Сума перших n членів арифметичної прогресії.

Тема уроку:

Мета уроку:

• Домогтися засвоєння формули для обчислення суми перших n членів арифметичної прогресії; сформувати вміння застосовувати цю формулу до розв’язування задач;
• Формувати вміння висловлювати власну думку,слухати і чути інших;
• Сприяти самовихованню об’єктивності, чесності, відповідальності.

!1. Дайте означення арифметичної прогресії.

Відповідь: Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член якої, начинаючи з другого, дорівнює попередньому, до якого додається одне й те ж число.

​

! 2. Що називають різницею арифметичної прогресії? Як позначають?

​

Відповідь: це число, яке показує на скільки кожний наступний член більший або менший попереднього. Позначають буквою d.

! 3. Назвати формулу n-ого члена арифметичної прогресії.

!4. Які властивості арифметичної прогресії?

• Відповідь: Кожний член арифметичної прогресії, починаючи з другого дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів.

!5. Який спосіб задання арифметичної прогресії ви знаєте?

рекурентно

! 6. Які бувають арифметичні прогресії?

Відповідь:

Якщо в арифметичній прогресії різниця d > 0, то прогресія є зростаючою.

Якщо в арифметичній прогресії різниця d <0, то прогресія є спадною.

Якщо в арифметичній прогресії d = 0, то прогресія є сталою.

​

Актуальна задача

​

На шоу талантів “Голос країни” після виступу всіх учасників глядачі протягом 30 хв могли взяти участь в смс - голосуванні за улюбленого учасника. Протягом першої хвилини від початку свою думку висловили 4800 глядачів. Протягом кожної наступної хвилини голосувало на 160 глядачів менше, ніж попередньої хвилини.

1. Скільки глядачів проголосували протягом другої хвилини від початку голосування?

​

• Скільки глядачів проголосували протягом третьої хвилини від початку голосування?

​

• Складіть формулу, за якою обчислюється кількість глядачів, які проголосували протягом n-ї хвилини від початку голосування (1≤n≤30).
• Скільки глядачів проголосували протягом 30 хвилин.

​

Нехай треба знайти суму членів арифметичної прогресії:

a₁ , a₂, a₃, …, a_n-2 , a_n-1 , a_n .

Позначають таку суму зазвичай S_n.

Запишемо цю суму двома способами: у прямому і зворотному порядку розміщення доданків.

Маємо:

S_n = a₁ + a₂+ a₃+ …+ a_n-2 + a_n-1 + a_n .

S_n = a_n + a_n-1 + a_n-2+... + a₃ + a₂ + a₁,

Додамо почленно ці дві рівності.

Маємо:

2 S_n = (а₁ + а_n) + (a₂ + а_n-1) + (a₃ + a_n-2)+ ... +(a_n-2 + a₃)+ (а_n-1 + a₂ )+(а_n + а₁).

Кожна із сум у дужках дорівнює а₁ + а_n

Кількість таких сум дорівнює n.

Отже, 2S_n = (а₁ + а_n)n.

Звідси:

​

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

Враховуючи те, що а_n = а₁ +d(n - 1), формулу суми членів арифметичної прогресії можна записати і в такому вигляді:

​

​

За встановленою формулою суму ста перших натуральних чисел можна обчислити так:

​

Формула суми перших n членів арифметичної прогресії

Формула суми �n перших членів арифметичної прогресії.

Висновок

Робота в групах

Завдання І групі:

• 1.Чому дорівнює сума семи перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо
• а₁=9 і а₇=15?
• 2. Знайдіть суму перших 27 членів арифметичної прогресії, у якої а₁=5 і d=3.
• 3. Знайдіть суму перших ста непарних чисел.

Робота в групах

• Завдання ІІ групі:
• 1.Чому дорівнює сума дев'яти перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо
• а₁=4 і а₉=18?
• 2. Знайдіть суму перших 12 членів арифметичної прогресії, у якої а₁=-6 і d=4.
• 3. Знайдіть суму усіх парних чисел, що містяться від 1 до 100.

​

Робота в групах

• Завдання ІІІ групі:
• 1.Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії (а_n), якщо
• а₁=20 і а₆=15?
• 2. Знайдіть суму перших 14 членів арифметичної прогресії, у якої а₁=7 і d=-3.
• 3. Знайдіть суму усіх натуральних чисел, кратних 4, що не перевищують 100.

1. В арифметичній прогресії

2,4; 2,6;… різниця дорівнює 2.

2. Четвертий член арифметичної прогресії

0,3; 0,7; 1,1,… дорівнює 1,5

3. 11-ий член арифметичної прогресії, для

якої дорівнює 0,2

Істинне чи хибне

твердження

На дошці записано всі натуральні числа від 1 до 50,крім чисел, кратних 5. Виберіть із них такі п’ять, які б утворили арифметичну прогресію.�

• 1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24,26,27,28,29,31,32,33,34,36,37,38,39,41, 42,43,44,46,47,48,49.

​

• 1,11,21,31,41); (2,12,22,32,42); (3,13,23,33,43); (4,14,24,34,44); (6,16,26,36,46); (7,17,27,37,47); (8,18,28,38,48); (9,19,29,39,49).

​

Дякую за увагу!