Los números complejos

Por Manuel Jesús Quidiello

• La ecuación x²+1=0 carece de soluciones en el conjunto de los números reales.
• log_e(-2) no es un número real.
• Tampoco es un número real (-2)^π

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En el siglo XVII se descubrió un nuevo tipo de número denominado:

“unidad imaginaria”

Designada por i

Y que corresponde al “valor”:

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El conjunto C

Los números complejos o imaginarios amplían al conjunto de los números reales.

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Representación numérica

• Un número complejo (se usa la variable z) viene dado por un par ordenado (a, b) de números reales. El primero se llama parte real, y se escribe a=Re(z)

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• El segundo se llama parte imaginaria, y se escribe b= Im(z)

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• Se denomina representación binómica de un número complejo a la expresión:

Z = a + bi

Representación numérica binómica

• Esto significa que el número real 6 se pondría en binómica compleja como:

z= 6+0i o simplemente z = 6

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• Un número complejo en el que a =0, se denomina “complejo puro”, como por ejemplo:

z₁ = 8i z₂ = -12i

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Tipos de complejos

• Opuestos: Aquellos cuya suma resulta igual a cero:

z₁ = 5−9i su opuesto será z₂ = −5+9i

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• Conjugados: Aquellos cuya parte imaginaria es opuesta y la real es la misma:

z₁ = 5−9i su conjugado será z₂ = 5+9i

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Representación gráfica

• El número complejo z=(a,b) representa el punto P (llamado afijo), cuyas coordenadas son precisamente a y b, representados en los ejes cartesianos y donde el eje x corresponde a la parte real y el eje Y a la parte imaginaria.

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Representación numérica polar

• Un complejo z=3+4i en coordenadas rectangulares.

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• O en polares, esto es, conociendo la distancia al origen (módulo r) y el ángulo respecto al eje real o Eje X (argumento α) y se expresa:

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Z=r _α

• Por tanto:

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z=3+4i es lo mismo que Z=5 _53’1º

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Paso de rectangulares a polares

• Si tenemos un complejo α=a+bi, la distancia al centro es el módulo del vector (a,b), o sea, y se denomina razón

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Y el argumento es arco tangente del cociente entre el coeficiente la parte imaginaria y la real

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Ejemplo: Sea z=3+4i. ¿cuál es su representación polar?

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Solución:

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Paso de polares a rectangulares

• Si tenemos un complejo α=r_α, aplicamos las definiciones básicas de trigonometría para hallar sus coordenadas rectangulares

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Ejemplo: Sea z=5_53’1º. ¿cuál es su representación binómica?

Solución:

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Se denomina forma trigonométrica si se expresa:

Operaciones con complejos

• Suma y resta:

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Ejemplo:

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(3-5i) + (7+2i) = (3+7) + (-5+2)i = 10-3i

(3-5i) - (7+2i) = (3-7) + (-5-2)i = -4-7i

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Operaciones con complejos

Producto:

• Si está en forma binómica: tenemos que recordar que

y aplicar la propiedad distributiva de los números.

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Ejemplo: (3-5i)+(7+2i)=(3·7) + (3·2i) - (5i·7) - (5i·2i)=

= 21 + 6i - 35i - 10i²= 21 -29i -10(-1)= 21 -29i +10=31-29i

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• Si está en forma polar: la razón del producto es el producto de razones y el ángulo es la suma de ángulos.

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Ejemplo: 5_22º · 7_130º=(5·7)_(22º+130º)=35_152º

Operaciones con complejos

Cociente:

• Si está en forma binómica, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del numerador:

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Ejemplo:

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• Si está en forma polar: la razón del cociente es el cociente de razones y el ángulo es la resta de ángulos.

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Ejemplo:

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Operaciones con complejos

• Inverso de un número:

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Ejemplo:

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Operaciones con complejos

Potenciación

• En forma binómica: Hay que desarrollar el binomio, teniendo en cuenta las potencias del número imaginario:

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Ejemplo:

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• En forma polar: la razón de la potencia es la potencia de la razón y el ángulo es producto del exponente por el ángulo.

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Ejemplo:

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Operaciones con complejos

Radicación en

forma polar:

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Ejemplo:

Un número complejo elevado sucesivamente a una potencia:�- Al llegar a la potencia 1000, si no ha convergido, entonces diverge�- Antes de esa potencia, dependiendo que la potencia a la que converge, se le asigna un color

FUNCIONES COMPLEJAS

Fractales

AUTOSEMEJANZAS�Monstruos matemáticos

triángulo de Sierpinski

Alfombra de Sierpinski

Árbol de Pitágoras

Brócoli

Copo de nieve - Koch

No se puede dibujar su perímetro porque es infinito, pero se puede pintar su superficie al ser finito.

Su longitud es cero, pero tiene tantos puntos como toda la recta real. Es un conjunto totalmente disconexo: entre cada dos puntos siempre hay infinitos puntos que no pertenecen al conjunto.

Conjunto de Cantor