INTEGRAL TAK TENTU

Adaptif

INTEGRAL TAK TENTU

• Pengertian Hitung Integral
• Hitung Integral adalah kebalikan dari hitung deferensial
• Misal : y = F(x) = x²

INTEGRAL

Hal.:

3x²

=

f(x)

dF(x)=

f(x) dx

Ntuk menyatakan f(x) kembali, digunakan integral dengan lambang

Sehingga

dF(x)=f(x)dx

F(x)=

Adaptif

INTRGRAL TAK TENTU

INTEGRAL

Hal.:

Misal : f(x) = 4x³ maka kemungkinan untuk F(x) adalah

X⁴ karena turunannya 4x³ = F’(x)

X⁴ + 5 karena turunannya 4x³ = F’(x)

X⁴ + 1 karena turunannya 4x³ = F(‘x)

X⁴ + 50 karena turunannya 4x³ = F’(x)

X⁴ + c karena turunannya 4x³ = F’(x)

Jadi anti turunan dari 4x³ adalah x⁴ di tambah bilangan c ( c = Konstanta)

Dengan lambang integral di tulis :

Secara um8um di tulis :

Adaptif

INTEGRAL TAK TENTU

Rumus – rumus Pengintegralan

​

a.

​

b.

​

c.

​

​

d.

​

e.

INTEGRAL

Hal.:

Adaptif

Integral Tak Tentu

Contoh:

1. Tentukan dari

Penyelesaian

INTEGRAL

Hal.:

=

=

=

2. Integralkanlah (5x – 1)²

Penyelesaian

=

=

=

12x³ – 6x² + x + c

Adaptif

Integral Tak Tentu

3. Tentukan

Penyelesaian

INTEGRAL

Hal.:

=

=

4x³ + 2x² + 10x – 5lnx + c

4. Tentukan

=

=

=

Penyelesaian

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

Bentuk umum intergral tertentu

INTEGRAL

Hal.:

a disebut batas bawah

b disebut batas bawah

F(x) : fungsi hasil integral dari f(x)

F(b) : Nilai fungsi F(x) untuk x = b

F(a) : Nilai fungsi F(x) untuk x = a

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

• Sifat-sifat intergral tertentu

1.

​

2.

​

3.

​

4.

INTEGRAL

Hal.:

Adaptif

INTEGRAL TERTENTU

Contoh :

1.Tentukan nilai dari

INTEGRAL

Hal.:

Penyelesaian

=

=

4 -

=

=

2. Tentukan nilai dari

Penyelesaian

=

=

=

=

2

Adaptif

LUAS DAEARAH DAN ISI BENDA PUTAR

Adaptif

Penggunaan Integral

INTEGRAL

Hal.:

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Runtuhnya Jembatan Tacoma, Washington

Jembatan Tacoma yang panjangnya 1,8 km di buka pada 1Juli 1940. Empat bulan kemudian jembatan tersebut runtuh karena badai yang berkekuatan 68 km/jam.

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.

Penggunaan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Bola lampu di samping dapat dipandang sebagai benda putar jika kurva di atasnya diputar menurut garis horisontal. Pada pokok bahasan ini akan dipelajari juga penggunaan integral untuk menghitung volume benda putar.

Penggunaan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Menentukan luas daerah dengan limit jumlah dapat diilustrasikan oleh gambar di samping. Langkah utama yang dilakukan adalah memartisi, mengaproksimasi, menjumlahkan, dan menghitung limitnya.

​

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah menghitung luas daerah dengan limit jumlah adalah:

1. Bagilah interval menjadi selang yang sama panjang.
2. Partisilah daerah tersebut.
3. Masing-masing partisi buatlah persegi panjang.
4. Perhatikan persegi panjang pada interval [x_i-1 , x_i].

x_i

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah menghitung luas daerah ( lanjutan ) :

5. Tentukan luas persegi panjang ke-i (L_i)
6. Jumlahkah luas semua persegi panjang
7. Hitung nilai limit jumlahnya

Luas sebuah persegi panjang: L_i = f(x_i) Δx

Jumlah luas persegi panjang :L ≈ Σ f(x_i) Δx

Limit jumlah : L = lim Σ f(x_i) Δx ( n → ∞ )

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x², sumbu X, dan garis x = 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

Contoh 1.

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.
2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.
3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [x_i , x_i+1] dan hitunglah luasnya.

x₀ = 0

x₁ = 3/n

x₂ = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

4. Jumlahkan luas semua partisi

5. Tentukan limitnya

Jadi luas daerah = 9 satuan

Luas Sebagai Limit Jumlah Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Perhatikan gambar di bawah ini!

Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Integral Tentu untuk menghitung Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

Jumlah Luas Partisi

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Kegiatan pokok dalam menghitung luas daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luas sebuah partisi L_i ≈ f(x_i) Δx_i
4. Jumlahkan luas partisi

L ≈ ∑ f(x_i) Δx_i

5. Ambil limitnya L = lim ∑ f(x_i) Δx_i

6. Nyatakan dalam integral

a

x_i

L_i

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya
2. Partisi daerahnya
3. Aproksimasi luasnya L_i ≈ x_i² Δx_i

4. Jumlahkan luasnya L ≈ ∑ x_i² Δx_i

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim ∑ x_i² Δx_i

6. Nyatakan dalam integral dan hitung nilainya

​

x_i

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : L_i ≈ (4x_i - x_i²)Δx_i dan A_j ≈ -(4x_j - x_j²)Δx_j

4. Jumlahkan : L ≈ ∑(4x_i - x_i²)Δx_i dan A ≈ ∑ -(4x_j - x_j²)Δx_j

5. Ambil limitnya L = lim ∑ (4x_i - x_i²)Δx_i dan A = lim ∑ -(4x_j - x_j²)Δx_j

6. Nyatakan dalam integral

x_i

x_j

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang [a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi, jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

1. Partisi daerahnya
2. Aproksimasi : L_i ≈ [ f(x) – g(x) ] Δx

4. Jumlahkan : L ≈ ∑ [ f(x) – g(x) ] Δx

5. Ambil limitnya :

L = lim ∑ [ f(x) – g(x) ] Δx

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva

x² = 2 – x → x² + x – 2 = 0 → (x + 2)(x – 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya

L_i ≈ (2 - x - x²)Δx

4. Jumlahkan luasnya

L ≈ ∑ (2 - x - x²)Δx

5. Tentukan limit jumlah luasnya

L = lim ∑ (2 - x - x²)Δx

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Untuk kasus tertentu pemartisian secara vertikal menyebabkan ada dua bentuk integral. Akibatnya diperlukan waktu lebih lama untuk menghitungnya.

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya
2. Tentukan titik potong kedua kurva

y² = 6 – y → y² + y – 6 = 0 → (y + 3)(y – 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2

3. Partisi daerahnya
4. Aproksimasi luasnya

L_i ≈ (6 - y - y²)Δy

4. Jumlahkan luasnya

L ≈ ∑ (6 - y - y²)Δy

5. Tentukan limitnya

L = lim ∑ (6 - y - y²)Δy

6. Nyatakan dalam integral tertentu

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

​

Menghitung Luas dengan Integral

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Suatu daerah jika di putar mengelilingi garis tertentu sejauh 360º, maka akan terbentuk suatu benda putar. Kegiatan pokok dalam menghitung volume benda putar dengan integral adalah: partisi, aproksimasi, penjumlahan, pengambilan limit, dan menyatakan dalam integral tentu.

Volume Benda Putar

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi : 1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

Volume Benda Putar

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x), tinggi h = Δx. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai ΔV ≈ πr²h atau ΔV ≈ π f(x)²Δx.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:

V ≈ ∑ π f(x)² Δx

V = lim ∑ π f(x)² Δx

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

ΔV ≈ πr²h

ΔV ≈ π(x² + 1)² Δx

V ≈ ∑ π(x² + 1)² Δx

V = lim ∑ π(x² + 1)² Δx

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

ΔV ≈ πr²h

ΔV ≈ π(√y)² Δy

V ≈ ∑ πy Δy

V = lim ∑ πy Δy

Volume Benda Putar Metode Cakram

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang potongannya berbentuk cincin.

Volume Benda Putar Metode Cincin

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= π(R² – r²)h

​

Volume Benda Putar Metode Cincin

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya
2. Buat sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

Volume Benda Putar Metode Cincin

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

ΔV ≈ π(R² – r²) h

ΔV ≈ π [ (2x)² – (x²)² ] Δx

ΔV ≈ π (4x² – x⁴) Δx

V ≈ ∑ π (4x² – x⁴) Δx

V = lim ∑ π (4x² – x⁴) Δx

Volume Benda Putar Metode Cincin

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

V = 2πrhΔr

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya
2. Buatlah sebuah partisi
3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.
4. Aproksimasi volume partisi yang diputar, jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam bentuk integral.

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

ΔV ≈ 2πrhΔx

ΔV ≈ 2π(x)(x²)Δx

V ≈ ∑ 2πx³Δx

V = lim ∑ 2πx³Δx

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jika daerah pada contoh ke-10 tersebut dipartisi secara horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai berikut.

ΔV ≈ π(R² – r²)Δy

ΔV ≈ π(4 - x²)Δy

V ≈ ∑ π(4 – y)Δy

V = lim ∑ π(4 – y)Δy

Volume Benda Putar Metode Kulit Tabung

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Petunjuk : Kesempatan menjawab hanya 1 kali

Latihan (6 soal)

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1.

A

B

C

D

E

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan dalam bentuk integral sebagai ....

Soal 1.

A

B

C

D

E

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini sama dengan ….

A

B

C

D

E

Soal 3.

5 satuan luas

7 2/3 satuan luas

8 satuan luas

9 1/3 satuan luas

10 1/3 satuan luas

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

2

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Benar

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Jawaban Anda Salah

Penggunaan Integral Latihan

Adaptif

INTEGRAL

Hal.:

Media Presentasi Pembelajaran

Penggunaan Integral

Selesai

Terima Kasih

Adaptif