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Autor: Anibal Tavares de Azevedo

CÁLCULO I

​

SEMANA 01 - AULA 02

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6 Agosto 2008

                              

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FUNÇÃO

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função par.

Exemplo 1: Provar que a equação da parábola

dada por f(x)=x2 é par.

​

f(-x) = (-x)2 = (-1) 2(x)2 = x2 = f(x) ⇔ f(-x) = f(x), p/ todo x.

​

O significado geométrico de uma função f ser par é que seu gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Dessa forma, para se construir o gráfico de f basta obter os valores de f para x ≥ 0 e obter o restante do gráfico girando a parte obtida (para x ≥ 0) no valor de 180º em torno do eixo Y.

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FUNÇÃO

0

1

f(x) = x2

1

-1

y

x

2

4

-2

2

4

1

1

0

0

x

f(x)

-2

4

-1

1

180º

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FUNÇÃO

Simetrias em funções:

Se uma função f for tal que f(-x)= -f(x) para todo x no seu domínio, então, f é dita função ímpar.

Exemplo 2: Provar que f(x)=x3 é ímpar.

​

f(-x) = (-x)3 = (-1) 3x3 = -x3 = -f(x) ⇔ f(-x) = -f(x), p/ todo x.

​

O significado geométrico de uma função f ser ímpar é que seu gráfico é simétrico em relação à origem. Dessa forma, para se construir o gráfico de f basta obter os valores de f para x ≥ 0 e obter o restante do gráfico girando a parte obtida (para x ≥ 0) no valor de 180º em torno da origem.

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FUNÇÃO

0

1

f(x) = x3

1

-1

y

x

2

-8

-2

2

8

1

1

0

0

x

f(x)

-2

-8

-1

-1

180º

1

-1

8

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FUNÇÃO

Exemplo 3: Determinar se uma função é par,

ímpar ou nenhum dos dois:

(a) f(x) = x5 + x

(b) g(x) = 1 – x4

(c) h(x) = 2x – x2

  1. f(-x) = (-x5)+(-x) = (-1)5(x)5-x =-x5-x=-(x5+x)=-f(x)

​

⇔ f(-x) = -f(x) , portanto, a função f é ímpar.

(B) g(-x) = 1-((-x) 4) = 1-((-1)4(x)4) =1-(x4) = 1–x4 =g(x)

​

⇔ g(-x) = g(x) , portanto, a função g é par.

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FUNÇÃO

(c) h(-x) = (2(-x))-((-x)2) = -2x-((-1)2(x)2) =-2x-(x2) =-2x -x2

⇔

E portanto, a função h não é par (h(-x) ≠ h(x)), nem ímpar (h(-x) ≠ -h(x)).

0

1

(c) h(x)

1

y

x

-1

1

(b) g(x)

1

y

x

0

-1

1

(a) f(x)

1

y

x

0

-1

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FUNÇÃO

Como criar novas funções a partir de antigas:

Aplicando certas transformações aos gráficos de uma função conhecida outras funções relacionadas podem ser obtidas de modo que é facilitado o esboço de funções cujo gráfico é desconhecido.

y

x

y=f(x)

Translações

y=f(x)+c

y=f(x-c)

y=f(x+c)

y=f(x)-c

0

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FUNÇÃO

y

x

y=f(x)

Expansão e Reflexão

y=c*f(x)

y=f(-x)

y=1/c *f(x)

0

Considerando c > 1

y=-f(x)

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FUNÇÃO

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x ≥ 0, use transformações para obter o gráfico de:

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1

y

x

0

1

1

y

x

0

(a)

2

3

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FUNÇÃO

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x ≥ 0, use transformações para obter o gráfico de:

1

1

y

x

0

0

1

y

x

-2

(b)

2

3

4

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FUNÇÃO

Exemplo 4: Dado o gráfico de , para x ≥ 0, use transformações para obter o gráfico de:

1

1

y

x

0

0

1

y

x

-1

(c)

2

3

4

-2

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FUNÇÃO

Combinações de funções:

Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f+g, f-g, f*g e f/g de forma similar às operações realizadas com números reais. As funções soma e diferença são assim definidas:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

​

(f - g)(x) = f(x) – g(x)

Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, então, o

domínio de (f+g) é a intersecção A∩B, pois tanto f(x) quanto g(x) devem estar definidas. Por exemplo, o domínio de é A = [0, +∞) e o domínio de

é (-∞, 2] de modo que o domínio de

é A∩B = [0, 2].

