3ª SÉRIE
1º Bimestre - 2025
MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização deles na tomada de decisões. Pode-se dizer que a Estatística se divide em dois grupos:
Antes de se iniciar o estudo da Estatística, é importante retomar duas importantes ferramentas, da matemática básica, que serão aplicadas nesse estudo a porcentagem e a proporcionalidade.
PORCENTAGEM
A porcentagem (%) é a maneira de indicar uma fração cujo denominador é 100 ou qualquer outra representação equivalente a ela.
Exemplos:
O cálculo da porcentagem de um valor pode ser feito de diferentes maneiras.
Exemplo: Quanto é 8% de 300?
2. (ENEM 2024) Uma professora de matemática utiliza em suas aulas uma “máquina caça-números” para verificar os conhecimentos de seus estudantes sobre representações de números racionais. Essa máquina tem um visor dividido em seis compartimentos e, na lateral, uma alavanca. Cada estudante puxa a alavanca e espera que os compartimentos parem de girar. A partir daí, precisa responder para a professora em quais posições se encontram os números que representam a mesma quantidade.
Um estudante puxou a alavanca, aguardou que os compartimentos parassem de girar e observou os números apresentados no visor. A configuração da máquina naquele instante está apresentada na imagem.
Esse estudante respondeu corretamente à pergunta da professora.
As posições indicadas pelo estudante foram
(A) I, II e IV. (D) III, V e VI.
(B) II, IV e V. (E) III, IV e VI.
(C) II, III, e V.
3. (ENEM 2024) Um instituto de pesquisa constatou que, nos últimos dez anos, o crescimento populacional de uma cidade foi de 135,25%.
Qual é a representação decimal da taxa percentual desse crescimento populacional?
(A) 13 525,0
(B) 135,25
(C) 13,525
(D) 1,3525
(E) 0,13525
5. Complete as sentenças, a seguir.
a) 4% de 200 é igual a ____.
b) 8 corresponde a 4% de ____.
c) 8 é ____% de 200.
6. Complete as sentenças, a seguir:
a) 20 corresponde a 10% de _________.
b) 18 corresponde a 12% de _________.
c) 8 corresponde a 12,5% de _________.
d) 0,45 corresponde a 25% de _________.
7. Complete as sentenças, a seguir:
a) 60 é ____% de 200.
b) 45 é ____% de 75.
c) 12,5 é ____% de 250.
d) 7,2 é ____% de 3600.
8. Calcule e responda:
a) Qual é o valor de 30% de 650?
b) 195 é 30% de quanto?
c) 195 corresponde a qual porcentual de 650?
9. Uma mercadoria que custava R$ 60,00, passou a custar R$ 90,00. Qual o percentual de aumento?
10. Uma mercadoria que custava R$ 120,00, passou a custar R$ 80,00. Qual o percentual de redução?
Item 2: Numa competição de jogo de dardos, a cada 8 tentativas, um jogador consegue acertar 2 dardos no alvo.
Qual o seu percentual de acerto?
(A) 16%
(B) 25%
(C) 28%
(D) 32%
(E) 40%
Exemplo:
Um produto, que custava R$ 300,00, sofreu aumento de 30%. Na semana seguinte, sofreu desconto de 20%. Quanto passou a custar esse produto após essas duas variações?
Resolução:
Dessa forma, independente da ordem das variações, o produto custará R$ 312,00.
Pode-se dizer que variação percentual é uma forma de apresentar a relação entre dois números na forma percentual.
Por exemplo, “um produto que custava R$ 100,00 aumentou para R$ 150,00. Qual foi a variação percentual de aumento?”.
Por outro lado, digamos que “um outro produto custava R$ 200,00 baixou a R$ 100,00. Qual foi a variação percentual de redução?”.
Para se calcular a variação percentual entre dois valores, é preciso inicialmente, identificar qual dos dois valores é o valor de referência. Se a referência é o menor valor, tem-se um aumento percentual. Caso contrário, se o valor de referência for o maior, tem-se uma redução percentual.
11. Após um reajuste salarial, João que recebia, em 2023, o valor de R$ 1500,00 passou a receber, em 2024, o valor de R$ 2040,00. Sabendo disso, responda:
a) Qual foi o valor, em reais, de aumento no salário de João?
b) Qual foi o percentual de aumento no salário de João?
c) Se o percentual de reajuste salarial em 2025 aumentar mais 5%, qual será o salário de João nesse ano?
12. Ana Maria comprou um tênis para sua filha cujo valor na vitrine era de R$ 340,00. Ao efetuar o pagamento Ana Maria recebeu um desconto de R$ 95,20 sobre o valor desse tênis. Sabendo disso, responda.
a) Quantos reais Ana Maria pagou pelo tênis?
b) Qual foi o percentual de desconto recebido por Ana Maria nessa compra?
c) Se o percentual de desconto fosse de 12%, quantos reais Ana Maria pagaria pelo tênis?
13. Maurício foi adquirir um automóvel em uma concessionária e gostou de um modelo cujo preço, à vista, era R$ 62 000,00. O vendedor informou-lhe que esse automóvel poderia ser financiado em 48 parcelas mensais, fixas, de R$ 1750,00. Ele então optou por financiar a compra desse automóvel.
Nessas condições, responda.
a) Qual foi o preço total, em reais, que Maurício pagou pelo automóvel?
b) Qual foi o valor, em reais, que Maurício pagou de juros nesse financiamento?
c) Qual foi a taxa de aumento sobre o valor do automóvel com o financiamento?
14. Em uma loja, uma televisão custava R$ 2500,00 e seu preço sofreu um aumento de 5%. Logo após o aumento, a loja resolveu fazer uma promoção oferecendo um desconto de 5% no mesmo produto.
a) Qual o valor do produto após o aumento?
b) Qual o valor do produto após o desconto?
c) Qual foi a variação percentual após os dois ajustes?
15. (ENEM 2011) Para aumentar as vendas no início do ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras.
Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja.
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de
(A) 15,00.
(B) 14,00.
(C) 10,00.
(D) 5,00.
(E) 4,00.
16. (ENEM 2023) A cada bimestre, a diretora de uma escola compra uma quantidade de folhas de papel ofício proporcional ao número de alunos matriculados. No bimestre passado, ela comprou 6000 folhas para serem utilizadas pelos 1200 alunos matriculados. Neste bimestre, alguns alunos cancelaram suas matrículas e a escola tem, agora, 1150 alunos. A diretora só pode gastar R$ 220,00 nessa compra, e sabe que o fornecedor da escola vende as folhas de papel ofício em embalagens de 100 unidades a R$ 4,00 a embalagem. Assim, será preciso convencer o fornecedor a dar um desconto à escola, de modo que seja possível comprar a quantidade total de papel ofício necessária para o bimestre.
O desconto necessário no preço final da compra, em porcentagem, pertence ao intervalo
(A) (5,0; 5,5). (C) (11,5; 12,5). (E) (3,5; 4,0).
(B) (8,0; 8,5). (D) (19,5; 20,5).
18. (ENEM 2024) Uma casa de shows terá um evento cujo custo total de produção é de R$ 34 350,00, sendo que comporta 500 pessoas. O preço do ingresso será de R$ 130,00 e, normalmente, 60% das pessoas adquirem meia-entrada, pagando R$ 65,00 pelo ingresso. Além do faturamento proveniente da venda de ingressos, a casa de shows vende, com 60% de lucro, bebidas e petiscos ao público no dia do evento.
Após ter vendido todos os 500 ingressos, constatou-se que a quantidade de meias-entradas vendidas superou em 50% o que estava previsto, impactando o faturamento estimado com a venda de ingressos.
No dia do evento, decidiu-se manter o percentual de 60% de lucro sobre as bebidas e petiscos, pois todo o público que comprou ingresso compareceu ao show. Com isso, espera-se ter lucro de R$ 17 000,00 nesse evento.
Para que se alcance o lucro esperado, o gasto médio por pessoa com bebidas e petiscos, em real, deverá ser de
(A) 19,50. (B) 28,80. (C) 34,00. (D) 52,00. (E) 68,70.
Item 1: (SAEB 2013) Australianos usam drogas anticoncepcionais para conter a multiplicação de COALAS. Trata-se de uma droga com a qual os cientistas tentam enganar o sistema imunológico das fêmeas.
Uma enquete feita aos internautas perguntava se eles eram favoráveis a esse tipo de esterilização de espécies de animais que viraram praga, de acordo com o recorte apresentado acima.
Entre os entrevistados, quantos aproximadamente reprovam este tipo de esterilização?
(A) 123 (B) 161 (C) 184 (D) 266 (E) 280
Item 2: (SAEPE) Em um plantão de pediatria, 30 crianças foram atendidas em um final de semana. Dessas crianças, 6 foram diagnosticadas com a mesma virose.
Que percentual de crianças atendidas foram diagnosticadas com essa virose?
(A) 5%
(B) 6%
(C) 20%
(D) 30%
(E) 80%
Item 3: Uma agência de turismo realizou uma pesquisa entre seus clientes para saber quais eram os seus destinos preferidos. 120 clientes entrevistados, que correspondem a 40% do total, optaram pelo Nordeste brasileiro.
Quantos clientes foram entrevistados?
(A) 48
(B) 120
(C) 160
(D) 300
(E) 480
RAZÃO E PROPORÇÃO
Grandeza é tudo que pode ser contado ou medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros.
Razão é uma comparação entre duas grandezas. Geralmente, essa comparação é expressa através de uma fração. Um exemplo de razão é a velocidade, estudada na cinemática, parte da física responsável por estudar os movimentos. A velocidade é a razão que relaciona a distância percorrida por um corpo em um determinado intervalo temporal.
19. Determine a razão entre os números, a seguir.
a) 15 e 30 d) 60 e 72
b) 8 e 12 e) 240 e 80
c) 1,2 e 1,44 f) – 72 e – 36
20. Uma mistura apresenta 3 kg de leite em pó e 900 g de café em pó. Qual a razão entre a quantidade de leite e a quantidade de café?
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma grandeza é inversamente proporcional a outra, quando operações inversas são utilizadas nas variações das grandezas, por exemplo, se dobramos uma das grandezas, temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas, devemos dividir a outra por três e, assim sucessivamente.
A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas pois, se aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido e, se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta, considerando que a distância percorrida é constante.
Por exemplo, um automóvel move-se a 60 km/h e, consegue percorrer 240 km em quatro horas. Se esse automóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá percorrer, os mesmos 240 km, em duas horas.
26. Verifique se os números, na ordem apresentada, são inversamente proporcionais.
a) (5, 6, 8, 9) e (10, 12, 16, 18)
b) (30, 18, 15, 10) e (3, 5, 6, 9)
27. Calcule os valores das incógnitas nas sequências, a seguir, sabendo que são inversamente proporcionais.
a) b)
28. (ENEM 2024) Uma piscina tem capacidade de 2 500 000 litros. Seu sistema de abastecimento foi regulado para ter uma vazão constante de 6 000 litros de água por minuto.
O mesmo sistema foi instalado em uma segunda piscina, com capacidade de 2 750 000 litros, e regulado para ter uma vazão, também constante, capaz de enchê-la em um tempo 20% maior que o gasto para encher a primeira piscina.
A vazão do sistema de abastecimento da segunda piscina, em litro por minuto, é
(A) 8 250.
(B) 7 920.
(C) 6 545.
(D) 5 500.
(E) 5 280.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Existe um processo prático bastante utilizado para encontrar a solução de problemas que envolvem grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Se são dados três números referentes a duas grandezas e se quer calcular o valor de um quarto número desconhecido, referente a uma dessas grandezas, pode-se determinar seu valor aplicando a regra de três. Chama-se regra de três porque são três os valores conhecidos, e o processo é feito seguindo as seguintes etapas:
1º) Separar, em colunas, as grandezas de mesma espécie, conservando a mesma unidade de medida para o mesmo tipo de grandeza.
2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção correspondente às grandezas
4º) Aplicar a propriedade fundamental das proporções (PFP).
Exemplo 1: Se 10 camisas custam R$ 700,00, qual será o preço de 12 dessas camisas?
Quanto mais camisas, maior o valor da compra, ou seja, são grandezas diretamente proporcionais.
29. Marta recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho Miguel. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 10 gotas para cada 4kg de massa corporal a cada 12 horas. Se Marta ministrou corretamente, 45 gotas do remédio a seu filho a cada 12 horas, então qual é a massa corporal de Miguel?
30. Para percorrer 300 km um carro gastou 30 litros de combustível. Nas mesmas condições, com 60 litros, o carro percorrerá quantos quilômetros?
Item 1: (SAEGO) Márcio contratou um novo pacote de canais para sua TV a cabo. Seu provedor fez uma proposta de aumentar de 100 para 175 canais, aumentando, proporcionalmente, o valor da assinatura. Márcio pagava R$ 70,00 por mês e aceitou a proposta do provedor.
Quanto ele passou a pagar?
(A) R$ 52,50 (D) R$ 145,00
(B) R$ 75,00 (E) R$ 250,00
(C) R$ 122,50
Item 2: Uma torneira despejando 4 litros de água por minuto, leva 15 horas para encher um reservatório.
Se a torneira despejasse 6 litros de água por minuto, o tempo necessário, em horas, para encher o mesmo reservatório seria igual a
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 14
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Alguns problemas envolvem três ou mais grandezas, que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Nestes casos, aplica-se a regra de três composta.
Para resolver problemas de regra de três composta, deve-se:
1º) Escrever numa mesma coluna as grandezas de mesma espécie;
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, comparando cada grandeza com a grandeza que possui a incógnita;
3º) Escrever a proporção da seguinte forma: igualar a razão que contém o termo desconhecido com o produto das outras razões (inverter a razão caso exista alguma grandeza inversamente proporcional à grandeza que contém a incógnita).
Exemplo:
Sônia contratou 15 operários para construir sua casa. Esses operários levarão 110 dias para terminar a construção se trabalharem 6 horas por dia. Porém, 5 operários se ausentaram da construção. Se mantiverem o ritmo de trabalho, e trabalharem 8 horas por dia, em quantos dias o restante dos operários construirá a casa de Sônia?
Resolução:
Comparando a grandeza tempo (em dias) e a grandeza número de operários, tem-se que são grandezas inversamente proporcionais pois, quanto menos operários, mais dias se gasta com a obra.
Comparando a grandeza tempo, em dias, com a grandeza tempo (horas trabalhadas por dia) percebemos que são grandezas inversamente proporcionais pois, quanto mais horas por dia trabalhadas, menos dias se gastam para finalizar a obra.
33. Oito marinheiros carregam vinte containers para um navio em cinco dias. Quantos containers serão carregados em dezesseis dias, por quatro marinheiros?
34. Para produção de uma peça mecânica, uma empresa automotiva possui 10 máquinas com produtividades idênticas que produzem 520 peças em 10 dias, operando 8 horas por dia. Sabendo que 4 máquinas deram defeito, qual será a quantidade de peças produzidas durante 20 dias se as máquinas restantes operarem durante 20 horas?
35. Uma construtora foi contratada para realizar a reforma de todas as escolas do município de Águas Lindas de Goiás. As escolas são construídas com formato e tamanho padrão, logo o muro externo possui a mesma medida. Sabendo que 6 pintores levam 12 dias para pintar 9 escolas, quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
36. (ENEM 2024) Uma empresa de engenheira foi contratada para realizar um serviço no valor de R$ 71 250,00. Os sócios da empresa decidiram que 40% desse valor seria destinado ao pagamento de três engenheiros que gerenciaram o serviço. O pagamento para cada um deles será feito de forma diretamente proporcional ao total de horas trabalhadas. O número de dias e o número de horas diárias trabalhadas pelos engenheiros foram, respectivamente:
Qual a maior diferença, em real, entre os valores recebidos por esse serviço entre dois desses engenheiros?
(A) 1000 (D) 3800
(B) 1500 (E) 5250
(C) 3500
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Ao conjunto de elementos portadores de, pelo menos, uma característica em comum denomina-se POPULAÇÃO estatística ou universo estatístico. Exemplo: Conjunto formado pelos eleitores de uma cidade.
Se todos podem ser pesquisados, realiza-se o CENSO. Se a população é um conjunto formado por muitos elementos, torna-se inviável analisá-la por inteiro, quer seja fator tempo ou pelo custo. Nesse caso, deve-se trabalhar com uma parte da população, denominada AMOSTRA. Por exemplo, para conhecer algumas características do sangue, não é preciso tirar todo o sangue do corpo, mas apenas uma amostra. É fundamental que as amostras sejam representativas, pois as conclusões dessas amostras serão também da população (Inferência Estatística).
Para a seleção de uma amostra há técnicas denominadas amostragem. Mediante uma destas técnicas é possível garantir o acaso na escolha e assegurar à amostra a representatividade da população.
Amostragem: Para realizar um estudo por amostragem, a amostra deve ser representativa da população estudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada tipo de situação. Algumas dessas técnicas são as seguintes:
Amostragem aleatória simples: o processo mais elementar e frequentemente utilizado. Pode ser realizado numerando-se os elementos da população de 1 a n e sorteando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa sequência, que formarão a amostra.
Amostragem estratificada (Proporcional estratificada): quando a população possui características que permitem a criação de subconjuntos, é utilizada a amostragem estratificada. Como a população se divide em subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve em consideração tais divisões, para que os elementos da amostra sejam proporcionais ao número de elementos desses subconjuntos. Por exemplo, se em uma população de 200 estudantes, há 120 meninos e 80 meninas, uma amostra representativa de 20%, dessa população seriam 24 meninos e 16 meninas.
Amostragem sistemática: é utilizada em populações que possuem os elementos ordenados. Nesta técnica, a seleção dos elementos que comporão a amostra pode ser feita por um sistema criado pelo pesquisador, ou seja, escolhe-se cada elemento de ordem n. Por exemplo, o 5º elemento, o 10º elemento, o 15º elemento e assim por diante.
Amostragem de conveniência: os elementos são escolhidos por conveniência ou por facilidade. Um exemplo deste tipo de amostragem é o caso em que os estudantes de uma escola são convidados a responder a um questionário.
Amostragem intencional: um grupo de elementos é escolhido intencionalmente para compor a amostra. O pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. Um exemplo é uma pesquisa sobre preferência por marcas de chuteiras e o pesquisador entrevista jogadores de futebol.
Amostragem acidental: as amostras são formadas por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método é utilizado, geralmente, em pesquisas de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.
1. Bruno quer realizar uma pesquisa para saber se a comida que ele serve em seu restaurante está dentro de uma faixa segura de temperaturas. Ele aleatoriamente seleciona 100 pratos servidos durante um dia e mede a temperatura antes de servir ao cliente. Identifique a população e amostra nessa pesquisa.
2. Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem utilizada.
a) Em uma escola, o diretor deseja conhecer a opinião dos estudantes e professores sobre um tema para a mostra cultural a ser votado. Para compor a amostra foram sorteados aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 10% dos professores.
Amostragem _______________________.
2. Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo de amostragem utilizada.
b) Um professor de educação física de uma escola dividiu 10 times em dois grupos. Para o primeiro grupo ele seleciona aleatoriamente 5 times e considera os outros 5 para o segundo grupo.
Amostragem __________________________.
c) Uma lista numerada contém 200 nomes, numerados de 1 a 200. Iniciando-se do 10º nome, uma amostra foi composta considerando sorteados os nomes referentes aos números 20, 30, 40, 50 e assim sucessivamente até que fossem escolhidos 20 nomes.
Amostragem __________________________.
d) Em uma pesquisa sobre preferência por determinada cor de esmalte de unhas, o pesquisador entrevista as clientes de um salão de beleza.
Amostragem __________________________.
e) Em uma pesquisa sobre o grau de satisfação, os clientes são entrevistados na saída de um shopping.
Amostragem __________________________.
3. Em uma população de 180 estudantes, há 120 meninos e 60 meninas. Extraia uma amostra representativa, de 10%, dessa população.
VARIÁVEL
Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra ou população. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos e são classificadas da seguinte forma:
Variáveis Quantitativas: são as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Se dividem em dois grupos: discretas ou contínuas.
Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Se dividem em dois grupos: nominais ou ordinais.
Exemplo: cor dos olhos.
Exemplo: escolaridade.
Observação: nem sempre uma variável representada por números é quantitativa. Exemplo: número do telefone.
4. Exemplifique cada tipo de variável, a seguir:
a) Quantitativa discreta.
b) Quantitativa contínua.
c) Qualitativa nominal.
d) Qualitativa ordinal.
5. Classifique as variáveis, a seguir:
a) A cor dos cabelos dos estudantes de uma escola.
b) O número de filhos dos casais residentes em uma cidade.
c) Os pontos obtidos em cada jogada em um torneio de dardos.
d) O número de peças produzidas por hora.
e) A escolaridade dos funcionários de uma empresa.
f) A precipitação pluviométrica, durante um ano, medida por uma estação meteorológica.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Para se organizar conjuntos de dados, é conveniente resumi-los em uma tabela, através do agrupamento dos dados em classes quando necessário) e suas respectivas frequências. Frequência o número de vezes que aparece na amostra (ou na população) cada possível resultado da variável.
Quando os dados são discretos com valores repetidos, a simples identificação deles com as respectivas frequências, pode ser um procedimento adequado, que se dá o nome de distribuição de frequências sem intervalos de classes.
Quando os dados são contínuos, pode acontecer que poucos, ou até nenhum deles, apresente frequência. Nestes casos, o procedimento começa pela definição de classes. Classes de frequência, ou simplesmente, classes são intervalos de variação da variável. Nesses casos a distribuição de frequências é feita com intervalos de classe.
