Unidad 3.2 : Distribuciones de probabilidad discretas

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

En este caso, la V.A.D toma cada valor de su rango con la misma probabilidad.

Si X tiene k valores

f (x , k) = 1/k para x= x₁ , x₂ ….x_k

Si tenemos cuatro proveedores de cemento y cada uno nos vende el 25 %

f( x, 4) = 1/4

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Media y Varianza

Aplicación

Tenemos cuatro proveedores de un tipo específico de válvulas. A los 4 les compramos exactamente la misma cantidad de válvulas, es decir 1/4

A los proveedores los identificamos como A, B , C y D.

Si falla una válvula:

a) cual es la probabilidad de que la haya provisto A?

b)Cual es la probabilidad de que la hayan provisto A o C? P(AυC)= P(A) + P(B)= 1/2

c) Cual es la probabilidad de que la haya provisto B Y D? P(B∩D)= 0

Distribución binomial

Un experimento a menudo consiste en pruebas repetidas, cada una con dos resultados posibles, que se pueden etiquetar como éxito o fracaso

Distribución binomial

En Ingeniería de Control de Calidad, encontramos ejemplos de esta distribución, cuando por ejemplo extraemos elementos de una línea de producción y los clasificamos como defectuosos o no defectuosos.

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Distribución binomial

Si cada elemento es independiente del otro, podemos considerar que la probabilidad de encontrar un éxito se mantiene constante a lo largo del experimento.

Lo mismo se genera, cuando extraemos elementos de una caja o de un depósito con reemplazo

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El proceso descripto se denomina Proceso de Bernoulli

Características:

1. El experimento consiste en n pruebas que se repiten.
2. Cada prueba produce un resultado que puede clasificarse como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de un éxito, que se denota como p, permanece constante en cada prueba.
4. Las pruebas son independientes

Distribución Binomial

Definición: el número X de éxitos en n experimentos Bernoulli, se denomina variable aleatoria binomial .

La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria discreta se llama distribución binomial y sus valores se denotarán como b ( x , n , p )

Parámetros: n y p

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Fórmula para la distribución de probabilidad

Paramétros y Rango de X

Rango de X: 0 ≤ x hasta n

Parámetros: n y p

Cálculo de las combinaciones

Media y varianza de la distribución binomial

Sesgo

• Si p=0,5; la distribución binomial es simétrica.
• Si p ˂ 0,5 ; la distribución binomial es sesgada a la derecha
• Si p ˃ 0,5; la distribución es sesgada a la izquierda

Aplicación

Se sabe que el 10 % del cemento puzolánico producido por una empresa no cumple con los requerimientos de resistencia a la compresión requeridos para cementar pozos de shale oil. Se extrae una muestra de 15 bolsas de una línea de producción,

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Aplicación�

1. Cual es la probabilidad de encontrar mas de 3 bolsas que no cumplan con los requerimientos?
2. Cual es la probabilidad de encontrar menos de cinco?
3. Cual es la probabilidad de encontrar exactamente 4 bolsas fuera de especificación?

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Aplicación

X:cantidad de bolsas defectuosas en la muestra de 15

X sigue una distribución binomial con parámetros n=15 y p=0,1

a)P(x˃3)= f(4) +f(5)……..+f(15)= P(x≥4)=

1 - P(x≤ 3)= 1-F(3)

1 - 0,9444=0,05556

Aplicación

b)P(x˂5)= P(x≤4)= f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = F(4) = 0,9873

c) P(x=4)= F(4)-F(3)= f(4)

d) P(2 ≤ x ≤ 7)= f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) +

f(7)= F(7) – F(1)=0,99997-0,54904= 0,45093

e) P(2˂ x ≤ 7)= F(7)- F(2)= f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)

F(7)= 0,1,2,3,4,5,6,7 0,99994-0,8159= 0,18404

F(2)= 0,1,2

F(1)= 0,1

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Aplicación

Probabily Distributions

Binomial f(x) F(x)

Poisson f(x) F(x)

Normal

Chi cuadrado

t

f

Experimentos multinomiales

Supongamos que cada prueba que se realiza tiene más de dos resultados posibles. Por ejemplo: los defectos que presenta un embase de conservas se clasifican como leves, medios y graves

Distribución Multinomial

Distribución multinomial

Aplicación

n=20 Pruebas independientes

x1= 15( sin defectos) p1= 0,7

x2= 3 (defectos leves) p2= 0,2

x3=1 (defectos moderados p3= 0,07

x4= 1 (defectos graves) p4= 0,03

Distribución Hipergeométrica

La distribución hipergeométrica es muy parecida a la distribución binomial.

La diferencia radica en que las pruebas que se realizan no son independientes entre si, es decir que el resultado de una prueba influye en el siguiente.

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Distribución Hipergeométrica

En el caso del muestreo para controlar un proceso o para realizar muestreo para aceptación de alguna materia prima o insumo, se realiza sin reemplazo.

También cuando el ensayo es destructivo.

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Experimento hipergeométrico

Posee dos características:

1. Se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de una población de tamaño N artículos.
2. En la población se conoce la cantidad de éxitos que hay y se simbolizan como k.

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Variable aleatoria hipergeométrica

Definición: El número X de éxitos de un experimento hipergeométrico se denomina variable aleatoria hipergeométrica.

En consecuencia, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica se llama distribución hipergeométrica y sus valores se denotan como

h(x ; N ,n , k)

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Función masa de probabilidad

Parámetros y rango de la variable aleatoria

• Parámetros: N, k , n
• Rango: 0 ≤ x ≤ n
• k= p.N

Aproximación de la hipergeométrica por la binomial

Una variable aleatoria hipergeométrica se puede aproximar por la distribución binomial cuando se cumple la siguiente condición:

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1. n/N ˂ 0,1 o sea la muestra tiene que ser menor que el 10% de la población

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Aplicación

Un fabricante de computadoras sabe que el 6 % de las mismas salen de la línea de producción con algún defecto.