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FUNÇÃO

Combinações de funções:

Analogamente, as funções produto e quociente são definidas por:

​

(f *g)(x) = f(x) * g(x)

​

(f /g)(x) = f(x) / g(x)

​

Dado que o domínio de f*g é a intersecção A∩B, mas não se pode dividir por zero, então, o domínio de f/g é {x ∈ A∩B | g(x) ≠ 0}. Por exemplo, se f(x) = x2 e g(x) = x – 1, então, o domínio da função racional (f/g)(x) x2/(x-1) é {x | x ≠ 1} ou (-∞,1)∪(1,+ ∞).

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FUNÇÃO

Combinações de funções:

Outra forma de combinar duas funções para se obter uma nova é a composição. Neste caso, f é função de u e u, por sua vez, é função de x. Por exemplo:

y = f(u) = √u e g(x) = x2 + 1

​

Assim: y = f(u) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = √(x2 + 1)

Dadas duas funções f e g, a função composta fog (também chamada de composição de fog) é definida por:

​

(fog)(x) = f(g(x))

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FUNÇÃO

Exemplo 5: Seja f(x) = x2 e g(x) = x – 3 encontrar as funções compostas f o g e g o f.

(f o g)(x) = f(g(x)) = f((x-3)) = (x-3)2

​

(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 - 3

Observações Importantes:

​

(1) Como observado no Exemplo 5, em geral f o g ≠

g o f.

(2) Cuidado: f o g significa primeiro aplicar a função g e depois aplicar f.

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Funções Inversas:

Suponha que um biólogo possui um experimento

que monitora o crescimento de uma

colônia de bactérias. Ou seja:

​

N = f(t)

​

Se ele quiser determinar

O tempo necessário para a

população atingir um certo nível, então, será necessário obter a função inversa de f, isto é:

​

t =f-1(N)

​

FUNÇÃO

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FUNÇÃO

Cuidado, pois nem todas as funções possuem inversas. Para que uma função tenha inversa é necessário que f seja tal que f(x1) ≠ f(x2), se x1 ≠ x2. Funções que satisfazem essa propriedade são denominadas de INJETORAS.

t (horas)

0

1

2

3

4

N = f(t)

100

168

259

358

445

f

N = f(t)

0

1

2

3

4

t (horas)

100

168

259

358

445

f-1

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FUNÇÃO

4

10

3

7

A

B

f

1

2

f é injetora

4

10

3

4

A

C

g

1

g não é injetora

f(x1) ≠ f(x2)

se x1 ≠ x2

f(3) = f(1)

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-1

1

g(x)=1-x2

1

y

x

0

-1

1

f(x)=x3

1

y

x

0

-1

FUNÇÃO

f é injetora

g não é injetora

f(x1) ≠ f(x2)

se x1 ≠ x2

f(-1) = f(1)

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Funções Inversas:

Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B. Então, sua função inversa f-1 tem domínio B e imagem A e é dada por:

FUNÇÃO

f-1 (y) = x ⇔ f(x) = y para todo y em B.

Para encontrar a função inversa f-1 de uma função f injetora é necessário seguir os seguintes passos:

​

PASSO 1: Escreva y=f(x).

​

PASSO 2: Isole x nesta equação e escreva em termos de y (se for possível).

​

PASSO 3: Para expressar f-1 como função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f-1(x).

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Exemplo 6: Encontrar a função inversa de f(x) = x3 + 2.

FUNÇÃO

Passo 1: y = x3 + 2

​

Passo 2: x3 = y – 2 ⇒ x = (y – 2)1/3

​

Passo 3: y = (x-2)1/3 e f-1(x) = (x-2)1/3

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OBRIGADO !!!

FIM !!!

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