HIMPUNAN

​

​

Matematika Diskrit

1

Definisi

• Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

​

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

​

• HIMATIK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

2

• Satu set huruf (besar dan kecil)

3

Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.

​

Contoh 1.

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

4

Keanggotaan

x ∈ A : x merupakan anggota himpunan A;

x ∉ A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

• Contoh 2.
• Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
• K = {{}}
• maka

3 ∈ A

{a, b, c} ∈ R

c ∉ R

{} ∈ K

{} ∉ R

5

Contoh 3. Bila P₁ = {a, b},

P₂ = { {a, b} },

P₃ = {{{a, b}}},

maka

a ∈ P₁

a ∉ P₂

P₁ ∈ P₂

P₁ ∉ P₃

P₂ ∈ P₃

6

2. Simbol-simbol Baku

​

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

​

7

3. Notasi Pembentuk Himpunan

​

8

4. Diagram Venn

​

Contoh 5.

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},

A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

​

Diagram Venn:

​

​

9

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau ⎢A ⎢

Contoh 6.

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari 20 },

atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ⏐B⏐ = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ⏐T⏐ = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka ⏐A⏐ = 3

10

Himpunan kosong (null set)

11

Himpunan Bagian (Subset)

12

13

14

15

• Latihan

[LIP00] Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan semua kemungkinan himpunan C sedemikian sehingga A ⊂ C dan C ⊂ B, yaitu A adalah proper subset dari C dan C adalah proper subset dari B.

​

16

Jawaban:

C harus mengandung semua elemen A = {1, 2, 3} dan sekurang-kurangnya satu elemen dari B.

​

Dengan demikian, C = {1, 2, 3, 4} atau

C = {1, 2, 3, 5}.

​

C tidak boleh memuat 4 dan 5 sekaligus karena C adalah proper subset dari B.

17

Himpunan yang Sama

18

19

Himpunan yang Ekivalen

20

Himpunan Saling Lepas

21

Himpunan Kuasa

22

Operasi Terhadap Himpunan

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

Perampatan Operasi Himpunan

37

38

Hukum-hukum Himpunan

• Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan
• Disebut juga hukum aljabar himpunan

​

39

40

Prinsip Dualitas

• Prinsip dualitas 🡪 dua konsep yang berbeda dapat saling dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

​

41

42

43

44

45

46

Prinsip Inklusi-Eksklusi

47

48

49

Latihan:

Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?

​

50

51

Partisi

52

Himpunan Ganda (multiset)

53

54

55

56

Pembuktian Proposisi Perihal Himpunan

57

58

• Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

​

• Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta.

​

• Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

​

59

60

61

62

63

64

65

66

67

Tipe Set dalam Bahasa Pascal

68

69

70

71

72