2 of 34

BILANGAN

Bab

Menentukan, menyajikan, dan memodelkan hasil operasi hitung, serta menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi bilangan cacah.
Menjelaskan dan menentukan pangkat dua dan akar pangkat dua, serta menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan pangkat dua dan akar pangkat dua.

Tujuan Pembelajaran

3 of 34

a. Pertukaran

Jika disambung menjadi

atau

4 + 3 = 7

3 + 4 = 7

Urutan penjumlahan dapat ditukar dan menghasilkan nilai yang sama.

4 + 3 = 3 + 4 = 7

Sifat-Sifat Operasi Hitung

1. Operasi Hitung Penjumlahan

4 of 34

b. Pengelompokan

Menghitung 2 + 3 + 4 = . . .

(2 + 3)

(2 + 3) + 4

5 of 34

Cara lain: 3 + 4 + 2 = . . .

(3 + 4)

2 + (3 + 4)

Perhitungan dari depan atau dari belakang menghasilkan nilai sama.

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9

6 of 34

c. Penjumlahan dengan Nol

2 + 0 = 2

4 + 0 = 4

Penjumlahan dengan Nol (0) menghasilkan �bilangan itu sendiri.

7 of 34

Contoh penggunaan sifat operasi hitung

37 + 18 + 3 = . . .

Lebih mudah dijumlahkan dulu

karena hasilnya puluhan.

37 + 18 + 3 = 37 + 3 + 18

Ditukar urutannya.

= 40 + 18

= 58

Urutan penjumlahan

DAPAT ditukar

8 of 34

Contoh penggunaan sifat operasi hitung

76 + 27 = . . .

Dapatkan puluhan dari salah satu bilangan.

= 76 + 4 + (27 – 4)

= 80 + (23)

= 103

Ditambah 4

(agar nilai tetap, kurangi lagi dengan 4)

Untuk mendapatkan puluhan 80

9 of 34

2. Operasi Hitung Pengurangan

Mula-mula ada 7

Diambil 4

7 – 4

Diambil lagi 2

Ada 4

Diambil 2, sisa 2

4 – 2

Sisa 1

(7 – 4) – 2

7 – (4 – 2)

Sisa 5

(7 – 4) – 2 TIDAK SAMA dengan 7 – (4 – 2)

Pada pengurangan, urutan tidak bisa ditukar.

10 of 34

3. Operasi Hitung Perkalian

4 × 3 = 3 × 4

Pada perkalian, urutan dapat dibalik.

Arti 4 × 3

a. Pertukaran

11 of 34

4 × 3 × 2 = (4 × 3) × 2 = 4 × (3 × 2)

Mengubah urutan operasi perkalian memberikan hasil TETAP.

b. Pengelompokan

12 of 34

4 × (3 + 2) = (4 × 3) + (4 × 2)

3 + 2

4 × (3 + 2)

4 × 3

4 × 2

c. Hukum Distributif

13 of 34

Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan

1. Nilai Tempat

234

= 200 + 30 + 4

= (2 × 100) + (3 × 10) + 4

Angka 2 pada bilangan 234 mempunyai nilai tempat ratusan.

Angka 3 pada bilangan 234 mempunyai nilai tempat puluhan.

Angka 4 pada bilangan 234 mempunyai nilai tempat satuan.

14 of 34

2. Membandingkan Bilangan

Manakah yang lebih besar,

314 atau 282?

Bilangan dapat dibandingkan dengan memperhatikan nilai tempat tertinggi.

Dilihat dari nilai tempat ratusan diketahui 3 > 2, maka

314 > 282

15 of 34

3. Mengurutkan Bilangan

123

156

194

257

Urutan keempat bilangan di atas dari yang terkecil:

123, 156, 194, 257

Urutan keempat bilangan di atas dari yang terbesar:

257, 194, 156, 123

16 of 34

a. Perkalian dengan Angka Satuan

Menghitung Perkalian dan Pembagian

1. Operasi Hitung Perkalian

3 × 32

3 × 30 = 90

3 × 32 = 90 + 6 = 96

3 × 32 = . . . .

