Pr HAMOUTAHRA Z.D

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MECANIQUE DES FLUIDES

Pr. HAMOUTAHRA Z.D.

U.A.E. F.S.T.Tanger

Département de Physique

Année universitaire 2019-2020

BCG- P21

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PREAMBULE A LA MECANIQUE DES FLUIDES

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Signification de Mécanique : science qui a pour objet la connaissance des lois du mouvement.

Signification de Fluide : Etymologie : Lat. fluidus, de fluere, couler.

Il est à noter que durant votre apprentissage des sciences physiques et plus précisément en physique, vous avez étudié la mécanique du point matériel et abordé celle du solide.

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Or, la plupart des matériaux présents sur Terre ne sont pas dans un état solide mais plutôt à l'état fluide, sous forme de liquides ou de gaz. Non seulement les substances qui composent l'atmosphère et l'hydrosphère (océans, mers, eaux intérieures) apparaissent dans cet état, mais aussi une bonne partie de l'intérieur de la Terre. Nous vivons immergés au fond d'une grande couche de fluide ( l'atmosphère) et notre planète est recouverte aux 3/4 par un autre fluide (l’eau). L'énergie du soleil génère des changements dans ces fluides, produisant ce que nous appelons le climat et, par exemple, le cycle de l'eau, qui détermine la présence des pluies nécessaires à la vie.

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L'action de respirer est le résultat des propriétés des fluides. À l'intérieur de la planète, il y a aussi des fluides qui se déplacent parfois pendant les éruptions volcaniques, de même, les diverses formations géographiques dépendent de l'existence et de la prévalence de ces courants fluides. Dans notre corps, nous trouvons également la présence de fluides ,l’eau constituant 60% du poids corporel adulte (varie selon le sexe et l'âge) et le sang, ainsi que des gaz présents dans le système respiratoire, aux niveaux intestinal, sinusal et paranasal, et de fluides corporels (liquide céphalo-rachidien, périlymphe, etc.) appelés colloïdes biologiques.

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Pour cette raison, l'étude des pressions et propriétés hydrostatiques et hydrodynamiques est d'une grande valeur dans le cadre de la connaissance tant de la planète que de notre corps.

*Dans cette partie du cours de physique, nous nous proposons d’analyser les caractéristiques fondamentales des fluides au repos et en mouvement à travers des théories, des principes ou des modèles mathématiques les appliquant dans des situations quotidiennes. La mécanique des fluides comprend donc l'étude des fluides en état de repos et en mouvement.

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Vous avez probablement entendu dire que la pression peut tuer un plongeur ou casser un sous-marin, mais pourquoi cela se produit-il? Lorsqu'un corps est à l'intérieur d'un fluide (qu'il soit liquide ou gazeux), il subit des forces sur toute sa surface, ces forces étant toujours perpendiculaires à la surface du corps.

Lorsqu’une force agit sur une surface du corps immergé, alors une pression agit.

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Matière

Solide

Liquide

Gaz

Caractéristiques de ces 3 états:

rigidité et cohésion

Rigidité ?

Cohésion?

capacité à conserver son volume

sous l’effet d’une force.

capacité à conserver sa forme

sous l’effet d’une force.

Un élément de matière sans cohésion est un fluide: le liquide et le gaz

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Dans ce chapitre , nous allons étudier:

- les fluides au repos,

• les fluides en mouvement sans frottement qu’on appelle fluides parfaits ou non visqueux.

• les fluides en mouvement avec frottement qu’on appelle fluides visqueux.

• Les liquides sont pratiquement incompressibles (masse volumique est constante).

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Exemple: Il faut une force de 10⁹ N par m² de surface pour diminuer le volume de l’eau de 5%.

Une masse donnée du fluide n’a pas une forme fixe. Le fluide prend la forme du récipient utilisé.

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Par conséquent, on utilisera les notions de masse volumique et de pression pour l’étude du mouvement ou l’état d’équilibre d’un fluide.

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I- Définition de la pression 

La pression est  la force par unité de

surface agissant Perpendiculairement

à la surface A. (figures à compléter: page 3 du Manuel )

A

A

Dans le S.I, la pression a pour unité le Pascal Pa: 1Pa= 1N/m².

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• P correspond à des N/m² ou J/m³.

Unités de la pression :

• Dans le S.I, l’unité est le Pascal (Pa).
• 1 atm = 1.013 10⁵ Pa
• 1 atm = 760 mm Hg = 1 bar
• 1 torr = 1 mm Hg = 0.133 kPa

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Pression et profondeur

w est le poids

Somme des forces est nulle,

On simplifie par A

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- La pression au fond d’un récipient ne dépend pas de la forme du récipient mais uniquement de la hauteur du liquide.

II - Principe d’Archimède :�

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• La différence de pression entre le haut et le bas d’un objet placé dans un liquide engendre une poussée verticale dirigée vers les pressions décroissantes (de bas vers le haut). Elle est appelée poussée d’Archimède P_A.
• La poussée exercée sur un objet est égale au poids du fluide déplacé : C’est le principe d’Archimède.

P_A = ρ₀ V g

V est le volume du fluide déplacé et ρ₀ la masse volumique de ce fluide.

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III - Ecoulements :

Un fluide peut présenter 2 types principaux d’écoulement :

- écoulement laminaire

- écoulement turbulent

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1- Dans un écoulement laminaire, chaque particule suit alors une trajectoire uniforme qui ne croise celle d’aucune autre particule. Définition ligne de courant

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La vitesse du fluide en un point quelconque est tangente à cette ligne de courant.

2- A partir d’une certaine vitesse, l’écoulement devient turbulent. Ce dernier se caractérise par des lignes de courant qui tourbillonnent et s’entrecroisent.

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On verra par la suite l’équation mathématique qui permet de définir la nature de l’écoulement

( notion de nombre de Reynolds)

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écoulement turbulent

écoulement laminaire

IV- Equation de continuité 

• Considérons un fluide incompressible qui remplit totalement un conduit (un tube ou une artère par exemple).

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• Si une masse supplémentaire pénètre à l’une des 2 extrémités, une masse identique en sort à cause du caractère incompressible du fluide. Ce principe simple est régi par l’équation de continuité et exprime la conservation du débit.

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• Un débit Q à travers une canalisation est défini par  le volume du fluide qui la traverse par unité de temps. Q est en m³/s.

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• L’équation de continuité : Q₁ = Q₂

Q₁ est le débit à l’entrée de la canalisation

Q₂ est le débit à la sortie de la canalisation

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Considérons un tube de section A₁ à l’entrée et supposons que le fluide s’y déplace avec une vitesse moyenne v₁.

Dans l’autre extrémité de section A₂, la vitesse est v₂.

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• Au bout de Δt, le volume du fluide

ΔV₁ = A₁ Δx₁ ou encore ΔV₁ = A₁ v₁ Δt, s’est déplacé à l’entrée d’une distance

Δx₁ = v₁ Δt.

• Le volume du fluide quittant le tube est ΔV₂ = A₂ Δx₂ ou encore ΔV₂ = A₂ v₂ Δt.

Or ΔV₁ = ΔV₂ (ce qui entre=ce qui sort) ou encore Q₁=Q₂, d’où :

A₁ v₁ = A₂ v₂

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• Le débit d’un fluide est égal au produit de sa vitesse par la section du conduit (canalisation, tube, artère,...).

Q = A v

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• Le produit de la section A du conduit par la vitesse du fluide est constant :

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A v = Cte

C’est l’équation de continuité

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V- Théorème de Bernoulli :�

• - Pourquoi les pressions du sang sont différentes au niveau du cerveau, du cœur et des pieds par exemple?
• - Comment l’air circule-t-il dans un terrier?
• - Pourquoi la fumée s’élève-t-elle dans une cheminée?
• - Comment déterminer la hauteur à laquelle l’eau peut monter dans les canalisations d’un immeuble?

Le théorème de Bernoulli nous donne une réponse à ces questions.

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Conditions de validité du th. de Bernoulli:

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• i- Le fluide est incompressible (ρ reste constante).
• ii - Le fluide est dépourvu de frottement ou le fluide est non visqueux ou parfait.
• iii - Le fluide est régulier (régime stationnaire) ou le fluide a une vitesse qui ne change pas au cours du temps.

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Considérons un fluide dans une portion de tube de courant de section droite variable.

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Equation de Bernoulli: démonstration

Considérons un volume V de masse M,

On obtient alors:

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La somme de la pression et de l’énergie mécanique par unité de volume

reste constante tout au long du tube de courant. C’est le théorème de Bernoulli.

Equation à retenir !!!

• 1- Manomètre :

C’est un tube en U contenant un liquide (généralement le mercure Hg) et qui sert à mesurer la pression d’un gaz.

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• Appliquons le théorème de Bernoulli au cas du manomètre à tube ouvert:

P_gaz + [ρ g y₁ ] = P_atm + [ρ g y₂]

P_gaz - P_atm = ρ g ( y₂ - y₁)= ρ g h

La pression du gaz se ramène donc à la mesure de la différence des hauteurs dans le tube en U.

Remarques :

i) P - P_atm est appelée pression de jauge.

ii) le tube en U peut aussi servir à mesurer la pression d’un liquide à condition que ce liquide ne se mélange pas à celui du manomètre.

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2- Expérience de Pascal :

Elle consiste en la mesure de la pression atmosphérique à l’aide d’un baromètre.

- Si on fait l’expérience avec le mercure

(ρ = 13600 kg m^-3), on mesure:

h =0,76m

- Si on réalise cette expérience avec de l’eau (ρ = 1000 kg m^-3 ), on mesure:

h =10,33m

La pression ainsi mesurée est la pression atmosphérique :

P_atm = ρ g h

A.N.:

P_atm =13600 x 9,81 x 0.76 =1,013 10⁵ Pa

P_atm =1000 x 9,81 x 10.33 = 1,013 10⁵ Pa

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3- Rôle de la gravitation dans

la circulation sanguine:

Dans la position debout, les pressions entre le cœur, les pieds et le cerveau sont forts différentes. Ceci reflète les grandes différences de niveau entre ces 3 points.

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• Sachant que les effets de viscosité sont faibles, on peut utiliser le théorème de Bernoulli. En plus, les vitesses de circulation dans ces artères sont petites et sensiblement égales, d’où :

P_cerveau + [ρ g h_cv ]= P_coeur + [ρgh_c] = P_pieds

ρ(sang)= 1060 Kg m^-3.

g = 9.8 ms^-2.

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Exemple pratique :

h_cv = 1.8 m et h_c = 1.3 m

P_pieds - P_coeur = 13.5 kPa et

P_coeur - P_cerveau = 4.1 kPa

Or : P_coeur = 100 mm Hg = 13.3 kPa

d’où : P_cerveau = 62 mm Hg = 8.3 kPa

et P_pieds = 200 mm Hg = 26.6 kPa

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Remarques

• Le cœur fournit, par rapport à la pression externe, une surpression de l’ordre de 13.3 kPa =100 mm Hg. C’est ce qu’on appelle la pression sanguine fournie par le cœur.

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Pour mesurer de façon précise la pression artérielle, le patient doit être en position couchée.

• c) Sous l’effet d’une accélération, le sang est poussé dans le sens de l’accélération et va s’accumuler dans certains organes, par exemple les membres inférieurs en position assise ou debout. En effet:

Appliquons le théorème de Bernoulli à une personne en présence d’une accélération a vers le haut ( dans une fusée, un siège éjectable…):

P_cerveau + [ρ (g+a) h_cv ] = P_coeur + [ρ (g+a) h_c]

P_cerveau = P_coeur + [ρ (g+a) (h_cv- h_c) ]

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4- Tube de Venturi :

C’est un tube qui présente un rétrécissement (ou étranglement ou goulot).

- Cas d’un tube de Venturi horizontal :

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Définition d’une sténose:

C’est un rétrécissement du calibre d'un vaisseau sanguin, et qui provoque une chute du débit sanguin en aval.

Définition d’un anévrisme:

C’est une dilatation d'un vaisseau sanguin. Un anévrisme est susceptible de se rompre, ce qui peut être à l'origine d'une hémorragie interne parfois fatale.

• L’équation de continuité nous donne :

A₁v₁ = A₂v₂

Si A₁> A₂, alors v₂ > v₁.

En vertu du théorème de Bernoulli, la pression doit chuter à l’endroit de l’étranglement, la chute de pression étant fonction de la vitesse d’écoulement. En pratique, sa mesure est réalisée au moyen d’étroites colonnes insérées dans le tube.

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• Le théorème de Bernoulli donne (pour une même hauteur) :

P₁ + ρ = P₂ + ρ

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Or : v₂ = (A₁ /A₂) v₁ et donc:

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La mesure de P₁ - P₂ et la connaissance des aires A₁ et A₂ permettent de déterminer v₁, et par suite v₂.

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Fluides visqueux

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1- L’eau, l’huile et le miel coulent différemment: l’eau coule vite mais avec des tourbillons, alors que le miel coule lentement mais de façon régulière.

VI- Fluides visqueux

2- La pression d’un fluide réel diminue tout au long d’un conduit dans lequel il s’écoule, même s’il est horizontal et de section uniforme.

Observations expérimentales:

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Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquels elles s’exercent.

Les frottements qui s’opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres sont à l’origine de la viscosité.

Chaque fluide a sa viscosité.

Conclusions:

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1- VISCOSITE

Sous l’effet des forces d’interaction entre les molécules du fluide et des forces d’interactions entre les molécules de fluide et celles de la paroi, les molécules du fluide ne s’écoulent pas à la même vitesse.

On dit qu’on a un profil parabolique de vitesses.

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Dans la suite, on prendra une vitesse moyenne de ces différentes couches.