Tabelas de frequência sem intervalos de classes
Considere a seguinte situação: Professora Marta realiza uma pesquisa nas salas do 3° ano do Ensino Médio do Colégio Estadual Bons Estudos, com o objetivo de saber a altura aproximada, em cm, dos alunos do turno noturno no ano de 2021.
Tabelas de frequência com intervalos de classes
Considere a seguinte situação:
Notas obtidas por quarenta alunos em certa escola
Vamos construir o rol da tabela anterior para facilitar a representação na forma tabular.
Observamos no rol que existem 17 notas diferentes, a tabela construída conforme aprendemos na aula anterior ficaria assim representada.
Vamos agora encontrar uma forma da nossa tabela ficar um pouco menor, para isso agruparemos as notas.
Os dados contínuos devem ser apresentados na forma de intervalos. Também em caso de grandes amostras de dados discretos, conforme tabela anterior a distribuição por intervalo é recomendada.
Cada um dos intervalos, formados a partir do agrupamento é chamado de classe.
O número de classes em uma tabela pode ser obtido por vários métodos.
Uma regra simples diz que as tabelas de distribuição de frequências devem ter de 5 a 16 classes, pois abaixo de 5 está se perdendo informação preciosa diluída nas classes e acima de 16 o nível de detalhamento torna-se exagerado e pouco eficaz.
Para os intervalos de classe, usaremos o símbolo:
Quando optamos pela amplitude 1 a tabela fica assim definida.
Podemos observar que quando aumentamos a amplitude, a tabela fica menor.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A frequência absoluta corresponde à quantidade de ocorrências observadas e frequência relativa equivale aos valores, geralmente expressos em porcentagem, que indicam a comparação entre a frequência absoluta e o total pesquisado. Podemos agrupar essas ocorrências em tabelas, chamadas de tabela de frequências, que mostram a relação entre a variável e a quantidade de vezes de cada ocorrência (frequência).
Utilizamos um histograma para representar uma distribuição de frequências cuja variável tem seus valores agrupados em intervalos.
O histograma é um gráfico formado por retângulos justapostos cujas bases são construídas sobre o eixo das coordenadas do plano cartesiano, considerando o primeiro quadrante.
Exemplo:
A professora Silvia estava selecionando os atletas que disputariam os Jogos Estudantis. Observe as idades anotadas.
Observe os dados obtidos, na seguinte tabela de frequência:
Com os dados da distribuição de frequência, ela construiu o seguinte histograma:
Na visualização de uma ou mais categorias de dados, o gráfico de barra se torna uma importante ferramenta. Esse gráfico permite que você visualize melhor a diferença entre os pontos de dados de cada categoria. As barras podem aparecer na vertical ou na horizontal, quando também são chamadas de colunas.
Os gráficos de colunas ou barras são os mais simples, tanto para a construção quanto para leitura e interpretação. Permitem uma comparação rápida dos valores apresentados.
A decisão entre colunas ou barras é mais estética, contudo, o gráfico de barra é mais utilizado quando os valores da variável estudada são palavras e, escritas na horizontal, tornam a leitura mais fácil.
Na visualização de uma ou mais categorias de dados, os gráficos de colunas se tornam uma importante ferramenta. Esses gráficos permitem que você expresse visualmente a diferença entre os pontos dos dados de cada categoria. As colunas podem aparecer na vertical ou na horizontal, quando também são chamadas de barras.
Esse tipo de gráfico é especialmente útil quando se quer representar uma variável contínua, cujos valores podem diminuir ou aumentar no decorrer do tempo.
O gráfico em setores, também chamado de gráfico circular ou gráfico de pizza, é construído a partir da divisão de um círculo em setores circulares cujos ângulos centrais, são diretamente proporcionais à frequência de cada variável.
Exemplo:
6. O quadro apresenta a média, em física, de 30 alunos do 1º ano de um Colégio. Veja, a seguir:
Responda:
a) Construa uma tabela com frequência absoluta, frequência absoluta acumulada e frequência relativa.
b) Quantos alunos obtiveram média 6,0?
c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6,0?
d) Quantos alunos obtiveram média superior a 6,0?
e) Qual o índice de alunos que obtiveram média maior que 7,0?
7. Observe o gráfico que a Agência de Turismo - GR apresenta uma pesquisa do meio de transporte para uma viagem turística.
Responda:
a) Que tipo de gráfico é esse?
b) A que assunto se refere?
c) Segundo os dados da pesquisa, qual é o meio de transporte preferido para uma viagem turística?
d) Determine as medidas aproximadas dos ângulos centrais dos setores correspondentes às porcentagens.
8. O gráfico, a seguir, representa o percentual de crescimento do número de funcionários de algumas empresas, elaborada pelo Instituto de Pesquisa Ficção.
Fonte: Instituto de Pesquisa Ficção.
Agora, responda:
a) Que tipo de gráfico é esse?
b) Que empresa teve o maior crescimento, em porcentagem, no número de funcionários em 2021?
c) Se a empresa Pardal tinha 1000 funcionários, em 2020, quantos funcionários passou a ter em 2021?
d) Que empresa teve o menor crescimento, em porcentagem, no número de funcionários em 2020?
e) Se a empresa Arara ficou com 1339 funcionários, em 2021, quantos tinha em 2020?
9. Observe os histogramas que representa o agrupamento da altura (em cm) dos estudantes da 3ª A:
Responda:
a) Qual a quantidade de estudantes mais altos? Represente esse índice em porcentagem.
b) Qual intervalo possui a maior quantidade de estudantes? Represente esse índice em porcentagem.
c) Qual a quantidade de estudantes mais baixos? Represente esse índice em porcentagem.
