Chapitre II
Méthodes directes de
résolution de systèmes linéaires
on considère maintenant le système « « plein » suivant:
La méthode du pivot de GAUSS transforme le système Ax = b en un système équivalent (c’est-à-dire ayant la même solution) de la forme Ux =y, où U est une matrice triangulaire supérieure et y est un second membre convenablement modifié. Enfin on résout le système triangulaire U x = y
1.1 Opérations sur les équations d’un système
Nous allons utiliser trois opérations élémentaires sur les équations (c’est-à-dire sur les lignes) qui sont :
Ces trois opérations élémentaires ne changent pas les solutions d’un système linéaire ; autrement dit ces opérations transforment un système linéaire en un système linéaire équivalent.
Exemple 1:
Utilisons ces opérations élémentaires pour résoudre le système suivant.
Commençons par l’opération L2 ← L2 − 2 L1 : on soustrait à la deuxième équation deux fois la première équation. On obtient un système équivalent avec une nouvelle deuxième ligne (plus simple) :
Puis L3 ← L3 + L1 :
On continue pour faire apparaitre un coefficient 1 en tête de la deuxième ligne; pour cela on divise la ligne L2 par 3 :
On continue ainsi
Alors, on a
On obtient ainsi x = 2, y = 4 et z = 1 et l'unique solution du système est (2, 4, 1).
Exemple 2
Soit le système suivant a résoudre :
Pour appliquer la méthode du pivot de Gauss, il faut d'abord que le premier coefficient de la première ligne soit non nul. Comme ce n'est pas le cas ici, on échange les deux premières lignes par l’opération élémentaire
L1↔ L2 :
Nous avons déjà un coefficient 1 devant le x1 de la première ligne. On dit que nous avons un pivot en position (1, 1) (première ligne, première colonne). Ce pivot sert de base pour éliminer tous les autres termes sur la même colonne. Il n'y a pas de terme x1 sur la deuxième ligne. Faisons disparaitre le terme x1 de la troisième ligne ; pour cela on fait l’opération élémentaire L3 ← L3+ L1:
On fait disparaître le terme x2 de la troisième ligne, puis on fait apparaître un coefficient 1 pour le pivot de la position (3, 3)
On change le signe de la seconde ligne L2 ← -L2 pour faire apparaître 1 au coefficient du pivot (2, 2) (deuxième ligne, deuxième colonne) :
Solution:
Alors. En choisissant x4 comme variable libre, on peut exprimer x3, x2, x1 en fonction de x4 :
x3=4-5x4,
x2=-5+2x3+13x4=3+3x4,
x1=4+2x2+3x3-17x4=4x4-2.
Ce qui permet d'obtenir toutes les solutions du système :
S={4x4-2, 3+3x4 , 4-5x4 / x4 ∈ R }
La méthode utilisée pour cet exemple est généralisée dans le paragraphe suivant.
A la fin, on obtient un système triangulaire supérieur�
Exemple 3:
Exercice 1
Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant la méthode de Gauss :
Exemple
Remarque: