KOPPÁNYI ANIKÓ�KOVÁCS PÁL BAPTISTA GIMNÁZIUM

9. osztály- VI. témakör:

Geometriai transzformációk, négyszögek

GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK

Geometriai transzformációknak nevezzük azokat a függvényeket, amelyeknek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz, vagyis ponthoz pontot rendel hozzá.

Ha a transzformáció a P ponthoz a P′ pontot rendeli, akkor a P′ pontot a P pont képének nevezzük.

Értelmezési tartománya a sík vagy a tér pontjainak halmaza

Értelmezési tartománya és értékkészlete megegyezik

Kölcsönösen egyértelműek

Identitás:

Olyan geometriai transzformáció, amely minden ponthoz önmagát rendeli. Vagyis P pont képe éppen önmaga.

​

​

​

TULAJDONSÁGOK:

fixpontja az a pont, amelynek a képe önmaga.

fixegyenese az az egyenes, amelynek a képe önmaga

Ha egy egyenes képe önmaga, de nem minden pontja fixpont, akkor

invariáns egyenesnek nevezzük

szimmetrikus, ha a P pont képe P′ és P′ képe is a P pont

távolságtartó, ha bármely szakasz képe vele azonos hosszúságú szakasz

aránytartó, ha két szakasz hosszának aránya egyenlő a képszakaszok

hosszának arányával

szögtartó, ha bármely szög képe vele azonos nagyságú szög

irányítástartó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása azonos

(az óramutató járásával tudjuk megállapítani)

irányításváltó, ha bármely síkidom és a képének a körüljárása ellentétes.

​

EGYBEVÁGÓSÁG-HASONLÓSÁG

Ha egy geometriai transzformáció távolságtartó, akkor egybevágósági transzformációnak nevezzük. Vagyis bármely szakasz képe az eredetivel egyenlő hosszúságú.

Egybevágósági transzformációk:

• Tengelyes tükrözés
• Középpontos türözés
• Pont körüli forgatás
• Eltolás

Minden síkbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb három tengelyes tükrözés egymás utáni alkalmazásával. Minden térbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb négy síkra való tükrözés egymás utáni alkalmazásával.

Ha egy geometriai transzformáció aránytartó, akkor hasonlósági transzformációnak nevezzük.

​

TENGELYES TÜKRÖZÉS

Def: A tengelyes tükrözésnél adott a síkban egy egyenes, ez a tükrözés tengelye. t egyenes a tengely

Az adott egyenesre (t) vonatkozó tengelyes tükrözésnél minden a t egyenesre illeszkedő pont képe önmaga.

(ha AЄ t ) akkor A képe önmaga

Ha egy P pont nem illeszkedik a tükrözés tengelyére, akkor a P pont tükörképe az a P' pont, amelyre a tengely a PP' szakasz felezőmerőlegese.

A tengelyes tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.

​

TULAJDONSÁGOK

• A tengelyre nem illeszkedő P pont és P’ tükörképe olyan szakaszt határoz meg, amelynek a tengely a szakaszfelező merőlegese.
• - A tengely bármely pontjának képe önmaga. A tengely pontjai tehát fix pontok. Más fix pontja nincs
• A tengely fix alakzat
• A tengelyre merőleges egyenes képe szintén önmaga de nem pontonként fix.
• A tengellyel párhuzamos egyenes képe párhuzamos a tengellyel. A két egyenesnek a tengely a felező egyenese
• A tengelyt metsző egyenes és képe a tengelyen metszi egymást és ugyanakkora szöget zárnak be a tengellyel..
• Bármely alakzat képe egybevágó az eredeti alakzattal.
• A tengelyes tükrözés a körüljárás irányát megváltoztatja.
• A tengelyes tükrözés szakasz és szögtartó.

​

TENGELYESEN SZIMMETRIKUS ALAKZAT

Egy síkbeli alakzat tengelyesen szimmetrikus, ha van olyan egyenes a síkban, amelyre az alakzatot tükrözve a képe önmaga . Pl.: négyzet, téglalap, rombusz, kör, egyenlő szárú háromszög, szabályos sokszögek stb.

​

• tengelyesen szimmetrikus háromszög:

egyenlő szárú háromszög ( 1 tengely),

egyenlő oldalú háromszög ( 3 tengely);

tengelyesen szimmetrikus négyszög:

szimmetrikus trapéz(1), deltoid(1), téglalap(2),

rombusz(2), négyzet(4)

A tengelyek száma lehet 1, 2 vagy 4.

tengelyesen szimmetrikus sokszög:

pl szabályos sokszögek, annyi tengellyel ahány oldalú a sokszög

kör: végtelen sok szimmetriatengelye van

​

​

KÖZÉPPONTOS TÜKRÖZÉS

A középpontos tükrözésnél adott a síkban egy O pont, ez a tükrözés középpontja. O pont képe önmaga.

Minden más P ponthoz azt a P' rendeli, amelyre az O pont a PP' szakasz felezési pontja. OP=OP'

A középpontos tükrözés kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík pontjai között.

​

TULAJDONSÁGOK

• Egyetlen fix pont van, a forgatás középpontja, az O pont
• Pont és képe által meghatározott szakasz felezőpontja a középpont.
• Egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével.
• Az összes olyan egyenes amely keresztül megy az O ponton invariáns egyenes, nem pontonként fix.
• A középpontos tükrözés szakasztartó
• A középpontos tükrözés szögtartó
• A középpontos tükrözés irányítástartó
• A középpontos tükrözés a pont körüli forgatás egy speciális esete, amikor a forgatás szöge éppen 180°

​

​

KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS ALAKZAT

Középpontosan szimmetrikus egy alakzat, ha van olyan középpontos tükrözés, amely az alakzatot önmagába viszi át.

Pl.: rombusz, paralelogramma, kör, négyzet, szabályos sokszög stb.

Középpontosan szimmetrikus háromszög nincsen

Középpontosan szimmetrikus négyszög:

paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet;

páros oldalszámú szabályos sokszögek;

kör

​

PONT KÖRÜLI FORGATÁS

Adott a síkban egy O pont,ez a forgatás középpontja, és

adott egy előjeles szög, amely a forgatás mértékét és

irányát adja meg ( α ) .

​

Az O ponthoz önmagát rendeli, minden más P ponthoz azt a

képpontot (P' pontot) rendeli, amelyre OP=OP' és a POP' szög

megegyezik a forgatás szögével (POP'= α).

​

A pont körüli forgatás kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés a sík

pontjai között

​

Az órajárással ellentétes irányt pozitívnak, az óramutató

járásával egyező irányt negatívnak nevezzük.

​

TULAJDONSÁGOK

• Az O pont fix pont (helyben marad), ha az α= 0, 360° vagy annak többszöröse, nincs más fix pont
• Ha a forgatás szöge 360° egész többszöröse, akkor minden pont fix pont, a transzformáció helyben marad (identikus transzformáció)
• Bármely alakzat egybevágó forgatással kapott képével.
• A forgatás nem változtatja meg a körüljárás irányát, irányítástartó
• A forgatás szakasztartó és szögtartó.
• Ha 0°-kal, vagy 360°-kal forgatunk, az alakzat helyben marad.
• A pont körüli forgatás egy speciális esete a középpontos tükrözés, amikor a forgatás szöge 180 fok, vagy annak egész többszöröse.

​

FORGÁSSZIMMETRIKUS ALAKZATOK: �

Egy síkbeli alakzat forgásszimmetrikus, ha van

olyan pont a síkban, amely körül az alakzatot

elforgatva önmagát kapjuk

( Az elforgatás szöge különbözik 360° egész

többszörösétől)

Pl:

- kör,

- négyzet,

- téglalap,

- rombusz

- szabályos háromszög

- szabályos sokszög

​

VEKTOROK

Vektor: irányított szakasz. Iránya és nagysága van

Nullvektor: Hossza nulla, iránya tetszőleges

Két vektor egyenlő, ha ugyanazt a párhuzamos eltolást adják meg. Egyirányúak

és egyenlő hosszúak.

Vektor abszolút értéke, az irányított szakasz hossza.

Két vektor párhuzamos, ha az őket meghatározó irányított szakaszok is

párhuzamosak.

Két vektor egyirányú, ha párhuzamos és egy irányba mutatnak

Két vektor ellentétes irányú, ha párhuzamosak, de nem egyirányúak

Két vektor ellentett, ha egyenlő hosszúak, párhuzamosak és ellentétes irányúak 

​

Jelölés

​

v,

v

ELTOLÁS

Adjuk meg az eltolást v=OP  vektorral. 

Ekkor a transzformáció a tér vagy sík bármely A

pontjához azt a B pontot rendeli, amelyre a 

= v

​

TULAJDONSÁGOK

• Kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés
• A helyben maradás olyan eltolás, amelynek vektora nullvektor, ekkor minden pont fixpont
• Ha az eltolás vektora nem nullvektor, akkor ennél a geometriai transzformációnál nincs fix pont
• Bármely alakzat egybevágó eltolással kapott képével. Alakzattartó
• Az eltolás nem változtatja meg a körüljárás irányát. Körüljárástartó
• Az eltolás szakasz és szögtartó.
• Bármely egyenes, félegyenes, szakasz párhuzamos a képével.
• Helyben maradó pont nincs az eltolásnál.
• Az eltolás irányával párhuzamos bármely egyenes invariáns egyenes, egyébként más invariáns alakzat nincs is, ha nem nullvektorral toljuk el

 MŰVELETEK VEKTOROKKAL:�

1. Vektorok összege

​

Adott két vektor, a és b.

Összegüket kétféleképpen is megszerkeszthetjük:

• paralelogramma módszer: a két vektort közös kezdőpontba toljuk és a közös kezdőpontból a paralelogramma szemközti csúcsába mutat az összegvektor.
• Összefűzés módszere: a vektorokat egymás után tologatjuk. Az első vektor kezdőpontjából az utolsó végpontjába mutat az összegvektor

​

TULAJDONSÁGAI: �

Kommutatív (felcserélhető) : a+b=b+a

Asszociatív (zárójelezhető) : (a+b)+c=a+(b+c)

Bármely vektorhoz a nullvektort hozzáadjuk visszakapjuk

az eredeti vektort: a+0=a

Egy a vektorhoz megadható olyan -a vektor, hogy a két

vektor összege nullvektor. (–a)-t a ellentettjének nevezzük: a + ( -a) = 0.

Helyvektorok esetén az összeadásvektor koordinátáit a

vektorok megfelelő koordinátáinak összege adja.

a( a₁ , a₂) és b(b₁ , b₂) helyvektorok összege:

a + b = (a₁ + b₁) i + (a₂ + b₂) j

​

VEKTOROK KÜLÖNBSÉGE

Az a-b különbségvektorán azt a vektort értjük, amelyet

a + (-b) szerkesztéssel kapunk.

(a-hoz hozzáadjuk b ellentettjét.)

A különbség vektor b végpontjából az a végpontjába mutató vektor

​

TULAJDONSÁGOK

A kivonás nem kommutatív, és nem asszociatív művelet. Tehát nem lehet felcserélni a tagokat és nem lehet tetszőlegesen kitenni a zárójeleket sem.

Ha nullvektort vonunk ki egy a vektorból, a vektort kapjuk:

a-0=a

Ha a nullvektorból vonjuk ki az a vektort, akkor az a vektor

ellentettjéhez jutunk: 0-a=-a

Ha egy vektorból önmagát vonjuk ki 0 vektort kapunk:

a-a=0

Helyvektorok különbségének koordinátáit a vektorok megfelelő

koordinátáinak különbsége adja.

a( a₁ , a₂ ) és b(b₁ , b₂ ) helyvektorok különbsége :

a - b = (a₁ - b₁ )i + (a₂ - b₂) j

​

VEKTOR SZORZÁSA SZÁMMAL

Adott egy a vektor és egy λ valós szám.

Az a vektor λ -szorosa:

Ha a=0 vagy λ=0 , akkor λa=0 tehát a nullvektort kapjuk

Ha a≠0 és λ ≠0, akkor hosszúságú vektort

kapunk, melynek iránya:

λ ˃0 esetén a-val megegyező,

λ ˂0 esetén a-val ellentétes.

Ha λ >1, a vektor hossza növekedik,

Ha 0˂λ ˂1, a vektor hosszacsökken.