Item 1: (ENEM 2022) No período de 2005 a 2013, o valor de venda dos imóveis em uma cidade apresentou alta, o que resultou no aumento dos aluguéis. Os gráficos apresentam a evolução desses valores, para um mesmo imóvel, no mercado imobiliário dessa cidade.
A rentabilidade do aluguel de um imóvel é calculada pela razão entre o valor mensal de aluguel e o valor de mercado desse imóvel.
Com base nos dados fornecidos, em que ano a rentabilidade do aluguel foi maior?
(A) 2005 (B) 2007 (C) 2009 (D) 2011 (E) 2013
Item 2: Uma padaria, fabrica seus quitutes de acordo com a demanda de vendas.
A tabela, a seguir, mostra o consumo, por quilograma, em uma semana de vendas.
O gráfico que melhor representa a demanda de vendas, dessa semana, é
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A estatística visa organizar dados coletados em pesquisas com o intuito de condensá-los de forma prática para uma melhor visualização do produto por parte de pesquisadores e sociedade. Para isso, existem ferramentas matemáticas que são utilizadas a fim de otimizar análises exploratórias de conjuntos de dados.
Dentre estas ferramentas podemos trabalhar com medidas de tendência central (valores que trazem informações de dados estatísticos – populacionais ou amostrais) cuja intenção é resumir e organizar informações estatísticas obtidas em pesquisas.
São consideradas medidas de tendência central a média aritmética, a mediana e a moda. Vejamos:
Mediana é uma medida de tendência central que tem a característica de dividir um conjunto ao meio. Isto é, a mediana de um conjunto o separa em duas partes de modo que 50% dos valores sejam menores que ela e 50% dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem crescente ou decrescente.
No cálculo da mediana temos dois casos a considerar:
1° caso: Quando o número de dados for ímpar, ordenados em ordem crescente ou decrescente, o dado que ocupa a posição central, é a mediana procurada.
Exemplo:
Calcule a mediana dos seguintes dados: 7, 4, 3, 7, 7, 6, 3, 3, 2, 8, 2. Os números colocados em ordem, no caso, crescente: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8. A mediana ocupa a 6ª posição, ou seja, 4.
13. As idades dos atletas olímpicos de dois países são:
Agora responda:
a) Qual a idade que mais se repete em cada país (moda)?
b) Qual a idade mediana de cada país?
c) Qual a idade que mais se repete juntando todos os atletas (moda)?
d) Qual a idade mediana juntando os atletas do país “A” e do país “B”?
14. O quadro, a seguir, representa a nota de 50 estudantes em certa disciplina.
Observando os dados determine:
a) A nota mediana.
b) A nota modal.
15. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então
(A) X = Y < Z. (C) Y < Z < X. (E) Z < Y < X.
(B) Z < X = Y. (D) Z < X < Y.
16. (ENEM 2021 – Reaplicação/PPL) A qualidade de sementes é verificada, entre outros fatores, pelo índice de germinação. Uma grande empresa afirma que o índice de germinação de suas sementes é de 90%. Essa empresa e dez pequenos produtores que formam uma cooperativa estão concorrendo a um auxílio financeiro que permitirá aumentar os negócios. Os cooperados querem preparar um documento técnico comparando a qualidade de suas sementes com as da empresa. Eles discutiram a possibilidade de colocar nesse documento frases como:
I - A média de germinação de nossas sementes é superior ao índice de germinação anunciado pela empresa.
II - A mediana de germinação de nossas sementes é superior ao índice de germinação anunciado pela empresa.
III - A média de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.
IV - A moda de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.
V - A mediana de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.
Eles decidiram anotar a porcentagem de germinação das sementes de cada cooperado, analisar as frases e decidir qual era a correta para, então, colocá-la no documento.
As porcentagens anotadas foram 90%, 65%, 70%, 75%, 95%, 95%, 90%, 80%, 80% e 90%.
A frase a ser colocada no documento é a de número
(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.
17. (ENEM 2024) Ao calcular a média de suas notas em 4 provas, um estudante dividiu, por engano, a soma das notas por 5. Com isso, a média obtida foi 1 unidade menor do que deveria ser, caso fosse calculada corretamente.
O valor correto da média das notas desse estudante é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 19.
(E) 21.
18. (ENEM 2024) Contratos de vários serviços disponíveis na internet apresentam uma quantidade excessiva de informações. Isso faz com que o tempo necessário para a leitura desses contratos possa ser longo.
O quadro apresenta uma amostra do tempo considerado necessário para a leitura completa do contrato de alguns serviços digitais.
ROMERO, L. Não li e concordo. Superinteressante, n. 307, ago. 2012 (adaptado).
O tempo médio, em minuto, necessário para a leitura completa de um contrato de serviço dentre os listados no quadro é, com uma casa decimal, aproximadamente,
(A) 13,0. (B) 15,0. (C) 19,8. (D) 20,0. (E) 23,3.
19. (ENEM 2024) A umidade relativa do ar é um dos indicadores utilizados na meteorologia para fazer previsões sobre o clima. O quadro apresenta as médias mensais, em porcentagem, da umidade relativa do ar em um período de seis meses consecutivos em uma cidade.
Nessa cidade, a mediana desses dados, em porcentagem, da umidade relativa do ar no período considerado foi
(A) 56. (B) 58. (C) 59. (D) 60. (E) 62.
MÉDIA, MODA E MEDIANA A PARTIR DAS TABELAS DE FREQUÊNCIA
Logo, a média dos dados da tabela anterior é: ______.
