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Spiegare procedimenti e argomentare in matematica. Attività per quinta e prima media��Stefania Cotoneschi, Franco Spinelli �Scuola Città Pestalozzi�

8° SEMINARIO NAZIONALE SUL

CURRICOLO VERTICALE

Maggio 2013

Il lavoro che presentiamo è stato progettato negli incontri del gruppo di insegnanti che hanno fatto parte delle scuole del Polo Sud (che comprende molte scuole del territorio).

Il gruppo ha deciso di lavorare sul tema dell'argomentazione concentrando l'attenzione sugli anni ponte (infanzia-primaria e primaria-secondaria di primo grado) e dividendosi quindi in due gruppi.

Nel gruppo infanzia-primaria (coordinato da Annalisa) per lavorare sull'argomentazione hanno cercato di individuare prima di tutto una situazione fortemente coinvolgente e che si prestasse bene a mettere in gioco questo processo (solo così si può pensare con i bambini piccoli di poterlo fare) hanno quindi individuato un gioco INDOVINA CHI. e ogni insegnante ha elaborato un percorso e attività specifiche. Nell'ultimo incontro del Polo c'è stato un resoconto ma che ancora non è stato documentato in modo da poterlo presentare. Sarà una cosa da fare a breve.

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dalla Tesi di Daniele Buratta:

«Sapeva, per temperamento e in linea di

principio, che quella di non sapere è la

condizione cronica non solo dello studioso, ma

anche del vero scienziato. Era questo che ne

faceva un autentico insegnante.

Egli sapeva che la Scienza non è qualcosa

che esiste là fuori nella natura, ma che è

uno strumento della mente di chi conosce,

dell'insegnante come dello studente.»

Jerome Bruner riferito a Robert Karplus

La metodologia dei cicli di apprendimento, in tre stadi, è un approccio piagetiano sviluppato da R. Karplus nel progetto americano SCIS (Science Curriculum Improvement Study) negli anni negli anni 60 6060 negli USA.

Sul finire degli anni ’80 e l’inizio degli anni ’90 nascono le situated learning, teorie secondo cui l’apprendimento avviene normalmente in funzione dell’attività, del contesto sociale e della cultura in cui si manifesta. Si giunge, infine, alla Experiential Learning Theory. La teoria annovera, peraltro, illustri esponenti che hanno studiato l’importanza dell’esperienza nel processo di apprendimento fin dall’inizio del novecento ad oggi, tra i quali ricordiamo John Dewey, Jean Piaget e Robert Karplus.

Nella formulazione delle teorie di apprendimento esperienziale rientrano indubbiamente i lavori di Carl Ransom Rogers che, con il suo interesse nel dialogo costruttivo e alla

percezione differenziata, mette la persona al centro dell’esperienza, stimolando, la presa di coscienza e la trasformazione dell’individuo, sulla base di principi relativi alla

facilitazione dell’apprendimento.

�

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da Indicazioni nazionali "matematica" 2012

Obiettivo di Relazioni dati e previsioni al termine della classe terza di scuola primaria

Argomentare sui criteri che sono stati usati per realizzare classificazioni e ordinamenti assegnati.

Traguardi alla fine della quinta scuola primari

.... Descrive il procedimento seguito e riconosce strategie di soluzione diverse dalla propria.

Costruisce ragionamenti formulando ipotesi, sostenendo le proprie�idee e confrontandosi con il punto di vista di altri.

ARGOMENTARE ... Perché

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Traguardi alla fine della terza classe della secondaria di primo grado.

Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.

Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite (ad esempio sa utilizzare i concetti di proprietà caratterizzante e di definizione).

Sostiene le proprie convinzioni, portando esempi e controesempi adeguati e utilizzando concatenazioni di affermazioni; accetta di cambiare opinione riconoscendo le conseguenze logiche di una argomentazione corretta.

ARGOMENTARE ... Perché

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Inoltre nelle Indicazioni, tra i traguardi della scuola dell’infanzia, leggiamo:

“...sa argomentare, confrontarsi, sostenere le proprie ragioni...”,

e tra gli obiettivi di Italiano della secondaria di primo grado per “ascolto e parlato”, leggiamo:

“Argomentare la propria tesi su un tema affrontato nello studio e nel dialogo in classe con dati pertinenti e motivazioni valide”.

da Quaderni SNV 12

ARGOMENTARE ... Perché

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INVALSI

Processo 6 del QdR per la Matematica:

Acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare, ...)

inoltre...

