Operasi dan Faktorisasi Bentuk Aljabar
Kata aljabar berasal dari kata al-jabr yang diambil dari buku karangan Muhammad ibn Musa Al-Khawarizmi (780-850 M), yaitu kitab al-jabr wal-muqabalah yang membahas tentang cara menyelesaikan persamaan-persamaan aljabar.
Al-Khawarizmi adalah ahli matematika, astronomi, dan geografi yang termasyhur. Ia lahir di Khwarizm (Uzbekistan) dan wafat di Baghdad tahun 850 M. Selain buku tentang aljabar, ia bersama tim ahli geografinya telah menghasilkan peta pertama dunia tahun 830 M.
3.2.1 Pengertian Bentuk Aljabar
3.2 BENTUK ALJABAR
3.2.2 SUKU TUNGGAL DAN SUKU BANYAK
Suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar hanya boleh berbeda pada koefisiennya.
3.2.3 SUKU-SUKU SEJENIS
2. Tentukan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut 9k + 8m – 4km – 15k + 7km
Jawab:
Suku-suku yang sejenis pada 9k + 8m – 4km – 15k + 7km adalah:
3.2.3 SUKU-SUKU SEJENIS
3.3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut.
1. Suku-suku yang sejenis.
2. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan, yaitu:
a. ab + ac = a(b + c) atau a(b + c) = ab + ac,
b. ab – ac = a(b – c) atau a(b – c) = ab – ac.
3. Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu:
a. hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif,
b. hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,
c. hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.
3.3 OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR
3.3.1 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR
Hasil penjumlahan maupun pengurangan pada bentuk aljabar dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan menyederhanakan suku-suku yang sejenis.
3. Gambar di samping menunjukkan sebuah persegi dengan
panjang sisi 2n cm. Tentukan keliling persegi tersebut
dinyatakandalam n!
Jawab:
Keliling persegi adalah jumlah panjang sisi persegi, maka:
keliling persegi tersebut = 2n + 2n + 2n + 2n
= 8n cm.
5. Kurangkanlah –4(2x + 3) dari – 5(x – 2), kemudian sederhanakan hasil pengurangan
tersebut!
Jawab:
Hasil pengurangan –4(2x + 3) dari – 5(x – 2) adalah:
– 5(x – 2) – [–4(2x + 3)] = –5x + 10 – (–8x – 12)
= –5x + 10 + 8x + 12
= –5x + 8x + 10 + 12
= 3x + 22
4. Kurangkan 5p – 3q dari 9p – 6q, kemudian sederhanakanlah!
Jawab:
Ingat bahwa a dikurangkan dari b artinya b – a, bukan a – b.
Hasil pengurangan 5p – 3q dari 9p – 6q adalah:
(9p – 6q) – (5p – 3q) = 9p – 6q – 5p + 3q atau 9p – 6q
= 9p – 5p – 6q + 3q 5p –3q –
= 4p – 3q 4p – 3q
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 1 pada
halaman 123
a. Perkalian Suku Tunggal
3.3.2 PERKALIAN BENTUK ALJABAR
Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku:
B. PERKALIAN SUATU BILANGAN DENGAN SUKU DUA
1. Menggunakan Hukum Distributif
Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan hukum distributif, yaitu:
C. PERKALIAN SUKU DUA DENGAN SUKU DUA
1. MENGGUNAKAN HUKUM DISTRIBUTIF
Contoh:
Tentukan hasil perkalian berikut dengan menggunakan hukum distributif!
1. (3x + 4)(x – 2) 2. (2x – 3)(x + 1)
Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan menggunakan skema berikut:
2. MENGGUNAKAN SKEMA
2. MENGGUNAKAN SKEMA
Contoh :
3. PENGGUNAAN PERKALIAN (X + A)(X + B)
Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.
3.3.3 PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 2 dan 3 pada
halaman 129 dan 132
a. Arti Pemangkatan Bentuk Aljabar
3.3.4 PEMANGKATAN BENTUK ALJABAR
B. PENGKUADRATAN SUKU DUA
Koefisien suku-suku pada hasil pemangkatan suku dua diperoleh dari bilangan-bilangan
pada segitiga Pascal.
Perhatikan hasil pemangkatan suku dua di atas, pangkat dari a turun dan pangkat
dari b naik!
C. PEMANGKATAN SUKU DUA DENGAN SEGITIGA PASCAL
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 4 pada
halaman 136
3.4 MENSUBSTITUSI BILANGAN PADA BENTUK ALJABAR
3.5.1 Faktorisasi dengan Hukum Distributif
Faktorisasi (pemfaktoran) adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku menjadi bentuk perkalian
faktor-faktor. Bentuk penjumlahan suku-suku pada
bentuk aljabar yang memiliki faktor yang sama
( faktor persekutuan) dapat difaktorkan dengan
menggunakan hukum distributif.
3.5 FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
3.5 FAKTORISASI BENTUK ALJABAR
Catatan:
Dalam faktorisasi, faktor persekutuan yang diambil adalah faktor persekutuan
terbesar, sehingga suku-suku yang berada di dalam tanda
kurung tidak lagi memuat faktor persekutuan.
2. Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut!
a. 2a – 2b + ac – bc b. px + py – qx – qy
Jawab:
Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti di atas, faktorkanlah terlebih dahulu
dua suku yang pertama, kemudian dua suku yang terakhir.
a. 2a – 2b + ac – bc = 2(a – b) + c(a – b)
= (a – b)(2 + c) atau (2 + c)(a – b)
b. px + py – qx – qy = p(x + y) – q(x + y)
= (x + y)( p – q) atau ( p – q)(x + y)
3.5.2 FAKTORISASI SELISIH DUA KUADRAT
Catatan:
Jika suatu bentuk aljabar memiliki faktor persekutuan seperti Contoh 2a dan 2c, maka faktorkanlah terlebih dahulu dengan menggunakan hukum distributif, kemudian lanjutkan dengan faktorisasi bentuk lainnya.
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 5, 6 dan 7 pada
halaman 138, 140, dan 142
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 8 pada
halaman 145
3.6.1 Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Untuk menyederhanakan pecahan aljabar, kita gunakan sifat pada pecahan senilai, yaitu:
3.6 OPERASI PECAHAN BENTUK ALJABAR
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 9 dan 10 pada
halaman 147 dan 149
3.6.2 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN PECAHAN ALJABAR
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 11 pada
halaman 151
3.6.3 PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN ALJABAR
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 12 pada
halaman 153