МАТЕМАТИКА

ОЛІМПІАДА

2022 – 2023 н.р.

7 клас

�

х = 2

2. Чи можна число 120 записати у вигляді добутку декількох натуральних чисел так, щоб сума квадратів всіх цих чисел була також рівна 120?

Другий спосіб

Третій спосіб

Принцип Діріхле

Якщо в 100 (або n) клітках сидить не менше 101 (або n +1) зайців, то хоча б в одній клітці знаходиться більше одного зайця.

​

Головне при використанні цього принципу з’ясувати, кого призначити на роль «зайця», а кого – на роль «клітки».

​

​

3. На збори приїхала 201 особа з п’яти країн. Серед кожних шести з них є двоє однакового віку. Довести, що з деякої країни на збори приїхало не менше 5 осіб однієї статі та одного віку.�

• Оскільки серед кожних 6 учасників є двоє одного віку, то всі учасники належать не більш ніж до 5-ти вікових категорій.
• Тому за принципом Діріхле знайдеться хоча б 41 учасник однакового віку: 201 : 5 = 40 (ост 1).
• За тим самим принципом Діріхле серед 41 учасника однакового віку знайдеться хоча б 9 з однієї країни, так як країн п’ять, то 41 : 5 = 8 (ост 1).
• А серед 9 осіб з однієї країни є принаймні 5 осіб однієї статі, або жіночої, або чоловічої: 9 : 2 = 4 (ост 1).

​

4. Майдан у формі круга розбитий на 6 секторів. У секторах розмістили 6 рекламних банерів по одному в кожному. Раз у день переміщають два банери на один сектор кожний (в однакових або протилежних напрямах). Чи можна за декілька днів зібрати усі банери в одному секторі?�

5. На столі лежать 18 олівців. Двоє учнів по черзі беруть один, два або три олівці. Програє той, хто візьме останній олівець. Як повинен грати перший учень, щоб виграти?

• Перший учень, щоб виграти, повинен грати наступним чином: першого разу він повинен взяти 1 олівець, тоді залишиться 17 олівців.
• Так як 17 : 4 = 4 (ост 1), то при кожному наступному виборі керуватися правилом:
• «якщо другий візьме 1 олівець, то перший повинен взяти 3 олівці, якщо другий візьме 2 олівці, то перший також повинен взяти 2 олівці, якщо другий візьме 3 олівці, то перший повинен взяти 1 олівець».

​

• Дякую за увагу!