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Trabajo Investigación: Fórmula de Euler

Expresión exponencial de los números complejos. Fórmula de Euler. Aplicaciones

David González-Calatayud Heras Mayo 2020

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Índice

  • Introducción números complejos
    • ¿Qué es un número complejo?
    • Representación gráfica
    • Expresión de un número complejo
    • Operaciones con números complejos
    • Interpretación gráfica de la multiplicación
    • Expresión polar de un número complejo
    • Número complejo unitario
  • Fórmula de Euler
    • Redefinición de la función exponencial
    • Resúmen demostración fórmula
    • Interpretación geométrica
  • Aplicaciones
    • Propiedades de la fórmula de Euler
    • Logaritmo de un número negativo
    • Identidades trigonométricas

Leonard Euler

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Video

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¿Qué es un número complejo?

  • Definimos un número i tal que i2=(-1)
  • Nombre números complejos → Descartes
    • Los consideraba imaginarios, puesto según Descartes solamente existen en nuestra imaginación.
    • Euler empezó a utilizar la letra i.

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Propuesta nombre: Números laterales

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Representación gráfica números complejos

  • Ampliamos en una dimensión la recta real para representar los números complejos:

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Expresión de un número complejo

Expresión binómica de un número complejo

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Operaciones con números complejos

  • Multiplicación
    • Operar binomio
    • Considerar que i2=-1

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Interpretación gráfica multiplicación de números complejos

GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/je3qf4hu

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Expresión polar de un número complejo

  • Los números complejos se pueden expresar de forma binomial o de forma polar:

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Número complejo unitario

  • Si tomamos r=1, nos queda la siguiente expresión:
  • Para cualquier valor de θ, existe un número complejo z que pertenece a la circunferencia goniométrica (radio=1u)

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  • La expresión anterior también se puede expresar como:

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Fórmula e identidad de Euler

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¿Qué significa elevar algo a una potencia imaginaria?

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Redefinición de la función exponencial

  • La definición más común del número e es la siguiente:
  • También solemos pensar que la función exponencial con base e es la siguiente:
  • Lo cual es correcto si x toma valores enteros. Sin embargo, existe una definición más amplia para cualquier número real, e incluso uno imaginario.

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Redefinición de la función exponencial

  • La definición más común del número e es la siguiente:
  • También solemos pensar que la función exponencial con base e es la siguiente:
  • Lo cual es correcto si x toma valores enteros. Sin embargo, existe una definición más amplia para cualquier número real, e incluso uno imaginario.

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Redefinición de la función exponencial

  • Expandiendo mediante el polinomio de Taylor la definición de función exponencial con base e llegamos a la siguiente expresión:
  • Como se puede ver, hemos redefinido la expresión ex por exp(x).
  • De esta manera llegaríamos a la expresión que estamos acostumbrados:

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Resumen demostración

  • Calculando la función exponencial para iθ llegamos a lo siguiente:
  • Considerando las propiedades de las potencias de i, podemos reformular lo anterior. Sacamos factor común i para llegar a esta expresión:

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Resumen demostración

  • Desarrollamos por el polinomio de Taylor las funciones seno y coseno:
  • Sumando ambas expresiones considerando i*sen(θ), llegamos a:

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Interpretación geométrica

  • Expresar un número complejo mediante la fórmula de Euler equivale a expresar ese número en forma polar. Por lo tanto, si es unitario cumple lo expuesto anteriormente.

Geogebra: https://www.geogebra.org/classic/khjekxd8

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Aplicaciones: Propiedades de la Fórmula de Euler

  • Para un número complejo z cualquiera con módulo |z|=r podemos definir su expresión exponencial como: z = r·eiθ
  • La función exponencial cumple que Con esto se pueden deducir las siguientes propiedades:
  • Como se puede observar, trabajar con la forma polar/exponencial de un número complejo facilita las operaciones de multiplicaciones y potencias.
  • Sin embargo, otras operaciones como sumas son más sencillas con la binomial.

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Aplicaciones: logaritmo de un número negativo

  • La fórmula de Euler permite definir el logaritmo para números negativos.
  • En este caso, la fórmula se evalúa para x=π, obteniendo la identidad de Euler:
  • Tomando logaritmos naturales a ambos lados llegamos a:
  • Generalizando lo anterior, el logaritmo neperiano de cualquier número negativo se define como:

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Aplicaciones: Identidades trigonométricas

  • La fórmula de Euler también permite las funciones seno y coseno como variaciones de la función exponencial:
  • Además, se pueden deducir distintas identidades trigonométricas, como la suma y resta de ángulos: