Дослідження функцій за допомогою похідної та побудова графіків

Урок узагальнення і систематизації знань по темі

Застосування похідної до знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції

Частина 1

Дослідити функцію на монотонність можна, користуючись:

а) означенням:

(при x₁-x₂<0 досліджуємо знак різниці f(x₁)-f(x₂));

​

б) графіком;

​

в) похідною!

Як за допомогою похідної дослідити функцію на монотонність?

Теореми 1 і 2 виражають достатні умови зростання (спадання) функції.

Теорема 2

Якщо у всіх точках відкритого проміжку Х виконується нерівність f′(x)<0 (причому можливо f′(x)=0 в окремих точках проміжку), то функція y=f(x) спадає на проміжку Х.

Теорема 1

Якщо у всіх точках відкритого проміжку Х виконується нерівність f′(x)>0 (причому можливо f′(x)=0 в окремих точках проміжку), то функція y=f(x) зростає на проміжку Х.

За графіком похідної функції y=f(x)� визначте, на яких проміжках функція y=f(x) зростає, а на яких спадає.

Завдання

Визначте за графіками похідних , для якої з функцій� y=f(x), y=g(x), y=h(x) відрізок [-1;1] є проміжком зростання.

Завдання

Точки максимуму

у_max

у_max

у_max

Точку х₀ з області визначення функції f(x) називають

точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться

𝛿-окіл (х₀-𝛿;х₀+𝛿) точки х₀, такий, що для всіх х≠х₀ з цього околу виконується нерівність f(x)<f(x₀).

x_max = x₀ - точка максимуму

Точки мінімуму

у_min

у_min

у_min

Точку х₀ з області визначення функції f(x) називають

точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться

𝛿-окіл (х₀-𝛿;х₀+𝛿) точки х₀, такий, що для всіх х≠х₀ з цього околу виконується нерівність f(x)>f(x₀).

x_min = x₀ - точка мінімуму

Екстремуми (максимуми і мінімуми ) функції

Точки максимуму і мінімуму називають

точками екстремуму,

а значення функції в цих точках називають екстремумами

(максимумом і мінімумом) функції.

y_max = f(x_max) - максимум

y_min = f(x_min) - мінімум

Необхідна умова екстремуму

У точках екстремуму

похідна функції f(x) дорівнює нулю або не існує.

x₀ – точка екстремуму функції f(x)

f ′ (x₀)= 0 або

f ′ (x₀) не існує

Чи справедливе обернене твердження?

Пригадайте!

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками,

а точки, в яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними точками.

Критичні точки

Стаціонарні

f′(x)=0

f′(x) не існує

f'(x₀)=0

f'(x₀) не існує

на графіку в точці x₀ дотична паралельна осі Ох

на графіку в точці x₀ - злам

(дотична не існує) або дотична перпендикулярна до осі Ох

Знаходження точок екстремуму

Критичні точки

Стаціонарні точки

Точки екстремуму

Достатні умови екстремуму

Для того, щоб знайти точки екстремуму серед критичних

потрібно скористатись достатніми умовами екстремуму:

​

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і похідна f'(x) змінює знак при переході через точку х₀, то х₀ - точка екстремуму функції.

У точці x₀ знак f'(x) змінюється з «+» на «-»

x₀ - точка максимуму

У точці x₀ знак f'(x) змінюється з «-» на «+»

x₀ - точка мінімуму

Завдання

Які з точок х₁, х₂, х₃, х₄ є:

​

1) критичними;

2) стаціонарними;

3) точками екстремуму;

4) точками, в яких похідна не існує;

5) точками максимуму;

6) точками мінімуму?

6.Записати результат дослідження

(проміжки монотонності і екстремуми )

D(f)=R

а) Функція існує на всій області визначення.

б) f´(х)=0

15х²(х-1)(х+1)=0 при х=0, x=1, х=-1.

1. Знайти обл. визначення D(f).

3. Знайти критичні точки:

f´(х)=0 або не існує.

4.Позначити критичні точки на області визначення функції, знайти знак похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5. Дослідити критичні точки на екстремуми.

Алгоритм дослідження функції у=f(х)

на монотонність і екстремуми

Послідовність дій

Приклад 1

f(х)=3х⁵ -5х³+1

2. Знайти похідну f´(х).

f´(х)=15х⁴-15х²=15х²(х²-1)=

=15х²(х-1)(х+1)

f(х) зростає при х ∈ (-∞;-1], [ 1;+∞);

f(х)спадає при х ∈ [-1;1].

Точки екстремуму:x_max=-1; x_min=1.

Екстремуми: у_max=f(-1)=3; y_min=f(1)=-1

Завдання

Визначте проміжки монотонності, точки екстремуму та екстремуми функції:

1) f(x) = x⁴ – 2x²;

​

2) f(x) = x + ;

​

3) f(x) = - .

Пригадаємо, як будувати графік функції, попередньо визначивши її властивості за допомогою похідної.

Частина 2

Побудова

графіка функції

за допомогою похідної

Схема дослідження функції

Приклад:

1. D(f)

2. Парність/непарність

f(-x) = f(x) – парна

f(-x) = -f(x) – непарна

2. f(-x) = -x +4/x² ≠ f(x)

f(-x) ≠ -f(x)

функція ні парна, ні непарна

3. Перетин з осями:

а) з 0х (у=0)

б) з 0у (х=0)

4. Похідна і критичні точки

f´(х)=0 або f´(х) не існує

4. f´(х)=(x+4/x²)´=1-8/x³

f´(х)=0; 1-8/x³=0; x³=8; x=2

f´(х) існує на всій D(f)

5. Проміжки монотонності та

екстремуми

5.

f´(х)

f(х)

х

0

2

min

f(2)=y_min=3

+

+

-

6. Додаткові точки

(якщо необхідно)

Побудуйте графік функції

f(x) = x³ - 3x²

f(x) = x³ - 3x²

х

у

0

1

1. D(f) = R

2. функція ні парна, ні непарна

3.Перетин з осями: (0;0), (3;0)

4. Зростання/спадання функції

f´(х)

f(х)

х

0

min

+

+

-

2

y_min=f(2)= -4

-1

2

2

5. Додаткові точки

-2

max

y_mах=f(0)=0

3

-4

f(x) = x⁴ - 2x²

1. Побудуйте графік функції

2*. Скільки коренів має рівняння

x⁴ - 2x² = а залежно від значення параметра а?

1. f(x) = x⁴ - 2x²

х

у

0

1

1. D(f) = R

2. функція парна

3.Перетин з осями: (0;0), (± ;0)

4. Зростання/спадання функції

f´(х)

f(х)

х

-1

min

+

+

-

0

y_min=f(1)=f(-1)=-1

-2

1

2

5. Додаткові точки

-1

1

-

max

y_max=f(0)=0

!

Оскільки f(x) – парна, то достатньо побудувати графік для х≥0 і виконати симетрію відносно осі у.

-1

min

2. Розв’яжемо рівняння x⁴ - 2x² = a залежно від значення параметра а.

х

у

0

1

-2

1

2

-1

-1

y = x⁴ - 2x²

y = a

Відповідь: при а < -1 рівняння не має коренів;

Побудуємо графік лівої і правої частин рівняння:

Кількість коренів рівняння – це кількість точок перетину прямої у=а з графіком функції у = х⁴ - 2х².

а<-1

a=-1

-1<а<0

a>0

при а=-1, a > 0 рівняння має два корені;

при -1 < а < 0 рівняння має чотири корені;

при а=0 рівняння має три корені.

a=0

Найбільше й найменше значення функції, неперервної на відрізку

Частина 3

Пригадайте!

​

​

В яких точках неперервна функція може набувати найбільшого і найменшого значення на відрізку [a;b]?

​

5.Порівняти одержані значення і вибрати з них найменше і найбільше.

f´(х)=3х²+6х-24

f´(х) існує на всій області визначення.

f´(х)=0; 3х²+6х-24=0 при х=-4, х=2.

Заданому відрізку [1;3] належить лише критична точка х=2.

f(1)=1+3-24+2=-18;

f(2)=8+12-48+2=-26;

f(3)=27+27-72+2=-16

max f(х)=f(3)= -16, min f(х)=f(2)=-26.

[1;3] [1;3]

1. Знайти похідну f´(х).

2.Знайти критичні точки:

f´(х)=0 або не існує.

3.Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку.

4. Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку .

​

Алгоритм знаходження найбільшого й найменшого значень функції, неперервної на відрізку

Приклад 1

Знайти найбільше й найменше значення функції :

f(х)=х³ +3х²-24х+2 при х є [1;3]

Знайти найбільше й найменше значення функції на заданому відрізку.

Завдання

Перевір себе!

Знаходження

найбільшого та найменшого значень функції на інтервалі

”

Для розв’язування текстових задач на знаходження

найбільших або найменших значень величин використовують наступні теореми:

Теорема 1

Теорема 2

Контрольні питання

Продовжити твердження:

​

1) Стаціонарні точки – це точки…

2) Якщо в точці х₀ на графіку є злам, то похідна в цій точці…

3) Будь-яка стаціонарна точка є…

4) Точки екстремуму знаходяться серед…

5) У функції у= |x| точка екстремуму дорівнює…

6) У функції у= |x| - 3 екстремум дорівнює…

Контрольні питання (продовження)

​

​

А. x _max=1

Б. y_max =1

В. max f(x)=1

^[-2;3]

^{Г. y(1)=0}

• Функція набуває найбільшого значення, рівного одиниці.
• Функція має екстремум, рівний одиниці.
• Функція має точку екстремуму, рівну одиниці.

​

​

Чи є правильним твердження?

• Якщо точка є точкою максимуму, то в ній функція набуває найбільшого значення.

Встановіть відповідність між словесним твердженням (1-3) і символічним записом (А-Г):

​

• Якщо точка критична, то в ній функція набуває найбільшого або найменшого значення.

​

​

​

• Якщо в точці похідна не існує, то в цій точці функція може набувати найбільшого або найменшого значення.

​