Adamari Sinai Infante Bárcenas
Grupo 403
Matemáticas
Profesora Laura Elena Díaz Aguilar
“Fractales”
¿Qué es un Fractal?
�La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.
Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal. El hecho que goce de autosimilitud significa que el objeto fractal no depende del observador para ser en sí, es decir, si tomamos algunos tipos de fractales podemos comprobar que al hacer un aumento doble el dibujo es exactamente igual al inicial, si hacemos un aumento 1000 comprobaremos la misma característica, así pues si hacemos un aumento n, el dibujo resulta igual luego las partes se parecen al todo.
Un conjunto u objeto es considerado fractal cuando su tamaño se hace arbitrariamente mayor a medida que la escala del instrumento de medida disminuye.
Dimensión no entera.�Como se mostrará en el apartado siguiente la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
Compleja estructura a cualquier escala.�Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
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Las propiedades de los fractales
Infinitud.�Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
Autosimilitud en algunos casos.�Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.
Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando un número arbitrario de veces. Aunque otra forma de lograrlo es mediante la aplicación de técnicas de recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles..�Tan importante es la elección de la formula como la elección del método de coloreado de los resultados. En relación a esto, existen multitud de técnicas de coloreado como pueden ser:
¿Cómo se
construye
un fractal?
Fractal de Newton
El fractal de Newton es una curiosa creación basado en la aplicación del método de Newton para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. El algoritmo es eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.��La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la función que estamos tratando por la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fácilmente, por ser una ecuación lineal). Este cero será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen hasta que el método de una solución adecuada. Cabe destacar que es posible que el método diverja en determinadas circunstancias que pueden depender de la elección del punto inicial.
Como podemos comprobar, en este caso, han surgido fractales a partir de un método de aproximación de raíces de funciones y un poco de imaginación.�Para los ejemplos que se verán en las simulaciones se han dibujado los fractales basados en las siguientes funciones:
Fractal de Newton para la función x^3-1
Fractal de Newton para la función x^5-1 |
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Conjunto de Mandelbrot
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El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado.
El conjunto de Mandelbrot está considerado como el objeto geométrico más complicado creado hasta el momento por el hombre. La frontera que delimita este objeto en el plano complejo es fractal.
¿Qué es la geometría fractal?
La geometría fractal agrega una dimensión más a la clásica representación en tres dimensiones. La dimensión fractal nos permite observar la complejidad de las figuras irregulares, que no podemos apreciar gracias a la geometría Euclidiana.
¿Quién descubrió los fractales?
El primero en teorizar sobre los fractales fue el polaco-francés-estadounidense Benoit Mandelbrot, en el 1975. Pero la noción de un patrón geométrico irregular repetido a sí mismo, ya existía en el arte y la ciencia de la Antigüedad.
Mandelbrot fue uno de los principales matemáticos contemporáneos, y su aporte fue fundamental para la ciencia y la filosofía. Murió en octubre de 2010, a la edad de 85 años.
¿Qué representa un fractal?
Los fractales son la representación geométrica de una expresión analítica. Toda representación geométrica tiene una expresión analítica detrás y toda expresión analítica puede ser representada gráficamente.
Los fractales en el arte
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A través de algoritmos de color, los pixeles y gradientes de cada fractal podían ser modificados y reordenados para producir unos nuevos. De esta manera, su creación se hizo infinita y cada artista podía generar una combinación propia que resultara atractiva para el público. Fue aquí donde la geometría fractal se convirtió en el arte fractal.
Algunos de los artistas más relevantes en la creación de arte fractal son el británico William Latham, Greg Sams, la americana Vicky Brago-Mitchell, Scott Draves, Merrin Parkers y Carlos Ginzburg, quien asegura que el ser humano es el perfecto fractal.
El mexicano Juan Carlos Guarneros es uno de los más grandes exponentes del arte fractal en toda Latinoamérica.
Bibliografía: