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流體模式電漿模擬�Fluid Plasma Simulation

呂凌霄

中央大學　太空科學所

Ling-Hsiao Lyu

Institute of Space Science, National Central University

Chung-Li, Taiwan, R. O. C.

2008-07-11

2008 Laser-Plasma Summer School

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2008年雷射電漿暑期學校

台大應力所100國際會議廳

July 11,2008

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大綱

  • 流體電漿模式簡介
  • 為什麼要做數值模擬？
  • 流體電漿數值模擬的優缺點
  • 流體電漿模擬的基本技巧與應檢驗的事項
  • 模擬結果之診斷與分析
  • 總結與討論
    • 流體電漿模擬結果範例介紹

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流體電漿模式簡介

  • 考慮電漿流體物理量隨時空的變化情形
  • 流體物理量：
    • 個數密度 （ ）、質量密度

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    • 平均速度（ ）

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    • Pressure tensor（ ）
    • Scalar pressure（ ）
    • Heat flux（ ）

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Governing Equations of the Fluid Variables

  • Continuity equation:
    • Time evolution of the mass density or number density or charge density
  • Momentum equation:
    • Time evolution of the average velocity
  • Energy equation: (equation of state)
    • Time evolution of the plasma pressure

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Force Terms in the Momentum Equation

  • Body Forces (Force per unit volume)
    • Pressure gradient force:
    • Lorentz force:
    • Gravitational force ( solar physics, galactic physics):
    • Coriolis force (solar physics)
  • How to determine the E-field and B-field?

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Governing Equations of the E, B Fields

  • Using the Maxwell’s equations to determine the evolution of E-, B-fields
    • It is true for both fluid and kinetic plasma simulations
  • For low frequency plasma phenomena (e.g., magnetohydrodynamic, MHD, plasma), the E-field is determined by the Ohm’s law (e.g., MHD Ohm’s law: ).

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Examples of Fluid Plasma Model

  • 遠大於正離子時空尺度之 磁流體模式

(magnetohydrodynamic plasma model)

  • 正離子時間尺度之�電子－正離子雙流體模式

(electron-ion two-fluid plasma model)

  • 電子時間尺度之 相對論多流體模式

(relativistic multi-fluid plasma model)

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遠大於正離子時空尺度之�磁流體方程式

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The MHD Ohm’s law has

been used to eliminate the electric field

in the above equations.

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正離子時間尺度之�電子－正離子雙流體方程式

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相對論多流體方程式

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為什麼要做數值模擬？

  • 檢驗理論模式
    • 理論模式通常是為了解釋一種觀測現象而設計出來的。
    • 理論模式，通常可以簡化為一組聯立的微分方程式（system ODEs or PDEs）。
    • 根據這些方程式，寫個程式，進行電腦數值模擬，看看是否可以重新建構觀測到的現象。藉以檢驗理論模式是否正確。
  • 彌補實驗或觀測上之不足
    • 實驗或觀測受到時空條件的限制，往往無法取得足夠精細的時空資訊。
    • 藉由高時空解析度的模擬結果，可幫助我們了解非線性過程中的因果關係與主要的物理機制。

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流體電漿數值模擬的優缺點

  • Advantage of fluid plasma simulation:
    • Simulation: relatively simple and fast
      • 流體電漿模式所用的變數，數量比較少，自由度也比較少，因此模擬計算起來，相對於電漿粒子模擬，快很多！
      • 流體電漿中的波動變化相對比較簡單，因此分析流體電漿模擬結果，要比分析電漿粒子模擬結果，容易許多。也比較容易與現成的理論相比較。

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流體電漿數值模擬的優缺點

  • Limitation of fluid plasma simulation:
    • The fluid model fails when the kinetic effect becomes important or when the equation of state we assumed is incorrect.

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流體電漿數值模擬適用範圍

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Vwave

0

f (v)

v

f (v)

v

Vwave

f (v)

v

適合用流體數值模擬來研究的問題

不太適合用

流體數值模擬碼

處理的物理問題

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流體電漿模擬 對時間積分時�的基本技巧

  • Explicit Scheme
    • 利用過去與現在的資訊，估算時間積分之值，以預測未來的結果。
    • 運算比較快、 程式比較好寫，但是誤差會不斷地累積。
  • Implicit Scheme
    • 利用過去、現在、與未來的資訊，估算時間積分之值。其中，未來的資訊，可藉由聯立方程式求解，或利用疊代法求解。
    • 運算費時、程式難寫，但是誤差不會累積。

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傳統流體模擬架構

  • The 2nd order Lax-Wendroff Scheme
    • 速度快、誤差不大、記憶體用量省。
    • An explicit scheme，誤差會累積。
    • 只適合模擬只含奇次空間微分項的時間微分方程式
  • 參考文獻：

Press, W. H., B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, and W. T. Vetterling, Numerical Recipes (in C or in FORTRAN and Pascal), Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

Richtmyer, R. D., and K. W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc., 1967.