Las maquinas son enviadas en contenedores de 50 computadoras y el comprador extrae dos sin reemplazo y si halla una o dos defectuosas, rechaza todo el contenedor. Calcule la probabilidad de que un contenedor sea rechazado

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Aplicación

Conclusión

• La probabilidad de que el contenedor sea rechazado es de 0,1175
• De cada 100 contenedores, le rechazaran entre 11 y 12.

Distribución binomial negativa

Función masa de probabilidad

Rango de X

k ≤ x ≤ ∞

Ejemplo

Supongamos que se extraen elementos de una línea de producción y se los clasifica como defectuosos o no defectuosos. Si el proceso opera con el 1 % de artículos defectuosos ¿cuál es la probabilidad de que el quinto artículo inspeccionado sea el segundo defectuoso que se encuentra?

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Ejemplo

Distribución geométrica

La distribución geométrica es un caso especial de la distribución binomial negativa donde k=1. Un ejemplo sencillo es el experimento de tirar un dado hasta que salga por primera vez un cinco.

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Media y varianza

Ejemplo

La probabilidad de que la calibración de un instrumento electrónico cumpla con las especificaciones del sistema de medición es 0,6. Suponga que los intentos de calibración son independientes

a) Cual es la probabilidad que en el intento número tres se alcancen a satisfacer las especificaciones del sistema de medición?

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Ejemplo

Aplicación

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra antes del quinto intento?

P(x˂5)= P(x≤4)= F(4)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,6+ 0,4*0,6 + 0,4*0,4*0,6* + 0,4³. 0,6= 0,9744

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra después del cuarto intento?

P(x˃4)= 1- P(x≤4)= 1-0,9744= 0,0256

Distribución de Poisson

Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X, cuyo rango es el número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una región especifica, se llaman experimentos de Poisson.

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Por ejemplo, la cantidad de defectos por m² en una superficie pintada electrolíticamente, la cantidad de accidentes en una esquina por mes, la cantidad de pedidos de service en una ciudad de 100000 habitantes

Propiedades del proceso de Poisson

1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región especifica es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo.

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Propiedades del proceso de Poisson�

2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

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Propiedades del proceso de Poisson

3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

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Variable aleatoria Poisson y Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

Parámetro y rango de X

El único parámetro de la distribución es la media o sea landa.

El rango de x va de 0 a infinito

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Función masa de probabilidad

Media y varianza

La media y varianza de la distribución de Poisson tienen el valor λ

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Ejemplo

El número de baches en una carretera de la Argentina que requieren reparación urgente , puede modelarse con una distribución Poisson que tiene una media de 3 baches por km.

a)¿ Cual es la probabilidad de encontrar 5 baches en un km?

b) ¿Cual es la probabilidad de encontrar 3 baches en dos km?

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Aplicación

X: cantidad de baches a reparar en una ruta del sur de Argentina

X sigue una distribución de Poisson con λ= 3 baches/km

a) P(x=5)= 0,10082

b) λ= 6 baches /2 km( 3 baches/ por km*2)

P(x=3)=0,08924

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Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de encontrar más de cuatro baches en un km?

P(x˃4)= 1-P(x≤4)= 1 – F(4)= 0,18474

¿ Cual es la probabilidad de encontrar menos de cinco baches en un tramo de dos km? λ= 6 baches /2 km( 3 baches/ por km*2)

P(x˂5)= F(4)=con landa = 6= 0,28506

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Aproximación de la distribución Binomial por la distribución Poisson

Condiciones para una buena aproximación

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n ≥ 30

p ≤ 0,05

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Aplicación

En un proceso de fabricación continuo, se obtiene una muestra de 200 elementos para verificar la calidad del mismo. Suponga que el proceso opera con el 2% de elementos defectuosos, ¿cual es la probabilidad de encontrar en la muestra entre 3 y 7 (inclusive) elementos defectuosos?

Aplicación

• X: cantidad de elementos defectuosos en la muestra de 200
• X sigue una distribución binomial con parámetros n=200 y p=0,02

p=0,02

λ = n*p= 200*0,02=4

P(3 ≤ x ≤ 7)= F(7)- F(2)= 0,9489 – 0,2381= 0,7108

Desigualdad de Chebichev

Para cualquier variable aleatoria X con media µ y desviación estándar σ, se cumple que

P( µ - kσ ≤ X ≤ µ + kσ) ≥ 1- (1/k²)

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Donde k es una constante mayor que 1

Nótese que para calcular probabilidades no hace falta conocer la f(x)

Aplicación

El espesor de la película fotoprotectora en un proceso de fabricación de semiconductores tiene una media de 10micrómetros y una deviación estándar de 1 micrómetro. Calcule la probabilidad de que el espesor sea mayor que 6 y menor que 14 micrómetros.

Calculamos k

µ + kσ= 14 ; 10 + k*1=14 ; k=4

P( 6 ≤ X ≤ 14) ≥ 1- (1/k²)≥ 0,9375

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Aplicación

X: cantidad de fallas debido al aperador en tuberías de plantas químicas

X sigue una distribución binomial con n= 20 y p=0,3

a)P(x≥ 10)= 1- P(x ≤ 9)= 1- F(9)= 1- 0,9520= 0,048

b)P(x≤ 4)= F(4)= 0,2375

c) E(X)= n*p= 20*0,3= 6

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