Підготовка до НМТ

з математики

​

Тема: «Кути у просторі»

​

Підготувала

Кіляновська І.В., учитель математики

ЗОШ №25

Кут між прямими

∠(ab)= ϕ

​

0°<ϕ≤90°

Означення. Кутом між двома прямими, що перетинаються, називають величину меншого з кутів, утворених цими прямими.

Кут між прямими в просторі не фігура, а кутова міра, величина.

a∩b

Кут між прямими�

Кут між мимобіжним прямими

Означення. Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90° ,

називаються перпендикулярними.

Знайти кут між прямими�на рисунку зображено куб

A

B

C

D

A₁

B₁

C₁

D₁

Знайти кут між прямими�перевір себе

A

B

C

D

A₁

B₁

C₁

D₁

Кут між прямою та площиною

Означення. Кутом між прямою та площиною називають кут між цією прямою і її проекцією на площину.

​

a

А

О

В

1. А ∈ a, А ∉α
2. АВ ⊥α, В ∈α

∠ (a α)= ∠АОВ

​

Кут між прямою та площиною

Назвіть кут між прямою і площиною�на рисунку зображено куб

A

B

C

D

A₁

B₁

C₁

D₁

Назвіть кут між прямою і площиною�перевір себе

A

B

C

D

A₁

B₁

C₁

D₁

Кут між площинами

∠(αβ)=0°

∠(αβ)=0°

1. a⊥с

2. b⊥α

∠(αβ)=∠(ab)

Двогранний кут -

фігура, утворена двома півплощинами зі спільною прямою, що їх обмежує.

α

β

с

ребро

грань

грань

Лінійний кут двогранного кута

Означення: лінійним кутом двогранного кута називається кут між променями, по яких площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані

α

β

с

а

b

∠(ab) – лінійний кут даного двогранного кута

γ

1. γ ⊥ c

2. γ ∩ α=a

3. γ ∩ β=b

Лінійний кут двогранного кута

Властивість: оскільки γ ⊥ c, то γ ⊥ α і γ ⊥ β,

Тобто площина лінійного кута перпендикулярна до кожної грані двогранного кута

​

​

​

α

β

с

а

b

γ

Двогранний кут може бути гострим, прямим, тупим

Практичні способи побудови лінійного кута

• 1 спосіб

α

β

с

А

К

∠(АМВ) – лінійний кут даного двогранного кута

1. К ϵ c

2. КА ⊥ c (у грані α)

3. КВ ⊥ c (у грані β)

В

Практичні способи побудови лінійного кута

С

А

S

SO ⊥ (АВС )

(SO – висота піраміди)

Проводимо ОК ⊥ ВС і з’єднуємо точки S і К.

Тоді SК ⊥ ВС за теоремою про три перпендикуляра, тому ∠(SКВ) – лінійний кут даного двогранного кута при ребрі ВС

​

В

O

К

2 спосіб

Практичні способи побудови лінійного кута

С

А

S

SАВСD правильна піраміда

​

Проводимо СК ⊥ SВ і з’єднуємо точки А і К.

Тоді △ АКВ = △СКВ (за двома сторонами і кутом між ними).

Отже ∠АКВ = ∠СКВ = 90°,

тобто АК ⊥ SВ і СК ⊥ SВ Тому ∠(АКС) – лінійний кут даного двогранного кута при ребрі SВ

​

В

O

К

3 спосіб

D

Завдання №1.

Дано: ˪(ᾀ,ꞵ) - двогранний кут, MN-ребро (див. рисунок);

Aєꞵ, АВ ┴ МN, АС ┴ᾀ.

Знайти: ˪ABC — лiнiйний кут двогранного кута? Вид ΔABC.

ꞵ

ᾀ

1.Якщо АС ┴ᾀ, то АС-перпендикуляр, АВ - похила, СВ - проекція.

Розв'язання

2. За умовою АВ ┴ МN. Отже за т. про три перпендикуляри ВС ┴ МN.

Отже за означенням ˪ABC — лiнiйний

кут двогранного кута.

3. АС ┴ᾀ АС ┴ ВС, отже ΔABC- прямокутний.

Завдання №2.

Дано: ABCD—квадрат, PD ┴(ABC). Знайти: кути мiж площинами:

а) PBC i ABC; б)PCD i ABC;

в) PAD i PCD

Розв’язання

а) PBC i ABC

CB-ребро дв-го кута��б)PCD i ABC, CD- ребро дв-го кута

​

​

в) PAD i PCD, PD-ребро дв-го кута

�

​

2) ABCD—квадрат, пряма PD перпендикулярна до площини ABC. Назвiть кути мiж площинами:

а) PBC i ABC; б)PCD i ABC;

в) PAD i PCD; г)PAD i PBC.

РD┴DC�АD┴DC

АD┴РD�СD┴РD

Назвіть лінійний кут�

A

B

C

D

B₁

C₁

D₁

A₁

O

�на рисунку зображено куб

Назвіть лінійний кут�

A

B

C

D

B₁

C₁

D₁

A₁

O

�перевірь себе