1

المعادلات والمتراجحات

2

المعادلات والمتراجحات

3

التعابيــــــــر

الجواب

الصحيح

إرشادات

جواب 3

جواب 2

جواب 1

حل المعادلة

يساوي

-25

80

80

-20

140

اختر الجواب أو الأجوبة الصحيحة .

7x – 566 = -6

هو:

حل المعادلة

لا

لا

نعم

6510

درهم

هل المعادلة

x² + 1 = 26

تقبل حلا وحيدا؟

يصرف موظف ثلث أجرته في الكراء و التغدية

أخرى,اذا علمت أن هذا الموظف يوفر 1132درهما

في الشهر ، فما هو دخله الشهري؟

5660

درهم

4561

درهم

5660

درهم

تشخيص المكتسبات القبلية

أنقر هنا

أنقر هنا

أنقر هنا

أنقر هنا

و سدسها في اللباس، وثلاثة أعشارها في مصاريف

4

التعابيــــــــر

الجواب

الصحيح

إرشادات

جواب 3

جواب 2

جواب 1

هل يمكن إنشاء مثلث ABC

بحيث

اختر الجواب أو الأجوبة الصحيحة .

تشخيص المكتسبات القبلية

بحيث

ليكن x و y عددين حقيقيين

35m

ABC مثلث قائم الزاوية في A

AC= 15m و AB=20m

علما أن

AB = 8cm و BC = 3cm

و AC = 4cm

لا

نعم

لا

و

هل A = -7x + 2y يحقق:

هل BC يساوي

25m

25m

29m

أنقر هنا

أنقر هنا

أنقر هنا

5

نضيف 566 لطرفي المتساوية 7x - 566 = -6

نحصل على (7x - 566) + 566 = (-6) + 566

بعد إزالة الأقواس والاختزال نحصل على 7x = 560

• التحقق من صحة الحل: نعويض x ب 80 في المعادلة (1)

ونحسب 7 × 80 - 566

لدينا 7 × 80 = 560

ومنه 80 حل للمعادلة.

إرشادات

أي x = 80

إذن 7 × 80 - 566 = -6

6

ونحصل على: (1) 3(x - 3) – 40 = 60 – 30x

ننشر التعبير (1) ونزل الأقواس ،ثم نحصل على:

نضيف 30x و 49 لطرفي المتساوية (2) ،ثم نحسب ونختزل

بقي أن نتحقق من صحة الحل ....

نضرب المتساوية في 15 ثم نحسب ونختزل

فنجد أن : 33x = 109

إرشادات

7

نطرح 26 من طرفي المتساوية ثم نختزل فنحصل على:

نعمل x² - 25 =0

نعويض في المعادلة x ب 5 و 5-.

إذن المعادلة تقبل حلين وليس حلا واحدا.

إرشادات

إذن (x - 5)(x + 5)=0

ومنه x = -5 أو x = 5

8

1- اختيار المجهول:

2- صياغة المسألة رياضيا:

3- حل المعادلة :

نطرح 24x من طرفي المتساوية (2) فنحصل على

4- التحقق من صحة الحل:

أجرة الموظف هي 5660 درهم.

إرشادات

إذن

أي

لتكن x الأجرة الشهرية لهدا الموظف.

نترجم المعطيات رياضيا ونصوغوها على النحو التالي :

نضرب طرفي المتساوية (1) في 30، ثم نحسب ونختزل،

يمكن استعمال آلة حاسبة للتحقق من أن

فنحصل على

9

الضلعين الآخرين.

بما أن :

وبالتالي لايمكن إنشاء المثلث ABC

إرشادات

فان

نعلم أنه في مثلث طول أكبر ضلع أصغر من مجموعي

10

... الجواب 3

إرشادات

فإن

لتكن a و b و k أعداد حقيقية

إذا كان

(a ≤ b و 0 (k ≥

kb ka ≤

فإن

إذا كان

(a ≤ b و 0 (k ≤

ka kb ≤

11

بما أن المثلث قائم الزاوية يمكن تطبيق مبرهنة فيتاغورس

إرشادات

إذن BC² = AC² + AB² ومنه BC² = 15² + 20²

بعد الحساب والاختزال نحصل على BC = 25 .