Calcule a média:
Assim, considerando a distribuição da Tabela 2, temos:
20. Observe a tabela contendo os dados da amostra de uma pesquisa, com goianos, sobre o consumo de sal diário (em gramas).
Determine o consumo médio, o consumo modal e o consumo mediano, dessa amostra.
21. A tabela, a seguir, indica a idade de uma amostra de pacientes com hipertensão arterial:
Determine a idade média, a idade modal e a idade mediana.
O Excel é uma ferramenta que pode ser usada em aulas de estatística para ensinar conceitos e realizar cálculos, como média, moda, mediana, desvio-padrão e variância. O Excel também pode ser usado para criar gráficos e tabelas, que ajudam a identificar tendências, variabilidade e valores extremos.
Exemplo:
A tabela, a seguir, representa os escores obtidos por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina.
2. Observe a tabela, a seguir.
Qual é o Desvio Médio, aproximadamente, para o conjunto desses dados?
3. (ENEM 2016) O procedimento de perda rápida de “peso” é comum entre os atletas dos esportes de combate. Para participar de um torneio, quatro atletas da categoria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas balanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com base nas pesagens dos atletas estão no quadro.
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio informaram aos atletas quais deles se enfrentariam na primeira luta.
A primeira luta foi entre os atletas
(A) I e III. (B) I e IV. (C) II e III. (D) II e IV. (E) III e IV.
4. (ENEM 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio-padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é
(A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
(B) Marco, pois obteve menor desvio-padrão.
(C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em português.
(D) Paulo, pois obteve maior mediana.
(E) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão.
D16 – Item 1.
Maria comprou um carro à vista e ganhou um desconto de 15% sobre o valor original que era igual a R$ 60 000.
Assinale a opção que corresponde ao valor que Maria pagou pelo carro.
(A) R$ 9 000.
(B) R$ 45 000.
(C) R$ 51 000.
(D) RS 60 000.
(E) R$ 400 000.
D16 – Item 2.
Renato quer investir seu 13° salário, no valor de R$ 4 000 e, para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois tipos de investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas por ele estão resumidas no quadro a seguir:
Para Renato, ao final de um ano, a aplicação mais vantajosa é
(A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 4 151,60.
(B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 4 015,16.
(C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 4 018,56.
(D) o CDB, pois excede em R$ 3,40 o rendimento da poupança.
(E) a poupança, pois excede em R$ 7,80 o rendimento do CDB.
D16 – Item 3.
Ana aplicou R$ 750 na poupança e recebeu no período de um mês R$ 3,75 de juros. Sua irmã Joana aplicou R$ 3 200, nessas mesmas condições.
Nesta aplicação, Joana recebeu de juros um total de
(A) R$ 0,50.
(B) R$ 0,88.
(C) R$ 16.
(D) R$ 32.
(E) R$ 87,90.
D16 – Item 5.
Michele fazia uma dieta na qual ingeria, por dia, 500 gramas de carboidrato. Quando foi à nutricionista pela primeira vez, ela precisou reduzir 200 gramas na ingestão de carboidrato, passando a ingerir, diariamente, 300 gramas de carboidrato. Depois de um mês, quando retornou à nutricionista, mais uma vez foi reduzida a quantidade de carboidrato que Michele deveria ingerir, passando para 240 gramas diárias.
Quais foram os percentuais da primeira e da segunda redução na ingestão de carboidratos, respectivamente, da dieta de Michele?
(A) 2,5% e 5%.
(B) 40% e 12%.
(C) 40% e 20%.
(D) 40% e 52%.
(E) 200% e 60%.
D03 – Item 1. Observe o sólido representado abaixo.
A vista superior desse sólido está representada em
D03 – Item 2.
Observe abaixo as planificações de algumas figuras tridimensionais.
Qual dessas planificações representa um cone?
(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.
D03 – Item 3.
Observe o sólido geométrico apresentado na figura abaixo.
A vista superior desse sólido está representada em
D03 – Item 4.
Observe o sólido geométrico apresentado na figura abaixo.
Uma planificação da superfície desse sólido está representada em
D03 – Item 5.
Observe o sólido geométrico a seguir:
Assinale a opção que apresenta a vista lateral esquerda, do observador, desse sólido geométrico.
D04 – Atividade 1.
Nomeie os elementos destacados em cada poliedro a seguir.
D04 – Atividade 2.
Complete o quadro a seguir com o número de faces, vértices e arestas.
D04 – Item 1.
O professor Carlos entregou um sólido geométrico a um estudante com os olhos vendados. Através do tato, o estudante percebeu que esse sólido geométrico possui 12 arestas e 8 vértices.
Qual é o número de faces desse poliedro?
(A) 12
(B) 8
(C) 6
(D) 4
(E) 2
D22 – Item 3.
Paula pretende dar uma entrada na compra de um carro e, para isso, organizou um planejamento financeiro que irá executar durante um ano completo. De acordo com esse planejamento, ela vai fazer um depósito inicial de 4 reais em uma poupança e, nos 5 meses posteriores, irá depositar sempre 2 reais a mais do que o valor depositado no mês anterior. A partir do 7º mês desse planejamento, os depósitos de Paula vão corresponder ao dobro do valor depositado no mês anterior até chegar ao 12º mês, completando assim esse planejamento.
Qual será o valor, em reais, do último depósito de Paula segundo esse planejamento financeiro?
(A) 26 reais. (C) 180 reais. (E) 8 192 reais.
(B) 28 reais. (D) 896 reais.
