Квадратна нерівність. Розв’язування квадратних нерівностей

Усні вправи

• 1.Серед наведених рівнянь укажіть рівняння, що задають ква­дратичну функцію:
• 1) у = х² -4х + 3;
• 2) у² = 2х + 1;
• 3) у² = х² – 1;
• 4) у = -х – х²;
• 5) у² = х+4²;
• 6) у = -х².
• 7) у=(х-3)(х+3)
• 8) у=х²+3х+4
• 2.Що є графіком квадратичної функції?
• 3.Який напрям віток параболи у кожному із випадків ?
• 4. Який із графіків перетинає вісь Ох ?

Порівняйте з нулем а та D, відповідно до графіків.

a>0,D>0

a<0,D>0

a<0,D=0

a>0,D<0

a<0,D<0

x

x

x

x

x

x

a>0,D=0

Порівняйте з нулем а та D

a<0,D=0

a<0,D>0

a<0,D>0

a>0,D<0

1

2

3

4

Установіть відповідність між умовою та графіком, що їй відповідає.

а) а > 0; D > 0; c < 0;

б) а > 0; D = 0; c > 0;

в) а < 0; D < 0; c < 0;

д) а > 0; D = 0; с = 0.

г) а < 0; D > 0; c = 0;

1

2

4

5

6

3

е) а < 0; D > 0; c >0;

​

План вивчення нового матеріалу�

• Означення квадратної нерівності. Приклади квадратних нерів­ностей з різними коефіцієнтами.
• Схема розв'язування квадратних нерівностей за допомогою по­будови графіка відповідної квадратичної функції.
• Різні способи розташування графіка квадратичної функції y = ax² + bx + c відносно осі Ох залежно від знака старшого коефіцієнта та знака дискримінанта квадратного тричлена ах² + bх + с.
• Приклади розв’язування нерівностей.

Розв'язання квадратних нерівностей:�

• Нерівність виду,
• ax²+bx+c>0 (<0,≤0,≥0),деa≠0 називається квадратною.
• Кроки розв'язання квадратної нерівності:
• 1.Визначаємо точки перетину параболи і осі Оx, 
• розв’язавши рівняння   ax²+bx+c=0.

​

• 1)Якщо  D>0, у рівняння має два різних корені
• відповідно ,
• парабола перетинає вісь Оx у двох точках

​

• 2)Якщо  D=0, у рівняння два однакових корені
• вершина параболи знаходиться на Ох�

​

• 3)Якщо  D<0, то рівняння немає коренів, парабола
• не перетинає вісь  Оx

​

• ��

х

х1

х2

+

+

-

х

+

+

x1.2

х

• 2. Враховуючи кількість коренів і знак коефіцієнта a,
• будуємо схематично графік параболи:
• Якщо a>0, гілки параболи напрямлені вгору, якщо a<0, тоді вниз.
• Якщо a<0, можна  спочатку обидві частини нерівності помножити на (−1) і знак нерівності поміняти на протилежний,тоді вітки параболи будуть також напрямлені вгору.
• 3. Визначаємо зафарбована чи не чи зафарбована має бути точка, в залежності від знака нерівності:
• якщо стоїть знак нестрогої нерівності  ≤  або  ≥ -
• якщо стоїть знак строгої нерівності  < або >
• 4. Визначаємо інтервал, згідно з умовою нерівності:
• Якщо нерівність має вигляд ƒ(х)˃ 0,або ƒ(х)≥ 0,то у відповідь записуються інтервали, на яких парабола знаходиться вище осі Ох;
• Якщо нерівність має вигляд ƒ(х)<0,або ƒ(х)≤ 0,то у відповідь записуються інтервали,на яких парабола знаходиться нижче осі Ох;
• 5. Записуємо відповідь.

Схема розв'язування нерівності ах2 + bx + c > 0 залежно від а і D (ax² + bx + c > 0 (D = b² – 4ac)��

a>0,D>0

a>0,D=0

a>0,D<0

a<0,D>0

a<0,D=0

a<0,D<0

x

x

x

x

x

x

+

+

-

х1

х2

x0

+

+

+

х1

х2

+

-

-

-

-

x0

Схема розв'язування нерівності ах2 + bx + c > 0 залежно від а і D (ax² + bx + c ≥ 0 (D = b² – 4ac)��

a>0,D>0

a>0,D=0

a>0,D<0

a<0,D>0

a<0,D=0

a<0,D<0

x

x

x

x

x

x

+

+

-

х1

х2

x0

+

+

+

х1

х2

+

-

-

-

-

x0

Користуючись рисунком із зображенням графіка функції, у=х²+2х-3, записати множини розв'язків нерівностей у завданнях 1-4�

Приклади:

• 1.Розв'язати квадратну нерівність −2x²+4x−5≤0
• Розв'язання:
• −2x²+4x−5≤0 ∣⋅(−1)
• 2x²−4x+5≥0 у= 2x²−4x+5,а=2>0-вітки напрямлені
• вгору.
• D=16−4⋅2⋅5=−24 парабола не перетинає вісь Ox

​

​

​

​

​

За малюнком видно, що графік додатний при будь-якому значенню x

Відповідь: x∈(−∞;+∞) або x∈R

​

х

Приклади:

х

-7

1

Відповідь:(- 7; 1).

1

3

Приклади:

4

3

0

х

0

-1,5

х

5

Користуючись рисунком із зображенням графіка функції записати множини розв'язків нерівностей у завданнях

1.f(x)>0; 2.f(x)≤0; 3.f(x)<0

​

​

Розв’язуємо вправи ЗНО

Розв'язання �квадратних нерівностей:�

​

​

• На замітку
• абітурієнту