12

نشاط تمهيدي 1 :

أنشطة تمهيدية

في مجمع سياح ، نصف السياح بلجكيون ، وثلثهم

فرنسيون ، وأربعة منهم فقط اسبانيون.

كم عدد سياح هدا المجمع ؟

13

• قرأة النص بإمعان.

• اختيار المجهول .

ليكنx عدد سياح المجمع.

• الصياغة الرياضية للمسألة :

• حل المعادلة :

نضرب حدودي المتساوية (1) في 6 فنحصل بعد انجاز العمليات

الحسابية و الاختزال على

ومنه

أنشطة تمهيدية

14

• التحقق من الحل:

نعلم أن عدد السياح عدد صحيح طبيعي وهدا ما حصلنا عليه،

ثم نعوض xبقيمتها في المعادلة فنجد أن

ومنه عدد سياح المجمع يساوي 24 سائحا.

أنشطة تمهيدية

15

أنشطة تمهيدية

حل المعادلات التالية:

نشاط تمهيدي 2 :

16

• لدينا

• نضرب طرفي المتساوية في 15 ونختزل فنحصل على:

ومنه

أي

وبالتالي

أي

ومنه

إذن

• نعلم أن

إذن

تعني أن

وبالتالي

ومنه

أنشطة تمهيدية

17

أنشطة تمهيدية

نشاط تمهيدي 3 :

تقترح شركتان لكراء السيارات الأسعار التالية:

• الشركة الأولى: 400 درهما كمبلغ للتسجيل و 45 درهم عن كل كيلومتر.

• الشركة الثانية: 1000درهم كمبلغ للتسجيل و 35 درهم عن كل كيلومتر.

متى يكون اقتراح الشركة الثانية أفضل للمكتري؟

18

أنشطة تمهيدية

أي

وبالتالي

وبما أن

فان

• ليكن x عدد الكيلومترات التي ينوي المكتري قطعها ،

إذا اكترى سيارة من الشركة الأولى يؤدي لها بالدرهم :

إذا اكترى سيارة من الشركة الثانية يؤدي لها بالدرهم :

• يكون اقتراح الشركة الثانية أفضل للمكتري يعني أن:

إذا كانت المسافة التي يريد المكتري قطعها أكبر من 40 كيلومترا

فمن الأفضل له أن يكتري السيارة من الشركة الثانية.

ومنه

19

معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

تعريف

المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد هي كل متساوية

على شكل:

حيث a و b عددان حقيقيان معلومان. x يسمى مجهول .

لأن قيمته غير معلومة.

أمثلة

اقترح أمثلة لمعادلات لاستئناس أنظر النشاط2.

20

ax + b = 0

a ≠ 0

a = 0

كل الأعداد الحقيقية حلول للمعادلة

المعادلة ليس لها حل

b = 0

b ≠ 0

• خطاطة الحل

معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

21

تطبيقـــــــات1

1- صل كل معادلة بحلها

3

-9

ليس لها حل

22

تطبيقـــــــات1

2- حل في مجموعة الأعداد الحقيقية المعادلات التالية:

23

ليكن A و B عددين حقيقيين .

إذا كان A × B = 0 فان A = 0 أو .B = 0

والعكس صحيح.

حل معادلات من نوع

(ax+b)(cx+d)=0

خاصية

ومنه

يعني أن

أو

وبالتالي حلول المعادلة (1) هي حلول المعالتين ax+b=0 و cx+d=0

24

المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد

تعريف

كل تعبير على شكل : ax + b ≤ 0 حيث a و bعددان حقيقيان معلومان

يسمى متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

• العدد x يسمى مجهولا .

• التعابير التالية : ax + b < 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b > 0

هي أيضا متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد.

