LOGIKA MATEMATIKA

• Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid.
• Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan penalaran induktif.

Penalaran deduktif

• Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang diandaikan benar untuk menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola penalaran tertentu.
• Contoh:

Premis 1 : Semua mahasiswa baru mengikuti OSPEK.

Premis 2 : Wulandari adalah mahasiswa baru.

Kesimpulan : Wulandari mengikuti OSPEK.

​

​

Penalaran induktif

• Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.
• Contoh:

Premis 1 : Ayam-1 berkembang biak dengan telur.

Premis 2 : Ayam-2 berkembang biak dengan telur.

Premis 3 : Ayam-3 berkembang biak dengan telur.

Premis 4 : Ayam-4 berkembang biak dengan telur.

:

:

:

Premis 50 : Ayam-50 berkembang biak dengan telur.

Kesimpulan : Semua ayam berkembang biak dengan telur.

​

Logika Matematika

• Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.
• Keuntungan/ kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.
• Logika mempelajari cara penalaran manusia, sedangkan penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa berupa kalimat-kalimat. Dengan demikian logika mempelajari kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan penalaran manusia.

​

​

​

PERNYATAAN

​

• Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran (benar atau salah). Pernyataan yang tidak mengandung kata hubung kalimat disebut pernyataan primer/pernyataan tunggal/pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut pernyataan majemuk.

​

PERNYATAAN

• Contoh:
• Bangkok adalah ibukota Thailand.
• 9 adalah bilangan genap.
• Badak itu memiliki gading.
• 3 lebih tua daripada 5
• Setahun terdiri dari 52 minggu.
• 8 + 4 = 12
• Mengapa kamu menangis?
• 3 > 5
• Ambilkan aku kue itu!
• Semoga kamu lekas sembuh!

Selidikilah kalimat-kalimat tersebut !

​

PERNYATAAN

• Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah).
• Catatan:

Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik

PERNYATAAN

• Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi dua, yaitu:
• Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan fakta sesungguhnya.
• Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturan-aturan logika.
• Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu. Keseluruhan obyek-obyek (terbatas) yang menjadi bahan pembicaraan yang sedang kita lakukan disebut semesta pembicaraan atau semesta saja dan disingkat S.

PERNYATAAN

• Untuk membicarakan anggota-anggota dari semesta biasanya digunakan lambang. Ada dua macam lambang, yaitu:
• Konstanta, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota tertentu dari semesta.
• Peubah, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk atau membicarakan anggota yang tidak tertentu (sembarang) dari semesta.
• Peubah bilangan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil x,y,z
• Peubah pernyataan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil p,q,r dst.

Kalimat terbuka

• Kalimat terbuka ialah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum dapat di tentukan nilai kebenarannya.
• Kalimat semacam ini masih “terbuka” untuk menjadi pernyataan yang benar atau yang salah.
• Contoh:

a. x adalah bilangan bulat.

b. x + 2 > 10

c. x² -3x + 5 = 0

d. y = 2x + 1

• Kita dapat mengubah suatu kalimat terbuka menjadi peryataan dengan mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di dalamnya dengan konstanta dari semestanya. Pernyataan yang dihasilkan bisa bernilai benar, bisa bernilai salah.

Kalimat terbuka

• Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka ialah himpunan semua anggota dari S yang bila lambangnya disubstitusikan ke dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan pernyataan yang benar.
• Contoh:

S = {Bil. Asli }

a. x + 2 > 10 -🡪 H.P = {9,10,11,12,…..}

b. x² – x – 6 = 0

(x-3) (x + 2 = 0 --🡪 HP ={3}

c. x + 1 > 0 -🡪 HP = S

d. (2x-1)(x + 3) = 0 🡪 HP = { }

• Himpunan penyelesaian harus memuat semua elemen dari semesta yang menghasilkan pernyataan benar.

​

INGKARAN

• Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula.
• Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”.
• Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.

​

INGKARAN

• Contoh :
• Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (benar)

Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. ( salah)

Jikustik bukan sebuah kelompok band yang berasal dari Yogyakarta. (salah)

• Manusia mempunyai ekor (salah)

Manusia tidak mempunyai ekor ( benar)

​

Pernyataan Majemuk

• Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan menggunakan kata hubung.
• Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata hubung, yaitu: (1) …..dan….., (2) …..atau….., (3) bila ………,maka…… (4) ….. bila dan hanya bila …….

​

​

Pernyataan Majemuk

• Contoh :

a. Yogyakarta adalah kota pelajar dan (Yogyakarta) memiliki banyak objek wisata.

b. Kurnia pergi ke kampus atau ia nonton film.

c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih.

d. Medan ibukota Sumatera Utara bila dan hanya bila Semarang ibukota Jawa Timur.

• Pernyataan majemuk diatas berturut-turut disebut: konjungsi, disjungsi, implikasi, dan ekuivalensi/biimplikasi.

​

Pernyataan Majemuk

• Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.
• Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.