Per i livelli quinta e prima della secondaria di I° grado tra le difficoltà maggiormente evidenziate ci sono la modellizzazione e l'argomentazione.

... l’argomentazione, si riferisce ai quesiti nei quali si richiede di giustificare o spiegare una soluzione o una scelta oppure di scegliere fra argomenti o enunciati diversi.

ARGOMENTARE ... Perché

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La ricerca didattica ha evidenziato che la comunicazione in matematica occupa un ruolo fondamentale nei processi di apprendimento ed è supportata da diversi registri linguistici, scritti, orali, simbolici e perfino gestuali.

In generale le richieste argomentative sono un punto debole per gli allievi di tutti i livelli e il numero di omissioni, talvolta significativo, induce a riflettere sull’importanza di una pratica non sempre radicata nella didattica d’aula.

www.invalsi.it/snvpn2013/documenti/quaderni/quaderni_snv_n2_mat.pdf

Da Quaderni Invalsi SNV 2012 n.2

ARGOMENTARE ... Perché

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Il nucleo di processo “argomentare e congetturare” caratterizza le attività che preparano alla dimostrazione, ossia a una delle attività che contraddistinguono il pensiero matematico maturo, quale sarà acquisito negli anni successivi della scuola secondaria superiore.

Si considerano perciò quei processi eminentemente discorsivi che concernono il pensiero matematico; essi risultano da un intreccio dialettico tra rappresentazioni simboliche (i segni dell’aritmetica, le figure della geometria) e le attività discorsive su questi con cui il soggetto dà significato agli enunciati matematici, che sono sempre di tipo misto (segni specifici del linguaggio simbolico proprio della matematica e parole del linguaggio naturale)...

Da Matematica 2001 - UMI

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ARGOMENTARE… COME

Non basta essere consapevoli della necessità di questo tipo di lavoro ma occorre anche predisporre un percorso perché c’è una difficoltà “vera” dei ragazzi in questo tipo di lavoro.

Costruzione di un percorso

Ci siamo chiesti quindi come poter costruire un percorso che portasse ad un miglioramento, consapevoli che i risultati debbano essere perseguiti continuamente e ripresi ciclicamente.

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ARGOMENTARE … COME

Metodologia di lavoro:

Modalità di laboratorio
Setting adatto alla discussione in gruppo
Classe divisa in gruppi

Importante che ogni gruppo abbia tempo per preparare e spiegare agli altri le strategie utilizzate (report) anche se la soluzione non è corretta

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ARGOMENTARE … COSA

Si deve partire da una situazione problematica aperta

non deve essere un esercizio su un sapere già padroneggiato.

�Il problema aperto consente di utilizzare varie modalità di approccio e inventare strategie.

Ad esempio si prestano molto bene le prove del Rally Matematico, ma sarebbe opportuno che durante il percorso si utilizzassero anche situazioni più complesse e autentiche

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ELENCO DELLE FASI

1) Somministrazione della prova “la Classifica” nella quale c’è da scegliere fra quattro soluzioni ed argomentare il perché della scelta (rappresentazione iconica)

2) Somministrazione della prova “Ognuno al suo posto” con schema che può facilitare la scelta e la sua argomentazione

3) Somministrazione della prova “Una sfida per Lino”

4) Somministrazione della prova “CLOZE”

5) Somministrazione della prova “ Stesse candeline” diversi compleanni”

6) Risoluzione di problemi complessi “coinvolgenti” con argomentazione attraverso report di gruppo.

N.12

Per quanto riguarda il sottogruppo primaria-secondaria (coordinato da me e Stefania) abbiamo pensato di preparare un percorso sull'argomentazione da proporre agli insegnanti delle nostre scuole e di verificarne i risultati sia in termini di come hanno risposto ai ragazzi, sia in termini di efficacia della proposta.

Abbiamo preparato delle schede partendo soprattuto da problemi del Rally matematico (che ben si prestano a questo tipo di lavoro) rielaborandoli e cercando di predisporre un percorso che prevedesse delle fasi. L'idea base è che questo processo che si rileva così complesso per i ragazzi abbia bisogno di una serie di fasi che aiutino i ragazzi a procedere nel loro percorso. (Sempre tenendo presente che l'acquisizione non si può mai considerare a questa età definita, ma che occorra continuamente ritornarci sopra ciclicamente, a più riprese).

