KAIDAH PENCACAHAN
PERMUTASI
KOMBINASI
KOMBINASI
KAIDAH
PERKALIAN
FAKTORIAL
PERMUTASI SIKLIS
PERMUTASI UNSUR YG SAMA
KOMPETENSI
DASAR
Kompetensi Dasar :
3.4 Menganalisis aturan pencacahan
(aturan penjumlahan, aturan
perkalian, permutasi, dan kombinasi)
melalui masalah kontekstual
4.4 Menyelesaikan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan kaidah
pencacahan (aturan penjumlahan,
aturan perkalian, permutasi, dan
kombinasi)
Indikator Pencapaian
Kompetensi :
1. Siswa dapat menyelesaikan permasalan
aturan penjumlahan
2. Siswa dapat menyelesaikan permasalan
aturan prkalian
2. Siswa dapat menghitung faktorial suatu
bilangan
3. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan
permutasi
4. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan
kombinasi
PERMUTASI
PERMUTASI
Permasalahan 1
Diketahui 4 angka yaitu : 2 , 3 , 4 , 6. Dari angka-angka tersebut akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari 2 angka yang berbeda.
Tentukanlah bilangan-bilangan
tersebut !
2
3
4
6
3
4
6
4
6
2 3
Ada 12
2
4
6
23
4
2
3
6
6 4
2 6
2 4
3 2
3 4
3 6
4 2
4 3
4 6
6 2
6 3
PERMUTASI
Bilangan ngka puluhan 2 :
23 ; 24 ; 26
Bilangan angka puluhan 3 :
32 ; 34 ; 36
Bilangan angka puluhan 4 :
42 ; 43 ; 46
Bilangan angka puluhan 6 :
62 ; 63 ; 64
ada sebanyak : 12 bil
Permasalahan 2:
Diketahui 5 huruf yaftu A , B , C , D dan E. Dari huruf-huruf tersebut akan dibentuk sebuah kode barang yang terdiri dari 2 huruf yang berbeda. Tentukanlah kode-kode barang barang tersebut
Kode yang dapat dibentuk antara lain :
AB
AC
AD
AE
BA
BC
BD
BE
CA
CB
CD
CE
DA
DB
DC
DB
EA
EB
EC
ED
Permasalahan 2:
Diketahui 5 huruf yaftu A , B , C , D dan E. Dari huruf-huruf tersebut akan dibentuk sebuah kode barang yang terdiri dari 3 huruf yang berbeda. Tentukanlah kode-kode barang barang tersebut
Kode dengan huruf pertama A huruf kedua B
ABC ; ABD ; ABE
Kode dengan huruf pertama A huruf kedua C
ACB ; ACD ; ACE
Kode dengan huruf pertama A huruf kedua D
ADB ; ADC ; ADE
Kode dengan huruf pertama A huruf kedua E
AEB ; AEC ; AED
Kode dengan huruf pertama B huruf kedua A
BAC ; BAD ; BAE
Kode dengan huruf pertama B huruf kedua C
BCA ; BCD ; BCE
Kode dengan huruf pertama B huruf kedua D
BDA ; BDC ; BDE
Kode dengan huruf pertama B huruf kedua E
BEA ; BEC ; BED
Kode dengan huruf pertama C huruf kedua A
CAB ; CAD ; CAE
Kode dengan huruf pertama C huruf kedua B
CBA ; CBD ; CBE
Kode dengan huruf pertama C huruf kedua D
CDA ; CDB ; CDE
Kode dengan huruf pertama C huruf kedua E
CEA ; CEB ; CED
Kode dengan huruf pertama D huruf kedua A
DAB ; DAC ; DAE
Kode dengan huruf pertama D huruf kedua B
DBA ; DBC ; DBE
Kode dengan huruf pertama D huruf kedua C
DCA ; DCB ; DCE
Kode dengan huruf pertama D huruf kedua E
DEA ; DEB ; DEC
Kode dengan huruf pertama E huruf kedua A
EAB ; EAC ; EAD
Kode dengan huruf pertama E huruf kedua B
EBA ; EBC ; EBD
Kode dengan huruf pertama E huruf kedua C
ECA ; ECB ; ECD
Kode dengan huruf pertama E huruf kedua D
EDA ; EDB ; EDC
Dari permaslahan 1 dan permasalaha 2 diperoleh
fakta :
2. AB ≠ BA ; AC ≠ CA ; AD ≠ DA ; . . .
3. A B C ≠ A C B ≠ B A C ≠ B C A ≠ C A B ≠ C B A
B C D ≠ B D C ≠ C B D ≠ C D B ≠ D B C ≠ D C B
. . . . .
dst . . . .
4. Susunan – susunan seperti inilah yang disebut
PERMUTASI
Urutan dari unsur / obyek penyusunnya
Kesimpulan :
Permutasi adalah . . .
Penyusunan dari sekumpulan unsur / obyek dimana susunan yang satu dengan susunan yang lain dibedakan menurut urutan penyusunnya
PERMUTASI
Rumus Permutasi ::
Permutasi n unsur diambil r unsur :
n : banyaknya unsur / obyek yang deketahui
r : banyaknya unsur / obyek yang dipilih
dengan r ≤ n
Diketahui 4 angka yaitu : 2 , 3 , 4 , 6 akan dibentuk sebuah bilangan yang terdiri dari 2 Angka yang berbeda . Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk
adalah . . . .
Contoh pada permaaasalah 1
Jawaban permasalan 1
Diketahui n = 4 dan r = 2
Permutasi 4 obyek diambil 2 obyek adalah . .
P(4,2) =
= =
= 4.3 = 12
Contoh Permasalahan 3:
Diketahui 5 huruf yaftu A , B , C , D dan E. Dari huruf-huruf tersebut akan dibentuk sebuah kode barang yang terdiri dari 3 huruf yang berbeda. Tentukanlah kode-kode barang barang tersebut
Jawaban permasalan 3
Diketahui n = 5 dan r = 3
Permutasi 5 obyek diambil 3 obyek adalah . .
= 5x4x3 = 60
Contoh soal
Diketahui 5 orang petugas jaga laki-laki dan 3 orang petugas jaga perempuan . Jika setiap hari dipilih dua orang petugas jaga yang masing-masing untuk menempati dua pos jaga, sehingga setiap petugas jaga pernah berjaga pada pos yang berbeda. Tentukan pasangan petugas jaga yang dapat dibentuk !
Jawab
Misal terpilih dua orang petugas A dan B
Apakah petugas jaga AB berbeda dengan BA . . . . ?
AB : A berada pada pos 1 dan B pada pos 2
BA : A berada pada pos 2 dan B pada pos 1
Sehingga AB ≠ BA , jadi penyusunan petugas jaga adalah persoalan Permutasi
Selidiki !
n = 8 dan r = 2, maka :
= 8 . 7 = 56
Created beauty by Yoeds
Soal 1
Pengurus koperasi “ SMANAJ SEJATI “ yang beranggotakan 20 siswa akan mengadakan pemilihan seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara sebagai pengurus harian koperasi. Jika setiap anggota prengurus mempunyai hak yang sama untuk dipilih, maka banyaknya susunan pengurus harian berbeda yang dapat dibentuk adalah . . . .
Penyelesaian 1
Diketahui n = 20 , r = 3
P(20,3) =
P(20,3) = 20.19 .18
P(20,3) = 6840
Soal 2
4 orang pria dan 2 orang Wanita dipersilahkan untuk duduk pada kursi yng sudah disusun secara berjajar, tentukan banyaknya cara posisi duduk mereka jika :
Penyelesaian 2a
Banyak cara mereka duduk secara bebas:
Adalah permutasi 6 obyek diambil 6 obyek
Diketahui n = 6 , r = 6
P(6 ,6) =
P(6,6) = 6.5.4.3.2.1
P(6,6) = 720
Penyelesaian 2b
Agar yang tertinngi duduk paling pinggir kanan :
Diketahui n = 5 , r = 5
P(5 ,5) =
P(5,5) = 5.4.3.2.1
P(5,5) = 120
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Penyelesaian 2c
Agar yang tertinggi selalu duduk di pinggir :
Tempat duduk : atau
Atau
Diketahui n = 5 , r = 5 cara meraka duduk :
2 . P(5 ,5) = 2.
2. P(5,5) = 2. 5.4.3.2.1
P(5,5) = 2. 120 = 240
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
Penyelesaian 2d
Agar dua Wanita selalu duduk berdampingan maka dua Wanita dianggap satu orang
tempat duduk :
Diketahui n = 5 , r = 5 cara meraka duduk :
P(5 ,5) =
P(5,5) = 5.4.3.2.1
P(5,5) = 120 = 120
Karena posisi duduk 2 Wanita ada 2 cara ( kanan kiri ) , maka bnyaknya cara duduk :
2. P(5,5) = 2. 120 = 240
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Penyelesaian 2e
Agar Dua Wanita harus duduk terpisah :
Banyaknya cara agar dua Wanita duduk terpisah = banyaknya cara duduk bebas – banyaknya cara dua Wanita duduk berdampingan
Yaitu = 720 - 240 = 480 cara
Penyelesaian 2e
Agar yang berjenis kelamian sama harus duduk menggerombol : atau
Cara duduk :
Banyaknya cara orang laki-laki duduk x banyaknya cara Wanita duduk x 2
P(4,4) . P(2,2) . 2 =
24 . 2 . 2 = 96 cara yang berbeda
1 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 2 |
Soal 3
Pak bayu memiliki 3 buku agama yang berbeda, 6 buku sains yang berbeda, dan 4 buku novel yang berbeda, semua buku akan disusun pada sebuah rak secara berjajar. Banyaknya cara menyusun buku jika :
Penyelesaian 3a
Banyak cara mereka Menyusun buku secara bebas:
Adalah permutasi obyek diambil 13 obyek diambil 13
Diketahui n = 13 , r = 13
P(13 ,13) =
P(13,13) = 13 ! = . . . . . . ?
PERMUTASI DENGAN UNSUR SAMA
Bagaimanakah cara kita menyusun kata :
Andaikan kata :
“ ANDA “ kita pandang sebagai kata “ A1NDA2
Maka kata berbeda yang dapat kita susun :
Created beauty by Yoeds
11. A1A2ND
12. A2A1ND
13. NA1A2D
14. NA2A1D
15. DA1A2N
16. DA2A1N
17. A1A2DN
18. A2A1DN
19. NDA1A2
20. NDA2A1
21. A1D A2N
22. A2D A1N
23. DNA1A2
24. DNA2A1
Ada sebanyak 24 kata
Karena huruf A1 = A2 , maka ada beberapa kata yang meknanya sama :
Created beauty by Yoeds
9. A1A2DN = A2A1DN
10. NDA1A2 = NDA2A1
11. A1D A2N = A2D A1N
12. DNA1A2 = DNA2A1
Ada sebanyak 12 kata yang berbeda
Menentukan Permutasi Unsur Sama
Pada kata “ANDA”
n = 4 sehingga
n! = 4 ! = 4x3x2x1 = 24
12 = 24/2 atau
4! / 2! Atau
n! / r! = n P r
Created beauty by Yoeds
Created beauty by Yoeds
3
2
5
2
soal :
banyaknya cara menyusun kata :
Created beauty by Yoeds
PERMUTASI SIKLIS ( MELINGKAR )
Bagaimanakan menyusun kata dari huruf :
A , B , C secara melingkar
Banyaknya cara menyusun huruf : A , B , C secara bebas adalah :
ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA
Jika kata kata yang terbentuk secara melingkar akan diperoleh kata dengan urutan melingkar yang sama, yaitu :
= =
Sehingga :
ABC = CAB = BCA
ACB = BAC = CBA
A
C
B
A
C
B
C
B
A
Terdapat dua susunan melingkar yang berbeda
Rumus Permutasi Siklis
Permutasi n unsur/obyek dengan susunan melingkar ( Siklis ) : (n – 1) !
Contoh :
Tentukan banyaknya cara menyusun kata
“ MELINGKAR “ secara siklis
Jawab
n = 9, banyaknya permutasi siklis :
(9 – 1)! = 8! = 40320
Created beauty by Yoeds
soal 1:
Sebuah keluarga yang terdiri Ayah Ibu dengan 4 orang anak duduk secara bersama secara melingkar pad sebuah meja bundar.
Tentukan banyaknya cara mereka duduk jika :
a. Urutan duduk dilakukan secar bebas
b. Jika Ayah dan Ibu harus selalu duduk
berdampingan
c. Jika ayah dan ibu duduk pada kursi
tertentu
Penyelesaian :
a. n = 5, banyaknya cara mereka duduk melingkar :
(6 – 1)! = 5 ! = 120
dan ibu diaanggap 1 orang, sehingga n = 5,
maka banyaknya cara duduk melingkar
( 5 – 1)! = 4! = 24
karena ayah dan ibu berdapingan maka ada 2 cara
duduk. Jadi banyaknya permutasi 2 x 24 = 48
maka yang melakukan permutasi siklis hanya 4
anaknya saja, permutasi siklis :
(4 – 1) ! = 3! = 6
soal 2:
Pada sebuah perundingan damai antara negara Rusia dan Ukarina yang difasilitasi oleh Dewan Keamanan PBB, dihadiri beberapa negara bersengketa dan utusan PBB. Jika 3 orang utusan negara Rusia, 3 orang Utusan negara Ukraina, 2 orang utusan PBB, dan 2 orang perwakilan negara ASEAN duduk melingkar pada meja perundingan, ada berapa cara mereka duduk jika :
SILAHKAN PENYELESAIAN SOAL TERAKHI DISKUSIKAN DENGAN TEMAN KALIAN