Potência:
Propriedades
Recomposição de Aprendizagem
Quantidade de vezes que o número 2 apareceu sendo multiplicado por ele mesmo
Número que vai se repetir
Definição
Multiplicação em que todos os fatores são iguais.
Recebe o nome de expoente
Recebe o nome de base
Podemos escrever então que:
Então a potência nada mais é do que uma forma gourmet de escrever um produto entre fatores iguais.
Começa a ficar inviável escrever todos os fatores para representar.
Mas veja bem ...
O número 2 apareceu 14 vezes sendo multiplicado por ele mesmo
Isso significa que como as bases são iguais, então ela sempre vai se repetir. Logo, podemos somar os expoentes das potências e temos então a primeira propriedade de potência:
Multiplicação de potências de mesas base:
Conserva a base e soma os expoentes.
E para a divisão, será que o processo seria o mesmo?
Para enxergamos melhor, vamos escrever na forma de fração:
Com as frações, nós podemos trabalhar com as simplificações.
Três números 3 sobraram. E será que isso é uma coincidência?
E para a divisão, será que o processo seria o mesmo?
Divisão de potências de mesas base:
Conserva a base e subtrai os expoentes.
Isso significa que como as bases são iguais, então ela sempre vai se repetir. Logo, podemos subtrair os expoentes das potências e temos então a segunda propriedade de potência:
Mas e se por um acaso, o expoente do numerador for menor que o expoente do denominador?
Nada muda ...
Surge a terceira propriedade de potência: Todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a 1.
De onde será que vem isso?
Ok, tudo certo para bases iguais. Mas e se as bases não forem iguais?
O que podemos fazer aqui é tentar transformar os números em bases que sejam iguais através da fatoração.
9
3
3
3
1
Ok, tudo certo para bases iguais. Mas e se as bases não forem iguais?
O que podemos fazer aqui é tentar transformar os números em bases que sejam iguais através da fatoração.
9
3
3
3
1
Substituir
Aplicamos uma propriedade já aprendida (multiplicação de potência de mesma base = conserva a base a soma os expoentes)
Chegamos a quarta propriedade de potência:
Potência de potência:
Multiplica os expoentes.
Vamos continuar a nossa conta depois da descoberta da terceira propriedade:
Depois de transformarmos 9 em 3² e aplicar a propriedade de potência de potência, chegamos a uma conta que já sabemos fazer: Multiplicação de potência de mesma base.
O mesmo acontece se tivéssemos uma conta de divisão.
Certo, até agora vimos como multiplicar e dividir com bases iguais.
Mas e se agora as bases forem diferentes (e não tiver como transformar em bases iguais) mas os expoentes forem iguais?
2 e 3 são números primos, e não conseguimos escreve-los na mesma base.
Expoentes iguais
Observe que escrever esse produto é o mesmo que escrever este outro produto:
Então podemos escrever o produto das bases, e elevar ao expoente que se repete em ambas, da seguinte maneira:
Então podemos escrever o produto das bases, e elevar ao expoente que se repete em ambas, da seguinte maneira:
O que nos fornece a quinta propriedade de potência:
Produto de potências de bases diferentes mas expoentes iguais:
Multiplica as bases e eleva ao expoente repetido.
O mesmo acontece para a divisão, e chegamos a sexta propriedade de potência:
Divisão de potências de bases diferentes mas expoentes iguais:
Divide as bases e eleva ao expoente repetido.
Propriedades
Clube de Matemática – Crede 14
Bolsista responsável:
Jonas Lima Cavalcante