Il percorso elaborato quindi prevedeva varie fasi:

La classifica è un problema del Rally nel quale si chiede di scegliere una soluzione fra le varie proposte giustificando la propria scelta utilizzando una griglia già fornita

Ognuno al suo posto è un altro problema del Rally nel quale viene fornita una griglia come in precedenza ma alla soluzione occorre arrivare autonomamente (viene fornito un possibile aiuto)

Una sfida per Lino è un altro problema del Rally nel quale non viene fornito alcun aiuto e viene richiesto di verbalizzare la soluzione.

Cloze è un problema di geometria con una argomentazione da completare utilizzando alcune parole che vengono fornite.

Stesse candeline anche questo tratto da problemi del Rally rielaborati con più domande a più livelli di difficoltà.

A completamento del lavoro sull’argomentazione sarebbe auspicabile un’attività più “aperta” e coinvolgente per favorire la possibilità di mettere in gioco competenze diverse e modalità di approccio e di risoluzione anche molto diverse tra loro.

Queste sono state le indicazioni date alle scuole da seguire in linea di massima.

L’ultima fase era stata indicata, ma lasciata come possibile se se ne vedevano le possibilità di realizzazione.

(nel nostro caso, trovare la misura della superficie del corpo utilizzando gli strumenti che ciascun gruppo desiderava).

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INDICAZIONI PER L’OSSERVAZIONE

- Strumenti forniti: efficaci ?

- Osservare e cercare di catalogare i vari tipi di approccio.

(Ideale sarebbe filmare i gruppi mentre ragionano)

- Osservare il modo di discutere, i gesti, i ruoli.

- Segnare gli strumenti utilizzati, i disegni, gli schemi,...

N.13

Queste sono state le indicazioni date agli insegnanti per l’osservazione e riguardavano:

Gli strumenti dati (le tabelle fornite allegate alle domande)

Osservare cioè se erano state utilizzate, come e se erano state utili. (alle volte gli studenti impiegano più tempo ad entrare nel nostro ragionamento che a ragionare per conto loro)

Cercare di osservare i vari tipi di approccio ai problemi, le modalità di discussione nei gruppi , i ragionamenti interessanti che emergevano, gli strumenti utilizzati, disegni, segni, rappresentazioni varie, gesti (es. in ognuno al suo posto alcuni gruppi hanno provato materialmente a disporsi intorno al tavolo, rotazione del foglio etc.)

Molto importante Ideale sarebbe filmare…. In effetti una insegnante Silvia della Verdi ci ha fatto vedere delle riprese video nell’ultimo incontro nelle quali era possibile individuare i momenti salienti della discussione svolta dagli alunni nella risoluzione di un problema. Quindi come momento importante per gli insegnanti per individuare i processi messi in atto. Ma queste riprese sono state utilizzate anche con gli alunni facendole rivedere loro con l’obiettivo di far ripercorrere loro il percorso svolto nella risoluzione del problema.(i ragazzi hanno difficoltà a ricostruire i percorsi ed ad individuare i momenti importanti dei loro ragionamenti.

Raccogliere le informazioni in tabelle per poter poi confrontare i dati raccolti.

(stiamo raccogliendo i dati che dovremmo avere completati per metà maggio).

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TITOLO DEL PROBLEMA	CORRETTO	PARZIALMENTE CORRETTO	NON CORRETTO
La classifica	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….
Ognuno al suo posto	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….
Una sfida per Lino	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….
Cloze	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….
Stesse candeline	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….	…..gruppi su ….

TABELLA RIASSUNTIVA

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TITOLO DEL PROBLEMA	Argomentazione Non presente o non comprensibile	Argomentazione presente ma non completa o non completamente efficace	Argomentazione efficace e completa
La classifica
Ognuno al suo posto
Una sfida per Lino
Cloze
Stesse candeline

VALUTAZIONE DELL’ARGOMENTAZIONE

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RILEVAZIONE TIPO DELLE MODALITA’ DI ARGOMENTAZIONE

TITOLO DEL PROBLEMA	Argomentazione MOSTRANDO I TENTATIVI	Argomentazione “LOGICA ASTRATTA”	Argomentazione INTUITIVA
La classifica
Ognuno al suo posto
Una sfida per Lino
Cloze
Stesse candeline

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Quali prove

La classifica

Ognuno al suo posto

Una sfida per Lino

CLOZE

STESSE CANDELINE

N. 17

La classifica è un problema del Rally nel quale si chiede di scegliere una soluzione fra le varie proposte giustificando la propria scelta utilizzando una griglia già fornita

In questa argomentazione abbiamo una chiara utilizzazione della tabella che è servita sia alla risoluzione sia per l’argomentazione.

Ognuno al suo posto è un altro problema del Rally nel quale viene fornita una griglia come in precedenza ma alla soluzione occorre arrivare autonomamente (viene fornito un possibile aiuto)

In questa argomentazione il ragionamento viene espresso in modo chiaro ed efficace.

Da mettere in evidenza che nell’illustrazione delle soluzioni ai compagni della classe da parte dei gruppi l’esposizione in genere è stata molto più articolata ed efficace rispetto all’argomentazione scritta.

Una sfida per Lino è un altro problema del Rally nel quale non viene fornito alcun aiuto e viene richiesto di verbalizzare la soluzione.

Da osservare in questa argomentazione il livello veramente “alto”: trovare i limiti all’interno dei quali si deve trovare la soluzione e fra i numeri dell’intervallo quelli che soddisfano le altre condizioni. Come hanno fatto? Cosa li può aver aiutati. La risposta che mi do è che il lavoro di gruppo riesce a produrre questi livelli. Individualmente, quasi sicuramente, non sarebbero riusciti ad elaborare questa argomentazione. Quindi il lavoro di gruppo potrebbe avere la capacità di ampliare l’area dello sviluppo prossimale (vigotsky). Quindi il lavoro di gruppo non solo come strumento di collaborazione e socializzazione ma come strumento di ampliamento di competenze e conoscenze individuali

Cloze è un problema di geometria con una argomentazione da completare utilizzando alcune parole che vengono fornite.

Interessanti le due modalità di risoluzione: una linguistica, una matematica

Stesse candeline anche questo tratto da problemi del Rally rielaborati con più domande a più livelli di difficoltà.

Indubbiamente la prova più interessante che ha fatto emergere modalità di risoluzione e ragionamenti molto diversi. Chi l’ha risolto per tentativi chi con il ragionamento. Abbiamo scelto questa argomentazione perché mette ben in evidenza come da una soluzione corretta si può arrivare ad una argomentazione non efficace. Questo che viene proiettato è come il gruppo ha rappresentato la loro soluzione. (non era comprensibile)

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TITOLO DEL PROBLEMA	Gli strumenti forniti sono stati utili?	Ragionamenti “interessanti”	Commenti
La classifica
Ognuno al suo posto
Una sfida per Lino
Cloze
Stesse candeline

RIFLESSIONI SUL PROCESSO

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ULTIMA FASE

(Problema complesso, aperto, “coinvolgente” con report di gruppo).

LA MISURA DELLA SUPERFICIE DEL CORPO

"PARALLELEPIPEDO"

"CILINDRO"

"AVVOLGIMENTO"

N.19

A completamento del lavoro sull’argomentazione sarebbe auspicabile un’attività più “aperta” e coinvolgente per favorire la possibilità di mettere in gioco competenze diverse e modalità di approccio e di risoluzione anche molto diverse tra loro.

In questo caso l’attività ha preso spunto dalla ricerca della misura della superficie del corpo.

I gruppi erano liberi di sperimentare modalità di risoluzione “personali”.

La consegna era di trovare un modo per calcolare la superficie del corpo e successivamente di preparare un report per spiegare ai compagni la modalità utilizzata.

Un gruppo ha ragionato in termini di cilindri che avvolgono il corpo trovandone la superficie. Un gruppo ha pensato in termini di parallelepipedi che avvolgono il corpo, un altro in termini di superfici che si modellano sul corpo e all’interno delle quali disegnare delle figure delle quali si sa trovare l’area: triangoli, rettangoli, trapezi etc..

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Un ringraziamento particolare a tutto il gruppo POLO SUD

Camiciottoli O. - Sacco M. - Morandini G. - Sodi A. - Bellucci B. - Zanini A. - Bossoletti - Mazzucco S. - Galimberti P. - Beatrice M. - Brunelli F. - Zini S. - Frilli L. - Mori M. - Sciumbata R. - Tagliaferro T. - Giuliano - Tindara - Giardino - Randazzo -