​

SZORZÁS TULAJDONSÁGAI

NÉGYSZÖGEK

Csoportosítása

KONVEX:

• Nincs 180￮-nál nagyobb szöge
• Bármely két pontot kiválasztva a pontokat összekötő szakaszt is tartalmazza

KONKÁV:

• Van 180￮-nál nagyobb szöge
• Bármely két pontot kiválasztva a pontokat összekötő szakaszt nem biztos, hogy tartalmazza

​

​

CSOPORTOSÍTÁS:

Az oldalak párhuzamossága szerint:

1.      Két-két párhuzamos oldaluk van. Ez a paralelogrammák .

A téglalap, a rombusz és a négyzet is.

2.      Két párhuzamos oldaluk van. Ezek a trapézok.

Ide sorolható a paralelogramma, a négyzet, a téglalap is a rombusz is.

3. Nincs párhuzamos oldaluk. Deloid

​

Az oldalak egyenlősége szerint:

1.      Minden oldaluk egyenlő: rombuszok, és ezen belül a négyzetek.

2.      Két-két szemközti oldaluk egyenlők.

Ezek a paralelogrammák, köztük a négyzet, téglalap, rombusz

3.      Szomszédos oldalaik egyenlők.

Ezek a deltoidok. köztük a négyzet és a rombusz

4.    Három egyenlő oldala van.

A speciális négyszögek közül a trapézok lehetnek

5.      Nincs egyenlő oldaluk. Az általános négyszögeken kívül a trapéz lehet

​

NÉGYZET

A négyzet olyan négyszög, amelynek minden

oldala egyenlő hosszú és minden szöge egyenlő

nagyságú, vagyis derékszög.

• Tengelyesen szimmetrikus. Négy szimmetriatengelye van: (a szemközti oldalak felezőpontján átmenő és a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek)
• Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja az átlók metszéspontja.
• Forgásszimmetrikus
• Átlói egyenlő hosszúak, egymásra merőlegesek és felezik egymást.
• K=4a T=a²

​

TÉGLALAP

A téglalap olyan négyszög,

amelynek minden szöge derékszög.

• A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú.
• Tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van, az oldalak felezési pontjait köti össze
• Forgásszimmetrikus alakzat
• Átlói egyforma hosszúak és felezik egymást.
• K=2(a+b) T=ab

​

ROMBUSZ

A rombusz olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú.

• Tengelyesen szimmetrikus. Két szimmetriatengelye van, a szemközti csúcsokat összekötő egyenesek (átlók).
• Középpontosan szimmetrikus. Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja.
• Átlói felezik egymást és merőlegesek egymásra.(De nem biztos, hogy egyforma hosszúak.)
• K=4a T=a*m=

​

DELTOID

A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú.

• Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van.
• Két szemközti szöge egyenlő
• Átlói merőlegesek egymásra, és az egyik felezi a másikat.
• Szimmetria középpontja nincsen.
• Lehet konvex és konkáv is
• K=2(a+b) T=

​

PARALELOGRAMMA

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két

párhuzamos oldalpárja van

két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú

• Egy oldalon fekvő szögeinek összege 180￮
• Középpontosan szimmetrikus, tengelyesen nem általában
• Szimmetria középpontja a két átló metszéspontja.
• Átlói felezik egymást, általában nem egyenlő hosszúak és nem merőlegesek
• K=2(a+b) T=a*m

TRAPÉZ

A trapéz olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (azaz van két párhuzamos oldala).

• Általában: nincs szimmetriatengelye.
• Átlók: Átlóinak nincs semmilyen speciális tulajdonsága.
• Egy száron fekvő szögek összege 180￮

Speciális: szimmetrikus trapéz

• Szimmetriatulajdonságok: Tengelyesen szimmetrikus. Egy szimmetriatengelye van, amely a párhuzamos oldalakat merőlegesen felezi.
• Alapokon fekvő szögek egyenlőek
• Van köréírható köre
• Átlói egyenlő hosszúságúak.épp a szimm.tengelyen metszik egymást
• K=a+b+c+d T=

​

NÉGYSZÖGEK TERÜLETE

https://www.tankonyvkatalogus.hu/pdf/OH-MAT09TA_II__teljes.pdf