1 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Урок

№35

Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника

Геометрія

Розділ 3. Трикутник. Ознаки рівності трикутників

2 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Організація класу

Математика – наука

Точна і серйозна,

і прожить без неї нам

навіть дня не можна.

Міркуємо – швидко!

Відповідаємо – правильно!

Лічимо – точно!

Пишемо – гарно!

3 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:� вивчення понять: медіани, висоти і бісектриси трикутника; формування вміння розв'язувати задачі, які передбачають застосування означення рівнобедреного трикутника та його властивостей

4 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Цікаві факти

Властивості рівнобедреного трикутника були відомі ще з давніх часів. Ще стародавні вавилоняни у другому тисячолітті до нашого літочислення знали, що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою. Стародавні греки навчилися визначати відстань від корабля в морі або до іншого недоступного предмета. Для цього вони використовували властивості рівнобедреного прямокутного трикутника.

5 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Для побудови медіани необхідно виконати такі дії:

1) Знайти середину сторони.

2) З'єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

6 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Для побудови бісектриси необхідно виконати такі дії:

1) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини).

2) Знайти точку перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною.

3) З'єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

7 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

Опрацюй і запам’ятай…

Для побудови висоти необхідно виконати такі дії:

1) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника (у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику);

2) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр (перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90°). Це і буде висота.

8 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Ознаки рівнобедреного трикутника

Теорема. Якщо медіана трикутника є його

висотою, то цей трикутник рівнобедрений.

Теорема. Якщо бісектриса трикутника є

його висотою, то цей трикутник рівнобедрений.

Теорема. Якщо в трикутнику два кути

рівні, то цей трикутник рівнобедрений.

9 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведення теореми

Доведення. Нехай ΔАВС — рівнобедрений, у якому проведено бісектрису BD. Розглянемо ΔABD і ΔCBD. У них: АВ = ВС за умовою, BD — спільна сторона, ∠ABD = ∠CBD , бо BD — бісектриса ∠АВС. Отже, ΔАВD = ΔCBD за двома сторонами і кутом між ними. З рівності трикутників ABD і CBD випливає: 1) AD = DC , тобто BD — медіана трикутника ABC. ∠ADB = ∠CDB. Оскільки ці кути суміжні й рівні, то вони прямі. Отже, BD ⊥ АС, тому BD — висота трикутника ABC. 2) ∠A = ∠C як відповідні кути рівних трикутників ABD і CBD.

Дано: ΔАВС — рівнобедрений, АВ = ВС, BD — бісектриса.

Довести: 1) AD = DC , BD⊥AC;

2) ∠A = ∠C.

10 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Наслідок з теореми.

1) у трикутнику проти рівних кутів лежать рівні сторони;

2) якщо в трикутнику всі кути рівні, то цей трикутник рівносторонній.

У рівнобедреному трикутнику:

• бісектриса кута проти основи, є медіаною і висотою;

• висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою;

• медіана, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

Теорема . Якщо медіана трикутника є його

бісектрисою, то цей трикутник рівнобедрений.

11 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові завдання

Задача. У трикутнику ABC проведено бісектрису BM ,

∠ BAK =70° , ∠ AKC =110 ° . Доведіть, що BM ⊥ AK

Розв’язання. Оскільки кути BKA і AKC суміжні,

то ∠ BKA = 180° − ∠ AKC .

Тоді ∠ BKA = 180° − 110° = 70° .

Отже, у трикутнику ABK отримуємо, що ∠ BAK= ∠BKA = 70° .

Тому трикутник ABK рівнобедрений з основою AK, і його бісектриса BO (O — точка перетину відрізків AK і BM) є також висотою, тобто BM⊥ AK .

12 of 32

04.01.2025

У рівнобедреному трикутнику:

• бісектриса кута проти основи, є медіаною і висотою;

• висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою;

• медіана, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

13 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Як називають відрізок АК в трикутнику АВС (мал.)

А

Б

В

Двадцять друге січня

Медіана, висота, бісектриса трикутника.

14 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У трикутнику ABC відрізок АК—висота

(мал . 15.10).

Знайдіть градусні міри кутів ВКА і СКА.

Завдання № 374

Підручник.

Сторінка

106

1

рівень

Відповідь:

∠BKA = ∠CKA = 90°.

15 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У трикутнику ABC відрізок АК—медіана

(мал . 15.12). ВС=12 см.

Знайдіть довжини відрізків ВК і КС.

Завдання № 376

Підручник.

Сторінка

106

1

рівень

Відповідь:

BK = KC = 12 : 2 = 6 (см). 