25

تمرين

حل في مجموعة الأعداد الحقيقية المتراجحة التالية:

تطبيقـــــــات2

26

تطبيقـــــــات2

الحلول

1

0

يمكن تمثيلها على النحو التالي:

حلول المتراجحة هي مجموعة الأعداد الحقيقية الأصغر قطعا من

نضيف 125إلى طرفي المتفاوتة فنحصل على:-5x > 57 +125

ومنه

-5x > 182

وبما أن

-5 < 0

فان

أي

27

حل المسائل

كيف نحل مسألة

• قرأة نص المسألة بإمعان،

• اختيار المجهول المناسب،

• صياغة المعادلة )المعادلات) أو المترجحة(المتراجحات)،

• حل المعادلة )المعادلات) او المتراجحة ( المتراجحات)،

• التحقق من الحل و ملائمته مع معطيات المسألة .

28

حل المسائل

نص المسألة

حل المسألة

وزعت ثانوية للتلاميد الثلاثة الأوائل الدين حصلوا على المراتب الثلاثة

الأولى في أولمبياد الرياضيات ، مبلغا ماليا على النحو التالي :

المجهول: x المبلغ الموزع

حصل الفائز الأول بالدرهم على نصف المبلغ زائد 500درهما .

بقي للثانوية بعد هده العملية :

حصل الفائز الثاني على نصف المبلغ المتبقي زائد 500درهما.

بقي للثانوية بعد هده العملية

حصل الفائز الثالث على نصف المبلغ زائد 500درهما ولم يبق شيء .

بقي للثانوية بدلالة .

بما أن المبلغ قسم كله، فان

إذن

29

1- أنشئ مربعا طول ضلعه a cm.

2- أنشئ بجانبه أربعة مستطيلات متقا يسة

3- أنشئ في كل زاوية عمودية من الشكل

المسألة 1

الإدماج

قياس طول كل مستطيل a وعرض5cm.

أربعة مربعات متقا يسة،ضلع كل مربع5cm.

a

5cm

30

أ- حدد مساحة المربع الأخيربدلالة a .

ب- حل في مجموعة الأعداد الحقيقية

مساحة المربع الأخير:

الإدماج

المعادلة :

a

5cm

أي

إذن

نضيف 100الى طرفي المعادلة فنحصل على:

ومنه

بما أن

31

عمر رشيد 14 سنة وعدد دقات فلبه 80 دقة في الدقيقة أثناء الراحة

المسألة 2

الإدماج

أصيب رشيد بزكام ارتفعت على إثره دراجة حرارة جسمه وكدا دقات

علما أن حرارة جسمه 37° .

بـ 18 دقة في الدقيقة عن كل درجة.

قلبه إلى أن بلغت 122 دقة.

علما أنه عند تجاوز حرارة الجسم لـ 37° ، فان دقات القلب ترتفع

أوجد درجة حرارة رشيد أثناء إصابته بالزكام.

32

انتقل بائع بثلاثة معارض للكتب استغرق كل واحد منها خمسة أيام ، نظم الأول

المسألة 3

الإدماج

وصرف 600 درهم .بينما ضاعف خمس مرات بمعرض الدارالبيضاء المبلغ

بفاس ،والثاني بالرباط ،والثالث بالدار البيضاء.

ضاعف الكتبي بفاس مرتين مبلغه المالي، وصرف 250درهما.

كم ربح من هده المعارض الثلاثة ؟

وبمعرض الرباط ضاعف ثلاثة مرة المبلغ الإجمالي الذي جناه من المعرض الأول،

الذي جناه من الرباط ،وصرف 1000 درهم.

بقي لديه في الأخير 4250 درهما.

33

باعتماد وحدة القياس ، وقياس الزاوية BAC متغير.

المسألة 4

الإدماج

حدد القيم الممكنة لـ BC .

لتكن A و B و C ثلاثة نقط بحيث AC = 3 و AB = 1

34

شركتان لكراء السيارات تقترحان الأسعار التالية:

الإدماج

المسألة 5

أراد زبون أن يكتري سيارة،أي الشركتين سيختار؟

• الشركة الأولى تقترح 300dh يضاف إليها 2dh لكل كيلومتر.

• الشركة الثانية تقترح 400dh يضاف إليها 150dh لكل كيلومتر.