Показникова функція,

її графік і властивості

Означення показникової функції

Приклади показникової функції

Функція виду у = а^х, де а > 0, а ≠ 1, називається показниковою (з основою а).

​

Функція у = 2^х та її графік

1/2

1/4

1/8

1

0

-1

-2

-3

у

х

2

1

4

2

8

3

Властивості показникової функції у = 2^х

​

​

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел.

2. Область значень — множина всіх додатних чисел.

3. Функція у = 2^х — зростаюча на множині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь

у в точці(0; 1).

​

​

Розглянемо функцію

у

х

о

1

2

4

8

1

0

-1

-2

-3

у

х

1/2

1

1/4

2

1/8

3

-1

-2

-3

1

2

3

Властивості функції

Чи є серед значень функції

у = 2^х:

а) найбільше; б) найменше?

​

​

Що є спільного у графіків при а > 1 та при 0<а<1?� Порівнємо властивості цих графіків.

у

х

о

1

у

х

о

1

0<a<1

a>1

y=a^x

Властивості показникової функції

D(y) =R

E(y) = (0; +∞)

a>1

0<a<1

Зростає

x₁>x₂⇔ a ^x1 >a^x2

Спадає

x₁>x₂⇔ a ^x1 <a^x2

Якщо х=0, то у=1

Якщо х=0, то у=1

Якщо х<0, то у<1

Якщо х>0, то у>1

Якщо х<0, то у>1

Якщо х>0, то у<1

Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які спадними?

1) y = 10^x

2) y =

3) y = 2^-x

4) у =

5) у=

6) у=

.

;

;

;

;

зростаюча

зростаюча

зростаюча

спадна

спадна

спадна

Використання показникової функції

Показникова функція часто використовується для опису різних процесів у природі і техніці.

Так радіоактивний розпад виражається формулою

де m(t) – маса радіоактивної речовини в момент часу t,

m₀ – маса радіоактивної речовини в момент часу t=0,

Т – період напіврозпаду (проміжок часу, за який початкова кількість речовини зменшується удвічі)

​

​

Зміна атмосферного тиску.

​

р=р₀аⁿ

р₀- атмосферний

тиск на рівні

моря,

а – деяка стала

Розмноження бактерій у певному середовищі.

​

N=N₀a^kt

N₀- початкова

кількість

бактерій при

t=0 , а і к -

деякі сталі.