16 of 32

Задачі на побудову�Лінійка. Косинець.

04.01.2025

17 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Накресліть трикутник. За допомогою лінійки з поділками проведіть його медіани.

Завдання № 377

Підручник.

Сторінка

106

2

рівень

Розв’язання:

AM1; BM2;

CM3 — медіани ∆ABC.

А

В

С

М2

М3

М1

18 of 32

Задачі на обчислення

04.01.2025

19 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

У рівнобедреному трикутнику ABC сторона AC —основа, ∠ BCA = 40°,

∠ ABC = 100°, відрізок BD — медіана. Знайдіть кути трикутника ABD.

№1

1

рівень

ПИШЕМО

20 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АВ = ВС, ∠BCA = 40°,

∠АВС = 100°. BD - медіана.

Знайти: кути ∆ABD.�Розв'язання: ∆АВС - рівнобедрений, АС - основа,

BD - медіана, що проведена до основи.�За властивістю рівнобедреного трикутника ∠ВАС = ∠BCA = 40°.

BD - медіана, висота, бісектриса.

За означениям бісектриси кута маємо: 

∠ABD = ∠CBD = ∠АВС : 2, ∠ABD = 50°.

За означенням висоти трикутника маємо: 

BD⊥AC, ∠BDA = 90°.

Biдповідь: 40°, 50°, 90°.

Розв’язання:

1

рівень

B

A

C

100°

40°

21 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Кут, вертикальний до кута при вершині рівнобедреного трикутника, дорівнює 68°. Знайдіть кут між бічною стороною трикутника та медіаною, проведеною до основи.

Завдання

1

рівень

Обговорюємо

Обговорюємо

22 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆АВС - рівнобедрений. АВ = ВС, ∠1 i ∠ABC - вертикальні. BD - медіана, ∠1 = 68°.

Знайти: ∠ABD.

Розв'язання: За умовою ∠1 i ∠ABC - вертикальні. За теоремою про вертикальні кути маємо:

∠1 = ∠ABC = 68°.

За умовою BD - медіана. За властивістю piвнобедреного трикутника маємо:

BD - медіана, висота, бісектриса.

За означениям бісектриси кута трикутника маємо

∠ABD = ∠ABC : 2 = 68° : 2 = 34°.

Biдповідь: 34°.

Розв’язання:

1

рівень

23 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведіть, що бісектриси рівнобедреного трикутника, проведені з вершин кутів при основі, рівні.

Завдання

2

рівень

Якщо є час

пишемо

24 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Дано: ∆АВС - рівнобедрений, АС - основа, AN - бісектриса ∠BAC, СК - бісектриса ∠ACB.

Довести: СК = AN.

Доведення: Розглянемо ∆АКС i ∆CNA.

1) АС - спільна сторона.

2) За умовою ∆АВС - рівнобедрений,�тому ∠CAK = ∠ACN (кути при основі рівнобедреного трикутника).

Розв’язання (І):

2

рівень

25 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

 

Розв’язання (ІІ):

2

рівень

26 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Чи є правильним твердження:

  1. бісектриса рівнобедреного трикутника є його висотою та медіаною;
  2. бісектриса рівностороннього трикутника є його висотою та медіаною;
  3. якщо периметр трикутника в 3 рази більший за одну з його сторін, то цей трикутник рівносторонній?

Завдання

2

рівень

27 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) Ні, така властивість є лише для бісектриси, проведеної до основи;

2) Так;

3) Ні, існують, наприклад, не рівносторонній трикутник зі сторонами 4 см, 5 см і 6 см, Р = 4 + 5 + 6 = 15 (см), 15 : 3 = 3.

Відповідь:

2

рівень

28 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

  1. Сформулюйте ознаки рівнобедреного трикутника.
  2. Який зв’язок між рівними кутами та рівними сторонами трикутника?

3. Що можна сказати про трикутник, якщо всі його кути рівні?

29 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Опрацюй сторінки підручника 103-108.

​

Виконай завдання

На наступних слайдах

30 of 32

04.01.2025

https://youtu.be/7Ftfll41bgE?si=5-WqWgrQC6UPCq5b

​

Накреслити гострокутній, прямокутній, тупокутній трикутники

та провести висоти в цих трикутниках.

31 of 32

04.01.2025

У рівнобедреному трикутнику:

• бісектриса кута проти основи, є медіаною і висотою;

• висота, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою;

• медіана, проведена до основи, є висотою і бісектрисою.

32 of 32

04.01.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Інтерв'ю»

Що найбільше вас вразило чи здивувало під час уроку?

Чи було вам важко? Якщо так, то що саме?

Чого ви навчились на уроці?