D22 – Item 4.
Sandro está se preparando para participar de uma maratona e, para isso, pretende realizar treinamentos semanais. Ao longo da primeira semana, ele pretende correr 3 km e, ao longo da segunda semana, pretende correr 6 km, seguindo assim um padrão, dobrando a distância percorrida em cada semana até a data da corrida que acontecerá após a sexta semana de treinamento.
Quantos quilômetros Sandro deverá correr na quinta semana de treinamento, seguindo esse planejamento?
(A) 11 km. (C) 32 km. (E) 96 km.
(B) 15 km. (D) 48 km.
D22 – Item 5.
Para fazer um desenho, Taís utilizou uma técnica que consiste em fazer traços para formar triângulos que são dispostos um ao lado do outro, como mostra a imagem abaixo.
A cada passo desse desenho, Taís completou apenas um triângulo utilizando o lado do triângulo anterior, sempre seguindo esse sentido horizontal até ter um total de 42 triângulos em seu desenho.
Quantos traços Taís desenhou, ao todo, para obter esses 42 triângulos?
(A) 42. (B) 82. (C) 85. (D) 126. (E) 246.
D15 – Item 1.
Mariana é divulgadora de conteúdos sobre ciências e está preparando uma série de vídeos sobre densidade volumétrica. No primeiro vídeo, ela inicia sua aula explicando que a densidade volumétrica é a razão entre a massa de um objeto, que pode ser medida em gramas, pelo seu volume, que pode ser medido em centímetros cúbicos. Ao final do vídeo, ela propõe uma atividade em que é necessário calcular a massa de uma certa quantidade de alumínio, cujo volume é 15 cm³ e sua densidade é 2,7 g/cm³.
Qual é a massa, em gramas, dessa quantidade de alumínio da atividade proposta por Mariana?
(A) 2,7 g. (B) 5,5 g. (C) 17,7 g. (D) 30,7 g. (E) 40,5 g.
D15 – Item 2.
Júlia viaja duas vezes ao mês para a cidade vizinha à que ela mora. Para acompanhar o rendimento de sua viagem, ela calcula a velocidade média, que é dada pela razão entre a distância percorrida e o tempo gasto na viagem. Em um certo mês, Júlia fez a primeira viagem com uma velocidade média de 108 km/h, gastando no total 1,5 hora de viagem. Na segunda viagem, Julia demorou 0,5 hora a mais para fazer o mesmo trajeto.
Qual foi a velocidade média da segunda viagem de Julia nesse mês?
(A) 54 km/h.
(B) 72 km/h.
(C) 81 km/h.
(D) 108 km/h.
(E) 144 km/h.
D15 – Item 3.
No período de testes dos novos carros de uma equipe de Fórmula 1, foi calculada a aceleração média de um deles. Esse cálculo foi feito a partir da razão entre a diferença das velocidades final e inicial obtidas em determinado trecho e o tempo decorrido no percurso. Em um tempo de 2,5 segundos, a velocidade do carro analisado variou de 0 metros por segundo a 27,5 metros por segundo.
Qual foi a aceleração média, em metros por segundo ao quadrado, obtida pelo carro que realizou o teste?
(A) 11 m/s².
(B) 15 m/s².
(C) 27,5 m/s².
(D) 30 m/s².
(E) 68,8 m/s².
D15 – Item 4.
Para a produção de parafusos, a fábrica de Ricardo possui 18 máquinas que funcionam, diariamente, no mesmo ritmo e pelo mesmo período de tempo. Essas máquinas produzem, juntas, por hora, 2 160 parafusos. Em um determinado dia, 6 dessas máquinas precisaram de manutenção e não participaram da produção de parafusos.
Nesse dia, qual foi a produção de parafusos, por hora, na fábrica de Ricardo?
(A) 3 240.
(B) 2 160.
(C) 2 154.
(D) 1 800.
(E) 1 440.
D15 – Item 5.
A gráfica contratada para imprimir as provas de um concurso, utilizando 6 impressoras idênticas, consegue imprimir um lote dessas provas em 90 minutos. Como haveria um feriado na semana de entrega dessas provas, essa gráfica incorporou à produção outras 4 impressoras idênticas às demais trabalhando em uma mesma jornada diária.
Com essas 4 novas impressoras incorporadas ao trabalho, em quantos minutos a gráfica vai imprimir um desses lotes de provas?
(A) 9 minutos.
(B) 54 minutos.
(C) 90 minutos.
(D) 135 minutos.
(E) 150 minutos.
D18 / D21 – Atividade 1.
Analise as situações a seguir e relacione-as com os respectivos gráficos que as representem.
D18 / D21 – Atividade 2.
A cidade de Jataí inaugurou o novo centro meteorológico para acompanhar a mudança climática. Em certo dia, esse centro meteorológico registrou, às 6 horas da manhã, a temperatura de – 5°C e, com o passar do tempo, a temperatura foi aumentando constantemente até que, às 15 horas, ela atingiu 16°C. Sabendo disso, construa um gráfico que represente a situação descrita.
D18 / D21 – Item 5. O peso é uma força exercida sobre um objeto pela atração gravitacional de um planeta ou outro corpo celeste. Enquanto a massa de um objeto é a mesma em qualquer lugar, o seu peso varia linearmente conforme a aceleração da gravidade do local. Observe a tabela abaixo, na qual está representado o peso aproximado de alguns objetos na Terra e o peso aproximado dos mesmos no planeta Mercúrio.
Qual é o gráfico que melhor representa a relação entre os pesos desses objetos nesses dois planetas?