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Traditional Simulation Scheme�The 2nd Order Lax-Wendroff Scheme

適用問題：

  1. 如果一組基本方程式可以寫成以下通量守恆形式 （例如：磁流體（MHD）方程式）

​

​

​

  • 其他只含 奇次空間微分項 的時間微分方程式也適用

（例如： Korteweg-deVries (KdV) equation ）

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常用符號的定義

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通量守恆形式的時間微分方程式

  • 方程式基本形式

​

可用二階 Lax-Wendroff scheme來進行數值模擬

  • 第一步：

​

​

​

  • 第二步：

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xi-1

xi+1

xi-1/2

xi+1/2

xi

tn

tn+1

tn+1/2

Uin+1

t

x

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傳統流體數值模擬架構

  • The implicit scheme for the diffusion term
    • 當方程式中出現 偶次空間微分 項時，切不可用 explicit schemes 來處理之，否則會出現，西洋棋盤－黑白格子狀分布的假波動結構。 （Press et al., 1988）
    • 流體方程式中的耗散項或擴散項，多為對空間的二次微分項，宜用 implicit scheme 來處理之。

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Traditional Simulation Scheme�Diffusion equation: Implicit scheme

  • The diffusion equation
  • The implicit scheme

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where

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Non-traditional Simulation Scheme�Higher Order Implicit Scheme

  • 高階implicit流體數值模擬架構
    • 高階：誤差小、需要用到較多記憶體
    • Implicit scheme：誤差不會累積、需要較多記憶體
    • 過去的老電腦跑不動，適合在現在與未來高速的電腦上運算
    • 範例： The 4th Order Predictor-Corrector Method
  • 參考文獻：

Shampine, L. F., and M. K. Gordon, Computer Solution of Ordinary Differential Equation: the Initial Value Problem, W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1975.

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Example of Higher Order Implicit Scheme�The 4th Order Predictor-Corrector Method

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  • 空間微、積分：
    • 利用Fast Cubic Spline或其他高階差分法，求網格點上的空間微分、積分之值
  • 初始三步驟：
    • 利用 the 4th order Runge-Kutta method ，求 y1, y2, y3之值
  • 預測步驟：
    • 利用 the 4th order Adams’ open formula，根據 yn, yn-1, yn-2, yn-3 , 預測yn+1之值
  • 校正（疊代）步驟：
    • 利用 the 4th order Adams’ close formula ，根據前一次預測所得的 yn+1 ，以及原有之 yn, yn-1, yn-2, 重新預測 yn+1 之值
  • 重複校正（疊代）數次，直到收斂，即可進行下一步的預測

​

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The 4th Order Predictor-Corrector Method� （Shampine and Gordon, 1975）

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  • 預測步驟：利用 yn, yn-1, yn-2, yn-3 , 預測yn+1之值 (the 4th order Adams’ open formula)

​

​

​

  • 校正（疊代）步驟：利用前一次預測所得的 yn+1 ，以及原有之 yn, yn-1, yn-2, 重新預測 yn+1 之值 (the 4th order Adams’ close formula)

​

​

  • 重複校正（疊代）數次，直到收斂，即可進行下一步的預測
  • 因為當 n < 4 時， the 4th order Adams’ open formula 不適用，故利用 the 4th order Runge-Kutta method 來求 y1, y2, y3之值

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流體數值模擬�應注意與檢驗的事項

  • Always use double precision in your simulation
  • Normalize your equations 可以幫助你選取模擬相關係數，如系統長度、時間間距、空間間距。
    • 檢查系統總能量是否守恆？
    • 檢查是否滿足 Courant condition: ∆t * Vmax < ∆x ？
  • 進一步的檢查： 確認一下
    • 當系統長度增加一倍，模擬結果沒有重大改變？
    • 當時間間距減半，模擬結果沒有重大改變？
    • 當空間間距減半，模擬結果沒有重大改變？

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善用資源、能省則省、錙銖必較

Do your best to save

  • Memory
    • 務必重複使用working Arrays
  • CPU time
    • 避免重複計算：指數、對數、三角函數。
    • 重複計算部份，務必先建立Table。
  • Real time
    • Watch out your I/O scheme
    • 千萬不要小筆、小筆資料，分批進行傳輸 ，這樣會非常慢
    • 要一大筆資料，一口氣一起傳輸，才快

