperti ini, dapat diselesaikan dengan kaidah aljabar. Pada pertanyaan kedua, banyak pensil yang Amir beli adalah “x” buah. Lambang “x” ini disebut sebagai variabel/peubah. Penggunaan variabel/peubah digunakan dalam suatu penghitungan untuk mewakili suatu nilai yang belum diketahui.
3.1 Mengenal Bentuk Aljabar
Mulai dari SMP/MTs kelas VII ini, kamu akan diperkenalkan dengan topik baru yang dikenal dengan nama atau istilah aljabar. Dalam pelajaran selanjutnya kita akan sering berhubungan dengan masalah-masalah yang pemecahannya menggunakan kaidah aljabar. Jika di SD kita lebih banyak berhitung menggunakan bilangan-bilangan secara langsung, maka pada aljabar ini kita banyak berhitung menggunakan bilangan yang diperluas pengertiannya menjadi bilangan tetap (konstanta), koefisien, dan variabel (peubah) sebagai pengganti dari bilangan yang nilainya belum diketahui. Sebagai perkenalan untuk materi aljabar ini, materi yang akan disampaikan adalah bentuk aljabar dan unsur-unsurnya dan operasi bentuk aljabar.
3.1 Mengenal Bentuk Aljabar
A. Tinjauan Kontekstual
Misalkan, kita akan mengisi sebuah kantong beras yang telah berisi 150 gram beras. Beras yang ada di kantong tersebut akan ditambahkan sebanyak 2 gelas, 1 cangkir, dan 3 piring. Jika ukuran satu takar untuk gelas, cangkir, dan piring berturut-turut adalah 200 gram, 100 gram, dan 250 gram, berapa gram isi kantong itu sekarang?
Berdasarkan gambar, jika semua takaran itu dimasukkan ke dalam kantong, isi kantong itu seluruhnya adalah isi setiap takaran (2 gelas, 1 cangkir, dan 3 piring) ditambah isi dalam kantong sebelumnya.
Dengan demikian, isi kantong sekarang adalah
1.400 gram atau sebanyak 1,4 kilogram.
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
Operasi bentuk aljabar yang akan dibahas pada bagian ini adalah penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis, perkalian antara koefisien dengan variabel, dan pembagian dengan pembagi bilangan real biasa (tanpa melibatkan variabel).
Secara umum, berlaku sebagai berikut.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
A. Menyederhanakan Hasil Operasi Suku-Suku Bentuk Aljabar
Menyederhanakan operasi bentuk aljabar adalah menyatakan suatu kalimat matematika dari hasil operasi bentuk aljabar ke dalam bentuk aljabar lain yang paling sederhana. Tinjauan formal (tinjauan secara matematika) seperti yang telah dicontohkan adalah salah satu contoh menyederhanakan operasi bentuk aljabar, yakni menyatakan suatu kalimat matematika ke dalam bentuk aljabar yang paling sederhana.
Contoh Soal
Sederhanakan 2a + b – 3c – 2(a – 2b – c) + 25.
Kerjakan Latihan 2 halaman 118 – 119
Jawab:
2a + b – 3c – 2(a – 2b – c) + 25
= 2a + b – 3c – 2(a) – 2(–2b) – 2(–c) + 25 (sifat distributif)
= 2a + b – 3c – 2a + 4b + 2c + 25
= 2a – 2a + b + 4b – 3c + 2c + 25 (kumpulkan suku-suku yang sejenis)
= (2 – 2)a + (1 + 4)b + (–3 + 2)c + 25 (sifat distributif)
= 0 + 5b – c + 25
= 5b – c + 25
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
B. Menentukan Nilai Pecahan Bentuk Aljabar
Menentukan nilai pecahan bentuk aljabar dengan x sebagai variabel satuan utuh dapat dilakukan dengan cara berikut. Bayangkan x adalah sebuah wadah kosong atau ruangan tak berpenghuni yang memiliki kapasitas penuh jika diisi dengan jumlah tertentu.