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L’expérience montre aussi que la vitesse moyenne v_moy du fluide dans le conduit est égale à la moitié de la vitesse maximale. L’équation de continuité peut alors s’écrire :

Q = A v_moy = A v_max/2

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Définition de la viscosité

• Considérons 2 couches de fluide (qui se touchent) et distantes de Δz.

La force F qui s’exerce à la surface de séparation de ces 2 couches s’oppose au glissement d’une couche sur l’autre.

• F est proportionnelle à:

- la différence de vitesse des couches soit ΔV,

- la surface de la section A (ou S)

- inversement proportionnelle à Δz.

• Le coefficient de proportionnalité noté η est appelé viscosité du fluide.

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Δv= v(couche supérieure) – v (couche inférieure)

Si v (couche inférieure) = 0, alors Δv= v et

couche fixe

couche mobile

Gradient de vitesse

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Dans le système international, la viscosité s’exprime en Poiseuille (Pl).

1 Pl = 1 Pa.s = 1 kg m^-1 s^-1.

Pour les liquides, η baisse quand la température augmente.

- η (eau à 100°C) = 0.284 10^-3 Pa.s ,

η (eau à 37°C) = 0.6947 10^-3 Pa.s 

- η (sang à 37°C) =2.084 10^-3 Pa.s ,

η (sang à 20°C) = 3.015 10^-3 Pa.s

- η (air à 20°C) = 1.730 10^-5 Pa.s

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2- LOI DE POISEUILLE

• Ecoulement d’un liquide dans une conduite horizontale :

un fluide s’écoule dans une conduite horizontale de section constante avec un débit déterminé, à l’aide d’un robinet par exemple.

Des colonnes verticales placées régulièrement sur la conduite repèrent les pressions à différentes abscisses.

1- Si le liquide était parfait, on observerait une hauteur de liquide constante dans les colonnes manométriques comme pour un fluide au repos en accord avec le théorème de Bernoulli.

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2- Mais pour un liquide réel, on observe une diminution régulière de la pression tout au long de la conduite. On a alors une chute de pression.

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• Loi de Poiseuille :

Soit un écoulement laminaire, dans une conduite cylindrique horizontale.

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• On montre que le débit d’un fluide est donné par :

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C’est la loi de Poiseuille.

Q : débit en m³/s et ΔP = P₁ – P₂ en Pa

: longueur de la conduite en m

R : rayon intérieur de la conduite en m

η : viscosité du fluide en Pa.s ou Pl

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• On voit qu’une viscosité importante conduit à un débit faible. Alors qu’une faible variation du rayon des vaisseaux entraîne une forte variation du débit.

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Exemple :

Quand le rayon d’un vaisseau sanguin augmente de 19% (R devient 1.19 R), le débit du sang est multiplié par 2.

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3- Dissipation de l’énergie :�

• La résultante des forces appliquées à une tranche de fluide dans un tube de section constante est égale à :

F= ( F₁ - F₂) = (P₁ - P₂) A

où P₁ est la pression à l’entrée du tube, P₂ est la pression à la sortie et A la section du tube.

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• La puissance moyenne nécessaire pour maintenir le régime permanent de l’écoulement est :

P_moy = F v_moy = (P₁ - P₂) A v_moy

⇔ P _moy = (P₁ - P₂) Q

Si l’écoulement se fait dans un tube cylindrique: A=π R²

Alors :

P_moy = (P₁ - P₂) v_moy π R²

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4 - NOMBRE DE REYNOLDS :

Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l’écoulement d’un liquide dans une conduite rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l’existence de 2 régimes d’écoulement : laminaire et turbulent.

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• En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le rayon de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l’écoulement était laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et il est donné par :

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ρ est la masse volumique du fluide, V_moy sa vitesse et η sa viscosité. R est le rayon de la canalisation.

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• L’expérience montre que :
• Si N_R < 2000 : l’écoulement est laminaire.
• Si 2000< N_R < 3000 : l’écoulement est intermédiaire.
• Si N_R > 3000 : l’écoulement est turbulent.

Ces valeurs doivent être prises comme des ordres de grandeur.

Le passage d’un régime à un autre se fait de manière progressive.

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Remarques :�

• a- Le type d’écoulement est déterminé par une combinaison particulière de variables. Par exemple, la nature de l’écoulement ne changera pas si on double le rayon du tube tout en diminuant de moitié la vitesse du fluide.
• b- Dans l’écoulement turbulent, l’énergie est dissipée sous forme sonore (bruit) ou de chaleur.
• c- On parle de chute de pression ou encore de pertes de charge.

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5- Résistance à l’écoulement :�

La résistance à l’écoulement R_f (laminaire ou non) appelée en physiologie la résistance vasculaire est définie par le rapport de la perte de charge ΔP au débit Q :

Dans le cas d’un écoulement laminaire dans un tube de rayon R et de longueur , on a :

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