2 of 13

Пирамида имеет одно основание -многоугольник, боковые ребра, которые сходятся в одной вершине, боковые грани треугольники.

3 of 13

Измерения пирамиды

4 of 13

1. Задание. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение. Площадь пирамиды равна

Площадь боковой стороны пирамиды

Высоту треугольника h найдем по теореме Пифагора:

Тогда площадь поверхности пирамиды

Ответ: 340.

5 of 13

2. Задание. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания

на апофему.

Апофему найдем по теореме Пифагора как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого — боковое ребро, а другой катет — половина стороны основания:

6 of 13

3. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Решение. Объем пирамиды равен

где S – площадь основания, а – h высота пирамиды. Зная площадь основания, можно найти высоту:

7 of 13

4. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна

Решение. Объем пирамиды равен

где – S площадь основания, а h – высота пирамиды. Площадь равностороннего треугольника в основании

8 of 13

5. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Решение. Площадь поверхности складывается из площади основания и площади четырех боковых граней:

Апофему найдем по теореме Пифагора:

Тогда площадь поверхности пирамиды:

9 of 13

6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Решение. Объем пирамиды с площадью основания S и высотой h равен

Площадь основания

Сторона основания

Диагональ

Боковое ребро найдем по теореме Пифагора:

10 of 13

7. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора:

Площадь основания

Тогда объем пирамиды

11 of 13

8. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.

Решение. Площадь лежащего в основании пирамиды многоугольника является разностью площадей квадратов со сторонами 6 и 3 (см. рис.):

Поскольку высота пирамиды

равна 3, имеем:

12 of 13

9. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60^о . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Решение. ΔSAH = ΔSGH по стороне и двум углам. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.

АS=2AH. 4х² = х² +6²

3х²= 36, AH=GH=

AD=2AH

S _осн= ∙ 2∙ = 24

13 of 13

10. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Удобно считать треугольник ASB основанием пирамиды, тогда отрезок SC будет являться её высотой. Заметим, что

высота