Презентація на тему:��“Тригонометричні функції та �їх властивості”

Тригонометричні функції— математичні функціі від кута.

Вони важливі при вивченні геометрії, а також при дослідженні періодичних процесів.

Зазвичай тригонометричні функції визначають як відношення сторін прямокутного трикугника або довжини визначених відрізків в одиничному колі.

Більш сучасніші визначення визначають тригонометричні функції через суми рядів або як розв′язки деяких диференціальных рівнянь, що дозволяє поширити область визначення цих функцій на довільні дійсні числа і навіть на комплексні числа.

Функція y = sin x

Побудова графіка функції

​

Властивості і графік y=sinx

4

• 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).
• 2. Область значень – проміжок [-1;1].
• 3. Функція непарна sin(-x)=-sinx, (графік функції симетричний відносно початку координат)
• 4.Функція періодична з періодом Т=2П.
• 5. Функція зростає при xє[-П/2+2Пn;П/2+2Пn], n є Z.
• 6. Функція спадає при xє[П/2+2Пn;3П/2+2Пn], n є Z.
• 7. Функція має максимум у точках (П/2+2Пn;1),

мінімум у точках (-П/2+2Пn;-1), nє Z.

• 8.Проміжки знакосталості: sin x > 0, якщо х є(2Пn; П + 2Пn), nєZ

sin x < 0, якщо x є(П+ 2Пn; 2П+ 2Пn), nєZ

• Графіком функції є крива - синусоїда

Функція y = cos x

Побудова графіка функції

​

Графік функції у=cosx отримаємо шляхом перенесення графіка функції у=sinx вліво на π/2 (sin (x + π/2) = cos x)

​

Властивості функції y=cosх:

6

• 1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).
• 2. Область значень – проміжок [-1;1].
• 3. Функція парна cos(-x)=cosx, (графік функції симетричний відносно осі OY)
• 4. Функція періодична з періодом Т=2П (cos (x + 2П) = cos x).
• 5. Функція зростає при xє[-П+2Пn;2Пn], n є Z.
• 6. Функція спадає при xє[2Пn;П+2Пn], n є Z.
• 7. Функція має максимум у точках (2Пn;1),

мінімум у точках (П+2Пn;-1), nєZ.

• 8.Проміжки знакосталості: cos x > 0, якщо х є (-П/2 + 2Пn; П/2 + 2Пn),

cos x < 0, якщо x є (П/2 + 2Пn; 3П/2 + 2Пn), nєZ

• Графіком функції є крива - косинусоїда

Властивості функції y=tgх

7

• 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=П/2+Пn, nєZ.
• 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).
• 3. Функція непарна tg(-х)=-tgх (графік функції симетричний відносно початку координат)
• 4. Функція періодична з періодом Т= П ( tg(x+π)=tgx).
• 5. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ.
• 6.Функція зростає на всій області визначення.
• 7.Проміжки знакосталості Tg x > 0, якщо х є (Пn; П/2 + Пn), nєZ

Tgх < 0, якщо х є (-П/2+Пn;Пn), n є Z.

• 8. Функція не має екстремумів.
• 9. Графіком функції є крива – тангенсоїда

​

Властивості функції y=ctgх

8

• 1. Область визначення – всі дійсні числа, крім точок х=Пn, nєZ.
• 2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).
• 3. Функція непарна ctg(-х)=-ctgх (графік функції симетричний відносно початку координат )
• 4. Функція періодична з періодом Т= П ( сtg(x+π)=сtgx).
• 5. Нулі функції – точки (π\2+Пn;0), nєZ.
• 6. Функція спадає на всій області визначення.
• 7.Проміжки знакосталості ctgх >0, якщо xє (Пn;П/2+Пn), n є Z.

ctgх < 0, якщо x є (П/2+Пn;П+Пn), n є Z.

8. Функція не має екстремумів.

• 9. Графіком функції є крива - котангенсоїда

​

0

y

x

Перетворення графіків функцій

9

1.Для побудови графіка функції y = f(x)± а�необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = f(x) вздовж осі OY на а одиниць вгору (вниз).

2. Для побудови графіка функції y = f(x±а) необхідно виконати паралельне перенесення графіка функції y = f(x) вздовж осі OX на а одиниць вліво (вправо).

​

​

​

10

Побудувати графік функції y = tg x -1

Перетворення графіків функцій

11

• 5. Для побудови графіка функції y =| f(x) | необхідно побудувати графік функції y = f(x) при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OХ
• Для побудови графіка функції y = f |(x) | необхідно побудувати графік функції y = f(x) при x≥0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний для вже побудованого графіка відносно осі OУ

​

12

y

1

-1

x

Побудувати графік функції y = | sin x |

Перетворення графіків функцій

13

• Для побудови графіка функції � y = - f(x) необхідно графік функції

y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OX.

• Для побудови графіка функції

y = f(-x) необхідно графік функції

y = f(x) відобразити симетрично відносно осі OY.

​

Побудувати графік функції y = - сos x�

14

Практичне застосування тригонометричних функцій

15

• ^{Медицина}
• ^{Телеграф}
• ^{Будівництво}
• ^Фізика
• ^{Техніка}
• ^{Астрономія…}

Проекція на лощину

гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.

Дякую �за �увагу!