Athena Cursos – Física - Cinemática

Prof. Celso Costa

O que é um sistema massa–mola?

Um sistema massa–mola é, basicamente, uma massa presa na extremidade de uma mola que pode se mover para frente e para trás.�Quando você puxa a massa e depois solta, ela começa a oscilar: vai para um lado, volta, passa pelo ponto central, vai para o outro lado e assim por diante.�Esse tipo de movimento, quando não há atrito nem forças externas atrapalhando, é chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS).

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Na vida real, você encontra algo parecido em:

• Amortecedores de carros (molas com massa — e com óleo para “amortecer”).
• Cordas de violão (elas vibram de forma harmônica).
• Colchões com molas.
• Brinquedos como o mola maluca (Slinky).

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A Lei de Hooke: a mola empurra de volta

Toda mola obedece, até certo ponto, a uma regra muito simples: quanto mais você estica ou comprime, mais ela empurra de volta para a posição normal.�Essa regra é a Lei de Hooke:

• Fel​ é a força elástica da mola. (N)
• k é a constante elástica (mede o quanto a mola é “dura” ou “mole”). (N/m)
• x é o quanto a mola está esticada ou comprimida a partir do ponto de equilíbrio. (m)
• O sinal “–” indica que a mola sempre empurra de volta para o centro (força restauradora).

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Ponto de equilíbrio: onde tudo “para”

O ponto de equilíbrio é a posição onde todas as forças se anulam.

• No caso de um sistema horizontal (numa superfície sem atrito), o equilíbrio é o ponto onde a mola nem estica nem comprime.
• No caso vertical (mola pendurada), a gravidade puxa a massa para baixo, então a mola estica até a força elástica equilibrar o peso (kxeq=mg).

Se for estudar as oscilações, é mais fácil medir os deslocamentos a partir do ponto de equilíbrio, porque ali é onde as contas ficam limpas — a gravidade “sai da jogada” quando você mede a partir do equilíbrio.

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Como o movimento começa

Se a massa estiver parada no equilíbrio, nada acontece.�Mas, se você deslocar a massa um pouco e soltar, ela começa a oscilar:

• A mola puxa de volta para o centro.
• Quando a massa passa pelo centro, ela tem velocidade máxima.
• Por inércia, ela não para no centro — vai para o outro lado.
• A mola puxa de volta de novo.

Esse “vai e vem” se repete de forma periódica.

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O PERÍODO

demonstração matemática

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O PERÍODO

Onde:

T = período (s)

m = massa (kg)

k = constante elática (N/m)

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Vale notar que:

1. o período de oscilação depende da massa do corpo e da constante elástica da mola; não depende da aceleração da gravidade nem mesmo da elongação máxima A (amplitude de oscilação);

2. no nosso estudo, o sistema massa-mola será considerado conservativo, ou seja, não perde nem ganha energia;

3. o período é o mesmo se o corpo oscilar na horizontal, na vertical ou em um plano inclinado.

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Exemplo 1 — Calculando o período

Uma massa de 0,50 kg está presa a uma mola de 200N/m.�Qual o período de oscilação?

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DINÂMICA

DO

MHS

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Iniciaremos nosso estudo sobre energia no MHS com a

energia potencial elástica da mola, que pode ser obtida pela expressão:

No Sistema Internacional (SI), a energia será dada

em joules (J).

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Para o MHS, a energia potencial elástica é nula no

ponto de repouso da mola, em que x = 0.

Nas extremidades, x = –A e x = +A, a energia potencial é máxima e pode ser obtida, substituindo-se o x

pela amplitude A:

-A

A

x

Logo:

​

X = A

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Desta forma podemos construir o gráfico da energia potencial elástica em função da elongação x.

​

Como temos uma função de 2º grau, será uma parábola, com energia potencial nula no ponto x=0.

x

x

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Energia mecânica

​

A força elástica que atua sobre o corpo é conservativa;

logo, desprezados os atritos, temos um sistema conservativo. Pela lei da conservação da energia, desprezando-se os atritos, a energia mecânica do sistema é constante e pode ser obtida por:

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Energia mecânica

​

Nos extremos do movimento, a energia cinética é nula, logo, a energia potencial elástica é máxima. Assim temos:

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Energia cinética

​

Sabe-se que a velocidade do corpo é nula nos extremos, para que ocorra inversão do movimento. A velocidade é máxima, em módulo, no ponto de elongação nula. Assim, pode-se afirmar que a energia cinética máxima é dada por:

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Lembrando que a função horária da velocidade, no

MHS, é:

​

v = –ω · A · sen θ,

​

temos que a velocidade máxima equivale a:

v = ω · A

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Assim, a energia cinética máxima é:

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Ou ainda:

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A energia cinética máxima ocorre quando x = 0;

assim, ela também pode ser obtida pela expressão:

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Pode-se construir o gráfico da energia cinética em

função da elongação x. Como na energia potencial

elástica a função é do 2o grau e por ter o valor máximo

em x = 0, a concavidade é para baixo. Logo:

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Em resumo:

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(PUC-MG) Uma partícula de massa 0,5kg move-se sob ação de apenas uma força, à qual está associada uma energia potencial E_p cujo gráfico em função de x está representado na figura abaixo.

Esse gráfico consiste em uma parábola passando pela origem. A partícula inicia o movimento a partir do repouso, em

x= -2,0m. Pede-se:

​

a) Sua energia mecânica

b) A velocidade da partícula ao passar por x=0

c) A energia cinética da partícula ao passar por x=1m.

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