Integración de Romberg�

Métodos de aproximación numérica

¿Problemática?

Necesitamos integrar una función continua complicada o una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados como un conjunto discreto de puntos.

Usamos métodos de integración numéricos para obtener la integral aproximada

Formas cerradas de las fórmulas de integración de Newton-Cotes

Integración de Romberg

Regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 3/8

Regla del trapecio

• Es una técnica de Integración de ecuaciones

Integración de Romberg

• Se basa en la extrapolación de Richardson que es un método es un método que combina dos estimaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

• Es una técnica recursiva, se basa en aplicaciones sucesivas de la regla del trapecio

• Se utiliza para generar una estimación/aproximación de la integral dentro de una tolerancia de error preespecificada

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

¿Cuál es el criterio de terminación de las iteraciones?

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

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• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

Las filas j indican integrales considerando c/vez con mas segmentos

Las columnas k, indican el nivel de la integración

Estimación del error relativo porcentual:

¿Cuál es el criterio de terminación de las iteraciones?

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Las filas j indican integrales considerando c/vez con mas segmentos

Las columnas k, indican el nivel de la integración

¿Cómo combinamos dos estimaciones?

Forma general de la Integración de Romberg:

Integración de Romberg

• Técnica recursiva … combina dos estimaciones/aproximaciones numéricas de la integral para obtener un tercer valor más exacto.

​

• Esas dos estimaciones o aproximaciones se obtienen de aplicar la regla del trapecio

Las filas j indican integrales considerando c/vez con mas segmentos

Las columnas k, indican el nivel de la integración

¿Cómo combinamos dos estimaciones?

Forma general de la Integración de Romberg:

CASO ESPECIAL:

dividiendo a la mitad sucesivamente

Integración de Romberg

Aproximación de la integral con O(h⁶)

Aproximación de la integral con O(h⁸)

Aproximación de la integral con O(h⁴)

Los coeficientes suman 1

Representan factores de ponderación

que, conforme aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de la integral.

¿Cómo combinamos dos estimaciones?

Forma general de la Integración de Romberg:

CASO ESPECIAL:

dividiendo a la mitad sucesivamente

EJEMPLO

Mejorar la estimación de la integral de la siguiente función entre 0 y 0.8 utilizando los resultados de estimaciones simples y múltiples de la regla del trapecio:

• Si se combinan las estimaciones con 1 y 2 segmentos resulta:

Integración de Romberg

EJEMPLO

Mejorar la estimación de la integral de la siguiente función entre 0 y 0.8 utilizando los resultados de estimaciones simples y múltiples de la regla del trapecio:

• Si se combinan las estimaciones con 1 y 2 segmentos resulta:

• También podemos utilizar las estimaciones con 2 y 4 segmentos para obtener:

Integración de Romberg

EJEMPLO

Mejorar la estimación de la integral de la siguiente función entre 0 y 0.8 utilizando los resultados de estimaciones simples y múltiples de la regla del trapecio:

• Si se combinan las estimaciones con 1 y 2 segmentos resulta:

• También podemos utilizar las estimaciones con 2 y 4 segmentos para obtener:

Integración de Romberg

EJEMPLO

Mejorar la estimación de la integral de la siguiente función entre 0 y 0.8 utilizando los resultados de dos estimaciones de la integral O(h⁴):

Combinan las estimaciones O(h⁴) y calcular una integral O(h⁶) :

Integración de Romberg

EJEMPLO

Proceso iterativo de aproximación:

Estimación del error relativo porcentual:

¿Cuál es el criterio de terminación de las iteraciones?

Integración de Romberg

Métodos de aproximación numérica

¿Problemática?

Necesitamos integrar una función continua complicada o una función tabulada donde los valores de x y f(x) están dados como un conjunto discreto de puntos.

Usamos métodos de integración numéricos para obtener la integral aproximada

Formas cerradas de las fórmulas de integración de Newton-Cotes

Integración de Romberg

Regla de Simpson 1/3

Regla de Simpson 3/8

Regla del trapecio

Formas cerradas de las fórmulas de integración de Newton-Cotes

Comentarios finales

• La integración de Romberg es más eficientes que las reglas del trapecio y de Simpson.

​

• La reglas de Simpson, las integración de Romberg y la cuadratura de Gauss son más eficientes y exactas que la regla del trapecio.

​

• Para la regla del Trapecio y las de Simpson, de aplicación múltiple, conforme número de segmentos aumenta (n) disminuye el error. Pero también, para grandes valores de n, el error vuelve a aumentar debido a que los errores de redondeo comienzan a dominar.

Comentario para el caso de integrales múltiples (dobles o triples…)

EJEMPLO

se pueden calcular como integrales iteradas

1° saplican métodos a la primera dimensión manteniendo constantes los valores de la segunda dimensión.

​

2° se aplica e el método para integrar la segunda dimensión.

Ejemplo aplicando la regla del trapecio con dos segmentos