Геометрія, 9 клас

Теорема

косинусів

Актуалізація опорних знань

• Які види трикутників ви знаєте?
• Який трикутник називається прямокутним?
• Як називаються сторони прямокутного трикутника?
• Яка відома теорема виражає зв’язок між сторонами прямокутного трикутника?

Теорема Піфагора

​

​

​

​

с

а

b

Квадрат гіпотенузи дорівнює

сумі квадратів катетів

Дати означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса гострого кута прямокутного трикутника

А

С

В

b

c

a

Залежність між сторонами і кутами у прямокутному трикутнику

А

С

В

b

c

a

Теорема косинусів.

• Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

А

В

С

Історична довідка

• Теорема косинусів була доведена, звичайно,геометрично ще в “Началах” Евкліда.
• Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким математиком Франсуа Вієтом в XVI столітті.
• Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

Доведення:

А

В

С

1 випадок.

D

.

1) Проведемо висоту ВD.

2) З трикутника АВD отримаємо:

З трикутника ВDС отримаємо:

Доведення:

2 випадок.

А

С

В

D

1) Проведемо висоту ВD.

2) З трикутника АВD отримаємо:

З трикутника ВDC:

Доведення:

3 випадок.

А

В

С

Отже, теорема косинусів

набуває вигляду:

І виражає теорему Піфагора

для трикутника АВС.

В загальному вигляді

а

b

c

Записати теорему косинусів для кожної сторони трикутника

М

N

K

Задача

А

В

С

Дано: трикутник АВС,

АВ=6см, АС=8 см

Знайти: ВС

Розв’язання.

З трикутника АВС

за теоремою косинусів:

Відповідь:

6

8

Наслідок (властивість діагоналей паралелограма)

Сума квадратів діагоналей паралелограма

дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

А

В

С

D

Доведення:

А

В

С

D

а

а

b

b

Нехай АВ=СD= а;

АD=ВС= b.

З трикутника АВD за теоремою косинусів:

З трикутника АВС за теоремою косинусів:

Дві сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна з діагоналей -12 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

А

В

С

D

Дано: АВСD – паралелограм

АВ=7см, ВС=11см,

ВD=12см.

Знайти: АС

Розв’язання.

Домашнє завдання: