기호논리학
제11주: 다중양화문장과 번역
다중양화문장
논의 영역을 사람들의 집합이라고 하자:
D={x:x는 사람이다}
적형식 ‘Lxy’ 가 "x는 y를사랑한다"는 문장 힘수를 뜻한다고 기정하자. 그러면 다음의 다중 양화 문장(sentences containing multiple quantification)의 의미는무엇인가?
(1) (∀ x)(∀ y)Lxy.
(2) (∃ x)(∃ y)Lxy.
(3) (∃ x)(∀ y)Lxy.
(4) (∃ x)(∀ y)Lyx.
(5) (∀ x)(∃ y)Lxy
(6) (∀ x)(∃ y)Lyx.
다중양화문장 (계속)
앞 슬라이드에서 제시된 문장들의 의미는 다음과 같다:
(1) 모든 사람은 모든 사람을 사랑한다.
(2) 어떤 사람은 어떤 사람을 사랑한다.
(3) 모든 사람을 사랑하는 어떤 사람이 있다.
(4) 모든 사람에게 사랑받는 어떤 사람이 있다.
(5) 각 사람은 누군가를 사랑한다.
(6) 각 사람은 누군가에게 사랑받는다.
모형과 해석
이제 다음의 모형세계가 주어졌다고 가정해 보자.
D= {아담, 이브, 카인}.
I(L)={<아담, 아담>, <아담, 이브>,<아담, 카인>}
그러면 위의 문장들의 진리값은 무엇인가?
(1) (∀ x)(∀ y)Lxy.
이브는 카인을 사랑하지 않는다. 따라서 모든 사림이 모든 사람을 사랑한다는 것은 거짓이다
(2) (∃ x)(∃ y)Lxy.
아담은 이브를 사랑한다. 따라서 어떤 사람이 어떤 사람을 사랑한다는 것은 참이다.
연습문제
나머지 문장들의 진리값을 결정하시오:
(3) (∃ x)(∀ y)Lxy.
(4) (∃ x)(∀ y)Lyx.
(5) (∀ x)(∃ y)Lxy
(6) (∀ x)(∃ y)Lyx.
연습문제 (계속)
다음의 모형세계가 주어졌다고 가정해 보자.
D= {이담,이브,카인}.
I(L)={<아담,이브>,<이브,이브>,<카인,이브>}.
이제 다음 문장들이 M에서 가지는 진리치를 결정해 보라:
(1) (∀ x)(∀ y)Lxy.
(2) (∃ x)(∃ y)Lxy.
(3) (∃ x)(∀ y)Lxy.
(4) (∃ x)(∀ y)Lyx.
(5) (∀ x)(∃ y)Lxy
(6) (∀ x)(∃ y)Lyx.
논리적 동치
다음의 두 문장을 고려해 보자:
(1) 모든 사람들은 이브를 안 사랑한다: (∀ x)~Lxe
(2) 이브를 사랑하는 사람은 없다: ~(∃ x)Lxe.
직관적으로 위 두 문장들은 논리적으로 같은 의미를 지닌다. 그러나 이것을 어떻게 증명할 수 있을까? 우리는 이것을 두 문장들이 논리적으로 동치임을 보임으로써 증명할 수 있다.
정의: 술어논리의 문장 X와 Y는 논리적으로 동치이다
=df X와 Y는모든 모형세계에서 같은 진리값을 가진다.
이 정의에 의하면 (1)과 (2)는 논리적 동치이다.
논리적 동치 (계속)
먼저 (1)이 (2)를 함축함을 증명하자:
M이 임의의 모형세계라고 가정하자. 그리고 ‘(∀ x)~Lxe’ 가 M에서 참이라고 하자. 이제 귀류법을 위해 ‘(∃ x)Lxe’를 M에서 참이라고 가정하자. 그러면 M에서 참인 ‘Lxe’의 대체예가 존재한다. 이 대체예를 ‘Lue’ 라고하자. 그러면 ‘Lue’ 는 M에서 참이다. 이 사실을 (*)라고 부르자. 그런데 가정에 의해 ‘(∀ x)~Lxe’ 가 M에서 참이므로, ‘~Lxe’의 모든 대체예들이 M에서 참이다. 따라서 ~Lue 도 M에서 참이다. 이것은 (*)와 모순이 되므로, 귀류법에 의하여 "(∃ x)Lxe"는 M에서 참이 아니다. 따라서 ‘~(∃ x)Lxe’는 M에서 참이다.
논리적 동치 (계속)
이제 (2)가 (1)을 함축한다는 것을 증명하자:
‘~(∃ x)Lxe’가 M에서 참이라고 가정하자. 우리는 ‘(∀ x)~Lxe’가 M에서 참임을보이고자 한다. 이것을 증명하기 위해서는 임의의 이름 ‘u’ 에 대하여, ‘~Lue’ 가 참임을 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 위해 ‘Lue’ 가 M에서 침어라고 가정해 보자. 그러면 ‘(∃ x)Lxe’ 가 M에서 참이어야 한다. 그렇지만 이것은 가정과 모순이 된다. 그러므로 귀류법에 의해 ‘~Lue’ 는 M에서 참이다.
주목할 점: 위 증명을 일반화하면, 임의의 술어 F에 대해
다음 사실이 성립함을 알 수 있다 (∀ x)~F(x)←→~(∃ x)Fx.
연습문제
다음의 문장 (1)은 문장 (2)를 함축하지만, (2)는 (1)을 함축하지 않는다는 것을 증명하라:
(1) 모든 사람은 이브를 안 사랑한다: (∀ x)~Lxe.
(2) 모든사람이 이브를 사랑하지는 않는다: ~(∀ x)Lxe.
주목할 점: 위의사실을 일반화하면 우리는 다음의 논리법칙이 성립함을 알수 있다:
'(∀ x)~Fx’는 ‘~(∀ x)Fx'를 함축하지만, 그 반대방향이 언제나 성립하지는 않는다.
번역
다음 번역 길잡이를 이용하여 한국어 문장을 기호화해 보자:
Px: x는 사람이다. Ax: x는 동물이다. �Sx: x는 스웨덴인이다. Bx:x는 금발이다.
Nx: x는 신교도이다. Lxy: x는 y를 사랑한다.
Mx: x는죽는다. Dx: x는 개이다. a : 아담 e: 이브.
(1) 어떤 스웨덴 사람들은 신교도들이다.
=> (∃ x)(Sx&Nx)
문장 (1)은 어떤 스웨덴 사람이 존재함을 함축한다. 따라서 (1)을 기호화하기 위해서는 먼저 존재 양화사 "(∃ x)"를 사용해야 하고, 존재하는 대상 x가 스웨덴 사람이기 때문에 "(∃ x)(Sx..."으로 시작해야한다. 그리고 x가 또한 신교도이기
때문에, 문장 전체를 기호화하면 ‘(∃ x)(Sx&Nx)’이다.
번역 (계속)
여기서 (1)을 ‘(∃ x)(Sx&Nx)’로 기호화해야 하고 �‘(∃ x)(Sx→Nx)’로 기호화해서는 안 되는 이유를 잠시 생각해 보자. 그 이유는 스웨덴 사람이 존재하지 않는 세계에서 �‘(∃ x)(Sx&Nx)’는 거짓이지만, ‘(∃ x)(Sx→Nx)’ 는 참이기 때문이다. 다음 모형세계를 고려해 보자.
D = {a, b, c}; I(S)=ø; I(N) = {a}.
‘Sa→Na’ 는 이 모형세계에서 참이고, 따라서 ‘(∃ x)(Sx→Nx)’ 도 참이 된다.
번역 (계속)
(2) 어떤 스웨덴 사람은 금발이다 =>
(∃ x)(Sx & Bx)
(3) 이브는 어떤 금발의 스웨덴 사람을 사랑한다 =>
(∃ x)(Sx & Bx & Lex)
(4) 어떤 금발의 스웨덴 사람은 이브를 사랑한다 =>
(∃ x)(Sx & Bx & Lxe)
(5) 이브를 사랑하는 사람이 있다 =>
(∃ x)(Px & Lxe)
(6) 어떤 사람은 이브 또는 아담을 사랑한다 =>
(∃ x)(Px&(Lxe v Lxa))
번역 (계속)
(7) 만일 어떤 사람이 이브를 사랑한다면 이브도 어떤 사람을 사랑한다 => (∃ x)(Px & Lxe)→(∃ x)(Px & Lex)
(8) 만일 어떤 사람이 이브를 사랑하면, 이브도 그 사람을 사랑한다 => (∃ x)((Px & Lxe) → Lex)
여기서 (7)과 (8)의 차이에 대해 살펴보자.
이 점은 "그"라는 대명사의 역할을 통해 알 수 있다. 따라서 (8)에서 존재 양화사 ‘(∃ x)’는 전건의 ‘x’와 후건의 ‘x’를동시에 구속해야 한다.
번역 (계속)
이제 다음 문장을 어떻게 기호화할 수 있는지 생각해 보자:
모든 사람은 죽는다.
다음 두 기호화한 문장 중에서 어떤 것이 올바른가?
(a) (∀ x)(Px→Mx).
(b) (∀ x)(Px & Mx).
문장 (a)의 의미는 다음과 같다: "만일 x가 사람이라면 x는 죽는다." 문장 (b)의 의미는다음과 같다: "모든 x에 대하여 x는 사람이고 x는 죽는다." 만일 (b)가 참이면, 모든 대상은 사람이다. 그렇지만 이것은 사실이 아니다. 왜냐하면
사림이 아닌 대상들, 예컨대 개, 호랑이, 바위 등이 존재하기 때문이다. 띠라서 올바른 기호화는 (b)가아니라 (a)이다.
번역 (계속)
이제 복잡한 문장을 기호화하는 방법에 대해 생각해 보자. 복잡한 문장을 기호화할 때는 한꺼번에 기호화하지 않고, 각 부분을 나눠서 번역한 후 이를 결합히는 것이 좋다. 예컨대 다음 문장을 고려해 보자:
(1) 이브를 사랑하는 모든 소년들이 부유한 것은 아니다.
먼저 이 문장은부정문이므로, "이브를 사랑하는 모든 소년들은 부유하다"를 번역한 후 부정기호를 앞에 붙이면 된다. 즉 아래 문장의 번역에 "~"를 붙이면 된다:
(2) 이브를 사랑하는 모든 소년들이 부유하다.
번역 (계속)
(2)는다음과 같이 분석될 수 있다:
(3) (∀x)(x는 소년이고 이브를 사랑한다→x는 부유하다).
다시 (3)을 보다 완전히 번역하면 다음 결과를 얻는다:
(4) (∀x)((Bx&Lxe)→Rx).
따라서 최종적인 번역은다음과 같다·
(5) ~(∀x)((Bx&Lxe)→Rx).
(Bx : x는소년이다 Rx : x는부유하다)
연습문제
다음 문장들을 술어논리의 언어로 번역하시오:
(1) 모든 고양이가 검지는 않다.
(2) 아담을 사랑하는 모든 고양이는 또한 이브를
사랑한다.
(3) 오직 아담을 사랑하는 사람들만이 이브를 사랑한다.
(4) 이브를 사랑하는 모든 사람들은 아담을 사랑한다.
(5) 아담은 아들이 있고, 모든 사람들은 그 아들을
사랑한다.
(6) 만일 모든 지식인들이 도덕적이리면, 우리나라는
부패하지 않을 것이다.