3 × 2 = 6

17 of 34

3 × 2

3 × 30

Jadi, 3 × 32 = 96.

3 2

Cara memanjang:�3 × 32 = 3 × (30 + 2) (jabarkan salah satu bilangan)� = 3 × 30 + 3 × 2 (gunakan hukum distributif)� = 90 + 6 = 96

Cara bersusun:

18 of 34

b. Perkalian dengan Angka Puluhan

23 × 263 = . . . .

Cara memanjang:

23 × 263 = (20 + 3) × 263 (jabarkan salah satu bilangan)� = (20 × 263) + (3 × 263) (gunakan hukum distributif)

i. Pertama, hitung perkalian 3 × 263

3 × 263 = 3 × (200 + 60 + 3) (jabarkan salah satu bilangan)

= 3 × 200 + 3 × 60 + 3 × 3 (gunakan hukum distributif)

= 600 + 180 + 9

= 789

20 × 263

3 × 263

263

3 × 200

3 × 60

3 × 3

200

19 of 34

ii. Lalu, hitung perkalian 20 × 263

20 × 263 = 20 × (200 + 60 + 3) (jabarkan salah satu bilangan)

= 20 × 200 + 20 × 60 + 20 × 3 (gunakan hukum distributif)

= 4.000 + 1200 + 60

= 5.260

iii. Terakhir, jumlahkan hasil dari proses i dan ii

23 × 263 = (20 + 3) × 263 = (20 × 263) + (3 × 263)

= 5.260 + 789 = 6.049

Jadi, 23 × 263 = 6.049.

20 × 200

20 × 60

20 × 3

200

20 × 200

20 × 60

20 × 3

3 × 200

3 × 60

3 × 3

200

20 of 34

Cara bersusun:

6 0 4 9

3 × 3

1 8 0

60 × 3

6 0 0

200 × 3

6 0

3 × 20

1 2 0 0

60 × 20

4 0 0 0

200 × 20

2 6 3

2 3

Angka nol di bagian belakang sering tidak dituliskan, �tetapi posisi dan letaknya harus jelas.

21 of 34

7 kali

Penjumlahan 3 sebanyak 7 kali

Arti bentuk: 21 : 3 = 7

21 – 3 = 18

18 – 3 = 15

15 – 3 = 12

12 – 3 = 9

9 – 3 = 6

6 – 3 = 3

3 – 3 = 0

3 + 3 + 3 + . . . + 3 =

3 kali

7 × 3 = 21

21 – 7 = 14

14 – 7 = 7

7 – 7 = 0

Arti bentuk: 21 : 7 = 3

21 : 3 = 7

21 : 7 = 3

7 × 3 = 21

a. Hubungan perkalian dan pembagian

2. Operasi Hitung Pembagian

22 of 34

Hitunglah 84 : 7 = . . . .

Menghitung pembagian dengan perkalian

7 × 10 = 70 dan 7 × 20 = 140

maka kita dapatkan angka puluhan untuk pembagian:� 84 : 7 = 10 + . . .

Atau

84 = 7 × 10 + 14.�Selanjutnya, karena 14 : 7 = 2,

maka

84 : 7 = 10 + 2 = 12.

Perhatikan bahwa, 84 terletak antara 70 dan 140.

Penyelesaian:

dapat dicari dengan mudah

140

23 of 34

b. Pembagian dengan sisa

Berapakah hasil dari 14 : 3?

14 dibagi 3 adalah 4 dengan sisa 2.

Menggunakan pengurangan berulang:

4 kali

Perhitungan ini dapat dituliskan sebagai

14 = 4 × 3 + 2

Bilangan 4 disebut hasil bagi dan 2 disebut sisa.

14 – 3 = 11

11 – 3 = 8

8 – 3 = 5

5 – 3 = 2

2 – 3 = tidak bisa

24 of 34

Pembagian dengan cara bersusun

54 : 3 = . . .

5 : 3 = 1

5 4

1 × 3 = 3

2 4

24 : 3 = 8

8 × 3 = 24

2 4

54 : 3 = 18

c. Melakukan pembagian

25 of 34

Operasi Hitung Campuran

Aturan operasi hitung campuran:

Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.
Jika hanya ada perkalian dan pembagian, kerjakan urut dari kiri.
Jika hanya ada penjumlahan dan pengurangan, kerjakan urut dari kiri.
Kerjakan perkalian atau pembagian terlebih dahulu daripada penjumlahan dan pengurangan.

( )

× atau :

+ atau −

26 of 34

3. 23 + 6 × 4 =

2. 26 + 36 – 25 =

1. 25 + (27 – 24) =

25 +

= 28

– 25

= 37

23 +

= 47

Contoh:

Dalam kurung dikerjakan terlebih dahulu

Kerjakan urut dari kiri

Perkalian dikerjakan terlebih dahulu

27 of 34

Pembulatan dan Penaksiran

1. Pembulatan

Aturan pembulatan bilangan:

Jika angkanya lebih besar atau sama dengan 5, bulatkan ke atas.
Jika angkanya lebih kecil dari 5, bulatkan ke bawah.

5.735

Pembulatan ke ribuan, perhatikan ratusannya.

Pembulatan ke puluhan, perhatikan satuannya.

Pembulatan ke ratusan, perhatikan puluhannya.

5 ≥ 5, jadi angka puluhan bulatkan ke atas.

Hasil pembulatannya 5.740.

3 < 5, jadi angka ratusan bulatkan ke bawah.

Hasil pembulatannya 5.700.

7 ≥ 5, jadi angka puluhan bulatkan ke atas.

Hasil pembulatannya 6.000.

28 of 34

2. Penaksiran

Aturan penaksiran dalam operasi hitung:

bulatkan setiap bilangan penyusun operasi hitung,
hitung hasilnya.

Taksirlah 65 × 61 + 2.351 ke puluhan terdekat.

Jadi, 65 × 61 + 2.351 ≈ 70 × 60 + 2.360

= 4.200 + 2.350 = 6.550

Pembulatan setiap bilangan ke puluhan terdekat:

2.351 2.360

29 of 34

Perpangkatan Dua dan Akar Pangkat Dua

1. Perpangkatan Dua

Perpangkatan dua adalah perkalian dua bilangan yang sama.

Contoh:

4 × 4 = 4², dibaca 4 pangkat 2 atau 4 kuadrat

7 × 7 = 7², dibaca 7 pangkat 2 atau 7 kuadrat

Hasil perkaliannya disebut kuadrat bilangan.

Ditulis dengan angka 2 di atas bilangan tersebut.

30 of 34

13 × 13 = . . .

10 × 3

13 × 13 = 13²

10 × 10

10 × 3

3 × 3

13²= ( 10 + 3)²

= 10²+ 2 × 10 × 3 + 3²

= 100 + 60 + 9

= 169

a. Menghitung pangkat menggunakan penjumlahan

31 of 34

21²= . . .

21 – 1

21²– 1² = ( 21 – 1) × (21 + 1)

= 20 × 22

= 22 × 20

21²= 22 × 20 + 1²

= 22 × 20 + 1

21 – 1

21 + 1

b. Menghitung pangkat dengan pengurangan

32 of 34

c. Menghitung pangkat bilangan dengan satuan 5

35² = . . .

35²

Hasil kuadratnya 25

Setelah angka 3 adalah 4. Maka 3 × 4 = 12

Jadi, 35² = 1.225.

33 of 34

2. Akar Kuadrat Bilangan

Cari bilangan pangkat dua dari sepuluhan yang dekat dengan 289.

Cari bilangan pangkat dua dengan hasil pada satuannya adalah 9.

(10 + 5)² = 15² = 225

10² = 100

20² = 400

100 < 289 < 400

3² = 9

7² = 49

3 < 5 < 7

dan

34 of 34

Pola Bilangan

Perhatikan banyak persegi pada pola berikut.

Perhatikan polanya berikut.

Banyak persegi di pola

selanjutnya

dapat diketahui.

. . .

+11

. . .

+ . . .