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數值模擬結果之診斷與分析

  • Display your simulation results
    • 利用 Matlab或 IDL 等軟體，寫一個簡單繪圖檔（指令檔）自動處理大量數值模擬結果。
    • 利用 Excel 等軟體，個別處理總結形式的圖片.
  • 要用心分析你的模擬結果，不要浪費了辛苦算出來的模擬結果！
    • Carefully trace the time evolutions of all fluid variables.
    • 最好不要一邊模擬一邊做診斷繪圖。如果模擬一個Case所花費的時間，超過一天，最好把需要分析的資料存下來，用另外一台電腦慢慢的仔細分析。
  • 要熟練各種數值方法，活學活用，才能做出最有效、最有創意的診斷分析。

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總結與討論

  • 我們的目標，希望能在
    1. 有限的電腦資源：RAM, HD, CPU, I/O速率
    2. 有限的研究時間

等條件下，利用一套 精準有效 的數值方法，

模擬電漿物理現象，了解非線性電漿物理過程

​

  • 一套 精準有效 的數值方法，不只要穩，還要快、要準！（光是穩定，光是快，結果不正確也是枉然！）

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Fluid Plasma Simulation

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總結與討論

  • 選擇模擬碼，要對症下藥：
    • Choose a right simulation code for your problem
  • 要隨時保有：宏觀的視野與微觀的警惕。
    • 知道自己的模擬碼，適用的底線在哪裡！
  • 能省則省，錙銖必較：
    • Do your best to save memory, CPU time, and real time (Watch out your I/O scheme).
  • 好的診斷（ good diagnostics ）可以幫助我們了解模擬現象背後的物理過程。

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流體電漿模擬結果範例介紹

  • Nonlinear evolutions of velocity-shear instabilities in the MHD plasma
    • Medium velocity shear

Formation of vortex or undulant wavy structures

    • Strong velocity shear

Formation of fast-mode Mach-cone-like solitary waves

    • Weak velocity shear

Formation of slow-mode Mach-cone-like solitary waves in a limited range of parameters

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Velocity Shear in Space

2007 Fall AGU Meeting

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Nonlinear Evolution of �Velocity-Shear Instability

  • Classical Results :
    • Vortexes (without tension force)
    • Undulant surface wave 　 　 　 　 　 　 　
    • (with presence of tension force)

​

​

​

​

  • New Results :
    • Nonlinear half-plane solitary waves
      • Nonlinear fast-mode solitary waves (Lai and Lyu, 2006 JGR)
      • Nonlinear slow-mode solitary waves (Lai and Lyu, 2008 JGR)

​

2007 Fall AGU Meeting

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Vortex Structures

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without magnetic tension force

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Jet Flow�Pairs of vortexes with opposite vorticities

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Simple Velocity Shear �Vortexes with the same vorticity

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S-Shaped Surface Waves

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with magnetic tension force

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Fast-Mode Plane Waves

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Fast-Mode Plane Waves

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The arrows indicate the plasma flow direction observed in the nonlinear wave rest frame

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Another Example of�Fast-Mode Plane Waves

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Fast-mode Mach-cone wave�(Jet flow: MFy0 >1)

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Fast-mode Mach-cone wave�(Velocity shear : MFy0 >1)

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Formation of Nonlinear Fast-Mode Plane Wave

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Theoretical Predictions �and Simulation Results

Flaring angle of the fast-mode nonlinear plane wave (Lai and Lyu, 2006 JGR)

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好的模擬結果，幫助我們看到其他更精彩的結果！

  • 根據 fast-mode Mach-cone-like solitary waves 的成因，我們大膽的推斷，速度切也可以造成 slow-mode Mach-cone-like solitary waves in the MHD plasma.
    • 結果，我們真的找到了！雖然 slow-mode Mach-cone-like solitary waves 的 solution space 非常小，只能存在於 a limited range of parameters!

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Friedrichs Diagrams of �Slow-Mode Group Velocity

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Slow-Mode Plane Waves

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Slow-Mode Plane Waves

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The arrows indicate the plasma flow direction observed in the nonlinear wave rest frame

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Formation of Nonlinear Slow-Mode Plane Wave

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Theoretical Predictions �and Simulation Results

Flaring angle of the nonlinear slow-mode plane wave

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總結

  • 好的模擬研究，務必做到：確實了解模擬結果！

​

  • 最好能做到：下一次，不必進行模擬，也可以大致 預估 模擬的結果。就好像 貝多芬 失聰後，仍然有能力作曲。

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Fluid Plasma Simulation

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台大應力所 國際會議廳的對聯

學業尚未成功

博士仍須努力

　　　　　　　－陳立夫

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鷹架理論：站得高，才看得遠，想得深，學得也廣。

數值模擬，就像所有的實驗一樣，可以幫助你永遠的學習！

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