ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Ορισμός

Άρρητος αριθμός είναι ο αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα ακέραιων αριθμών. Στην δεκαδική τους μορφή αποτελείται από άπειρα δεκαδικά ψηφία μη περιοδικά (μη επαναλαμβανόμενα)

Πυθαγόρας ο Σάμιος

• Ο Πυθαγόρας (580π.Χ – 486 π.Χ)γεννήθηκε στη Σάμο και ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος , μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Ταξίδεψε στην Ελλάδα , την Αίγυπτο και στην Ασία για να πλουτίσει τις γνώσεις του και επέστρεψε στην Κρότωνα της κάτω Ιταλίας. Εκεί ίδρυσε τη Σχολή του.
• Πίστευε ότι η αριθμοί μπορούν να εξηγήσουν τη δομή του σύμπαντος , είναι δηλαδή «η ουσία των όντων»

Oι άρρητοι αριθμοί αποτελούν μια ανακάλυψη των Πυθαγορείων. Αποτέλεσε όμως αφορμή για μια σημαντική κρίση στα θεμέλια της πυθαγόρειας φιλοσοφίας και εν γένει της αρχαιοελληνικής θεώρησης της αριθμητικής. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι φυσικοί αριθμοί αποτελούν την ουσία κάθε όντος κι ότι κάθε ον μπορεί να αναχθεί σε φυσικούς αριθμούς. ��« Καθετί που γνωρίζουμε έχει έναν (φυσικό )αριθμό , αλλιώς θα ήταν αδύνατο να το γνωρίσουμε και να το καταλάβουμε με τη λογική», έγραφε στα 450 π.Χ ο νεοπυθαγόρειος Φιλόλαος.

Η απόδειξη της ύπαρξης άρρητων αριθμών θεωρείται μια από τις σπουδαίες ανακαλύψεις των Πυθαγορείων. Η ανακάλυψή τους στηρίζεται στην αναζήτηση του μήκους της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές μήκους 1 η κάθε μία. Η ιδέα ότι το μήκος της υποτείνουσας αυτής δεν μπορεί να αναχθεί σε φυσικό αριθμό οδήγησε στην έννοια των άρρητων αριθμών και αποτέλεσε μια ανατροπή της πυθαγόρειας φιλοσοφίας για τους φυσικούς αριθμούς. Πως η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές που εκφράζονται με φυσικό αριθμό και μάλιστα το 1 που είναι η αρχή του Παντός δεν εκφράζεται με κανένα φυσικό αριθμό; Θεωρήθηκε μια αληθινή συμφορά για τις θεμελιώδεις φιλοσοφικές αντιλήψεις για τον κόσμο και τη φύση.

Γιατί η υποτείνουσα του διπλανού

τριγώνου εκφράζεται με τον άρρητο

αριθμό

Η πρώτη απόδειξη ότι ο δεν είναι ρητός αριθμός , ότι δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί σε κλασματική μορφή οφείλεται στους Πυθαγόρειους.

Η υπέρβαση των δυσκολιών που έφερε στην πυθαγόρεια λογική η ανακάλυψη των νέων αυτών και «περίεργων αριθμών» έγινε στα 360 π.χ από τον Εύδοξο με την ιδιοφυή «θεωρία των Λόγων».

​

Ο Ίππασος ο Μεταπόντιος ήταν πυθαγόρειος φιλόσοφος και μαθηματικός. Ήταν από τους σημαντικότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Η διδασκαλία του διέφερε των άλλων Πυθαγορείων ως προς τούτο: ότι παραδεχόταν ως αρχή του κόσμου την ύλη (πυρ) και όχι την άυλη μορφή (αριθμοί) όπως εκείνοι. Είναι πιθανό εξ αυτού να πήγασε η διάδοση ότι ο Ίππασος κοινοποίησε μυστικά της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας και ότι εξ αυτού καταδιώχθηκε και τελικά φονεύθηκε.

Ίπασσος ο Μεταπόντιος

Θρύλοι για τον Ίππασο

Χαρακτηριστικοί είναι οι θρύλοι που συνδέονται με την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών. Λέγεται λοιπόν ότι ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Πυθαγόρειο Ίπασσο , όταν αυτός μαζί με άλλους πυθαγόρειους ταξίδευαν με πλοίο. Η αντίδραση τους ήταν να πνίξουν τον Ίπασσο στα νερά της θάλασσας και να συμφωνήσουν μεταξύ τους να μην διαδώσουν την ανακάλυψη προς τα έξω.

ΘΕΟΔΩΡΟΣ Ο ΚΥΡΗΝΑΙΟΣ

• Ο Θεόδωρος ο Κυρηναίος αναφέρεται από τον Πρόκλο ως σπουδαίος γεωμέτρης. Επίσης έχουμε μαρτυρίες ότι ήταν Πυθαγόρειος. Λέγεται ότι υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα στα μαθηματικά. Είναι πιθανό οι δύο άντρες να γνωρίστηκαν στην Κυρήνη όταν πέρασε από εκεί ο Πλάτωνας καθώς ταξίδευε στην Αίγυπτο. Θα μπορούσαν να είχαν συναντηθεί και στην Αθήνα μια και ο Θεόδωρος βρισκόταν εκεί την εποχή του Σωκράτη. Έχουμε αναφορά του έργου του Θεόδωρου στο σύγγραμμα: «Θεαίτητος» του Πλάτωνα.

ΡΗΤΕΣ ΠΡΟΣΣΕΓΓΙΣΕΙΣ

​

Ο Θεόδωρος ασχολήθηκε επίσης και με την αναζήτηση ρητών προσεγγίσεων των άρρητων αριθμών. Για το

προέκυψε η προσέγγισή του όταν τέθηκε :

​

​

​

​

Παρόμοια που δίνει ως ρητή προσέγγιση του

​

το κλάσμα

Βρίσκω τις ρητές προσεγγίσεις των :