Menentukan nilai pecahan bentuk aljabar dengan menerapkan sifat operasi hitung pecahan seperti berikut.
Jika dua buah pecahan berpenyebut sama, maka penyebut hasil penjumlahan dan pengurangannya tetap. Sementara pembilangnya merupakan hasil penjumlahan atau pengurangan dari pembilang-pembilang semula.
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
C. Teknik Penghitungan Lainnya
Penjabaran dilakukan dengan sifat-sifat operasi hitung. Sifat-sifat operasi hitung, yakni sifat komutatif (bolak-balik sama), asosiatif (pengelompokan), dan distributif (penyebaran).
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
C. Teknik Penghitungan Lainnya
Secara formal, untuk menjawab permasalahan operasi hitung pada bilangan adalah menggunakan aturan operasi hitung yang berlaku secara internasional. Aturan yang dimaksud adalah sebagai berikut.
3.2 Operasi Bentuk Aljabar
D. Menyederhanakan Hasil Operasi Pecahan Bentuk Aljabar
Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar adalah menyatakan pecahan tersebut ke dalam bentuk yang paling sederhana. Menyederhanakan suatu pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan cara yang sama seperti menghitung operasi pecahan. Cara yang dimaksud adalah sebagai berikut.
Kerjakan Latihan 3 halaman 126
Contoh Soal
Jawab:
Samakan penyebut dengan mencari KPK dari kedua penyebut, yakni KPK 5 dan 10.
3.3 Penjabaran Suku Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar ialah ungkapan matematika yang mengandung variabel/peubah. Sebagai contoh, suatu persegi panjang dengan panjang 5 satuan lebih panjang dari dua kali lebarnya. Jika kita misalkan lebar persegi panjang adalah x, maka panjangnya adalah 2x + 5. Bentuk 2x + 5 ini disebut ungkapan matematika dalam bentuk suku dua. Jika ungkapan itu ditulis dalam satu suku, maka bentuknya menjadi (2x + 5).
Sementara yang dimaksud dengan kalimat matematika ialah kalimat yang hanya memiliki nilai kebenaran benar atau salah dan bukan sekaligus keduanya. Contohnya, ungkapan aljabar berbentuk 2x + 5 = 17. Jika peubah x kita ganti dengan 6, maka 2x + 5 = 17 akan menjadi kalimat yang bernilai benar, seperti ditunjukkan sebagai berikut.
x = 6 ⇒ 2(6) + 5 = 17
⇔ 12 + 5 = 17
⇔ 17 = 17 (benar),
sebab ruas kiri = ruas kanan.
Contoh Soal
Kerjakan Latihan 4 halaman 130 – 131
Pilih faktor yang jika dijumlahkan hasilnya sama dengan koefisien x, yaitu 5. Kedua suku yang dimaksud adalah 2x dan 3x.
x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
= (x2 + 2x) + (3x + 6)
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 3)(x + 2)
Dengan demikian, maka secara aljabar terbukti benar bahwa: x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
3.4 Penyederhanaan Pecahan Bentuk Aljabar
Seperti yang telah kita pelajari sebelumnya, pecahan pada bilangan menunjuk atau bersesuaian dengan objek yang tidak utuh. Sebuah objek utuh itu selanjutnya disebut satuan sedangkan objek tak utuhnya disebut pecahan.
Karena aljabar juga merupakan proses berhitung (berhitung yang melibatkan variabel/peubah), maka semua kaidah yang berlaku pada proses berhitung juga berlaku pada aljabar, demikian pula sebaliknya. Oleh karena itu, untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar, pembilang dan penyebutnya harus dibagi dengan factor yang sama, asalkan ≠ 0. Mengapa tidak boleh sama dengan nol? Sebab pembagian dengan bilangan 0 tidak ada (tidak terdefinisi).
Kerjakan Latihan 5 halaman 133
Kerjakan Latihan Ulangan Bab 3 halaman 135– 138
Contoh Soal
Jawab: