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• 授業の大まかな流れ：
• アンペアの法則を説明する．
• ビオ・サバールの法則を説明する．
• ビオ・サバールの法則からアンペールの法則を導き出す．
• 配布資料：アンペアの法則.pdf
• 提示資料：アンペアの法則.pptx
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• Category 4/5�（別スライドの利用／そのスライド内での注釈）
• その他：

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情報処理概論II　第１回目　岩井憲一

1

2021/4/9

電気工学概論(２章)�磁気と静電気

岩井憲一

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

磁気と電流

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

電流のつくる磁界

• 電線に電流を流すと電線のまわりには電線を中心とした�電流の流れる向きに垂直な同心円状の磁界が発生する．
• この磁界は，電流の向きを右ねじの進む向きに見立てると，�ネジを回す向きが磁界の向きになる．�これをアンペア(アンペール)の右ねじの法則という．
• 電流I [A]が流れている電線からr [m]離れたところの�磁界の大きさH [A/m]は，次のとおりである．��　H = I/2πr [A/m]

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

アンペア(アンペール)の法則

• 1 [Wb]の磁極が任意の閉曲線に沿って１周するとき，�磁界がその磁極にする仕事は，閉曲線の内部を貫く�電流の大きさに等しい．
• ということから，I = H・2πr [A]より，��　H = I/2πr [A/m]��となります．

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

ビオ・サバールの法則から�アンペアの法則を証明する

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

ビオ・サバールの法則

• 電線上のI [A]の電流を微小区間⊿L[m]�に分解し，その微小区間の電流がR[m]�だけ離れた点P(電線に垂直でなくてもよい)に�作る磁場の強さ⊿H[A/m]について考え�ます．※電線自体は直線でなくても大丈夫です．

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• ⊿Lでの電流の流れる向き⊿L-O�(電線が真っ直ぐでない場合は接線方向)と�線分⊿L-Pとのなす角をθとします．

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿Hは右ねじの法則に従って�円周上の接線方向に向きます．

ビオ・サバールの法則

• 点Pから電線(電線が曲線の場合は⊿Lでの接線)�上に下ろした垂線との交点を点Oとし�ます．点Oを原点として扱いますと，�点Oから見た⊿Lは電流の向きを踏ま�えると，ーL[m]の座標にあると言えます．

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• また，線分OPの長さをr[m]としますと，�はr/(-L) = Rtanθ[m]となります．

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

ビオ・サバールの法則

• ここで， r /(-L) = Rtanθ　より，�L =ー r /tanθ　となり，Lをθで微分すると，��dL/dθ = ー r(1/sin²θ)　となり，�dL = ー r(1/sin²θ)dθ
• sinθ = r /R　より，�r = R sinθ　となり，�(ちなみにL = ーR cosθ)��dL = (ーR /sinθ) dθ

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電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿L

点O

ーＬ[m]

θ

点P

⊿H

R[m]

r [m]

I

ビオ・サバールの法則

• ここで， ビオ・サバールの法則というのは，�(ちなみに，ビオさんとサバールさん)です．��dH = I・dL× r / 4πR³　��※ここで，「×」は外積です．

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電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿L

点O

ーＬ[m]

θ

点P

⊿H

R[m]

r [m]

I

→

→

dL

r

→

→

→

ビオ・サバールの法則

• 外積とは２つのベクトルと�最初のベクトルから２つ目の�ベクトルに向けて回転する�右ねじの進む向きに従って直交する�ベクトルを求めることです．�ベクトルの大きさは元の２ベクトル�からなる平行四辺形の面積です．
• この直交ベクトルは，この図では�平面上を時計回りに回転しながら�手前から奥に進みます．

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電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿L

点O

ーＬ[m]

θ

点P

⊿H

R[m]

r [m]

I

dL

r

→

→

ビオ・サバールの法則

• ２つのベクトルからなる平行四辺形の�面積の求め方としては，最初のベクトルの�sin成分(ここでの角度はπ/2)が�平行四辺形(ここでは長方形)の高さとなり，�２つ目のベクトルが底辺となります．�
• この磁気エネルギーが空間上に広がる�ことになります．

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿L

点O

ーＬ[m]

θ

点P

⊿H

R[m]

r [m]

I

dL

r

→

→

S = a b sin θ

ビオ・サバールの法則

• 以上より，���dH = I・dL× r / 4πR³　� = I dL r sin(π/2) / 4πR³　�　 = (I r /4πR³)dL�
• ここで，r = R sinθより，��dH = (I sinθ/4πR²)dL��となります．

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電気工学概論(２章)

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2021/4/27

⊿L

点O

ーＬ[m]

θ

点P

⊿H

R[m]

r [m]

I

dL

r

→

→

→

→

→

ビオ・サバールの法則

• 元の式を導線全体に広げるため (ー∞，∞)でdLで積分します．� H = (1/4π)∫((I sinθ)/R²) dL [A/m]

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• ここで， r = R sinθ　より　R = r /sinθ�L = ーR cosθ　に代入して，L = ー r cosθ/sinθ　���

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電気工学概論(２章)

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2021/4/27

ビオ・サバールの法則

• L=ー r cosθ/sinθ　をθで微分します．

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• (f(x)/g(x))’ = (f’(x)g(x)-f(x)g’(x))/g(x)²　より，��dL/dθ = ー(ー r sinθ sinθー r cosθ cosθ)/sin²θ�　　　 = r(sin²θ+cos²θ)/sin²θ = r /sin²θ�∴dL = (r /sin²θ)dθ

電気工学概論(２章)

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2021/4/27

ビオ・サバールの法則

• R = r /sinθ， dL = (r /sin²θ)dθを�H = (1/4π)∫((I sinθ)/R²) dLに代入しすると，�dθなので区間も(ー∞，∞)から(0, π)となり，��H = (I/4π)∫((1 ・sinθ /(r /sinθ)²) ・ (r /sin²θ))dθ (0, π)�　　(分子分母のsin²θが約分されます．)�　= (I/4π)∫(sinθ/ r)dθ = (I/4πr)∫sinθdθ (0, π)�　= (I/4πr)(ーcosπ + cos0) = (I/4πr)(1 + 1) = 1/2πr

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• 以上より，アンペア(アンペール)の法則が成り立ちます．

電気工学概論(２章)

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