Cylindriques
Khayar-marrakh
Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.
Khayar-marrakh
Pré requis :
Objectifs :
Au terme de ce travail le participant doit être capable de :
une symétrie cylindrique.
Coordonnées cylindriques
Khayar-marrakh
On trace les axes du repère et on projette M sur le plan Oxy.
Oui, le point m est parfaitement repéré,
Réponse :
si on connait la distance Om = ρ
et l’angle ϕ.
Peut on repérer le point m par de nouvelles coordonnées ?
Coordonnées | Domaine de variation |
|
|
| |
| |
Ainsi, M est repéré par les coordonnées x, y et z.
Utilisons d’abord le système cartésien.
Question :
ρ = Om ] 0 , + ∞ [
Khayar-marrakh
ϕ
ρ
y
x
z
O
ϕ
x
y
z
( , , )
ρ
y
x
z
Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées ρ , ϕ et z.
Ces coordonnées sont appelées coordonnées cylindriques.
Voici un point M dans l’espace.
ϕ = ( Ox+, Om) [ 0 , 2π [
〈
z = mM ] -∞ , + ∞ [
Ox+ le demi-axe positif
(origine des phases)
🖰
Comment le repérer ?
Origine : le point O
M
m
Khayar-marrakh
ρ
y
x
z
O
ϕ
M
m
x
ρ
ϕ
x
m'
y
m
m'
x
ρ
O
ϕ
Dans ce triangle on a :
y
Soient les coordonnées ( x , y )
et ( ρ , ϕ ) du point m.
Considérons le triangle rectangle Om' m.
Objectif : On cherche à exprimer x et y en fonction
de ρ et ϕ.
f ( ρ , ϕ )
g ( ρ , ϕ )
Expressions de ρ et ϕ en fonction de x et y.
Surfaces de Coordonnées
Deuxième surface de coordonnée
ϕ = ϕ o ( ρ et z varient respectivement de 0 à + ∞ et de – ∞ à + ∞ )
Troisième surface de coordonnée
z = zo ( ρ et ϕ varient respectivement de 0 à + ∞ et de 0 à 2π )
Première surface de coordonnée
ρ = ρo ( ϕ et z varient respectivement de 0 à 2π et de – ∞ à + ∞ )
Définition :
Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante.
Khayar-marrakh
Le point M décrit un cercle de centre O et de rayon ρo.
Réponse :
Les cercles sont au dessus du plan Oxy.
Si on fixe ρ ( ρ = ρο )
Lorsque on fait varier z de façon continue…
Khayar-marrakh
O
z
y
x
ϕ
M
m
ρ
ρ0
Soit M un point de coordonnées ρ , ϕ et z.
Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier ϕ et z ?
[ 0,2π [
] -∞,+∞ [
M
Pour z = 0 : ( M ≡ m )
Lorsque on fait varier ϕ de 0 à 2π…
Pour z > 0 :
Pour z < 0 :
Les cercles sont au dessous du plan Oxy.
Pour z quelconque :
Première surface de coordonnée ρ = ρo
L’ensemble des cercles forme un cylindre indéfini.
Question :
Conclusion :
🙙 C’est la raison pour laquelle ce système est appelé système de coordonnées cylindriques 🙛
La première surface de coordonnée décrite par le point M est un cylindre de
révolution d’axe Oz et de rayon ρo.
Pour z = 0 : ( M ≡ m )
Le point M décrit, à partir de l’origine O, une demi-droite, dans le plan Oxy, faisant un angle ϕo avec l’axe Ox+.
Si on fixe ϕ ( ϕ = ϕo )
Pour z quelconque :
Khayar-marrakh
Réponse :
Les demi-droites sont au-dessous du plan Oxy
L’ensemble des demi-droites forme un demi- plan ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle ϕο avec l’axe Ox+.
Les demi-droites sont au-dessus du plan Oxy
z
x
ρ
Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on fait varier ρ et z ?
] 0 , +∞ [
] -∞ , + ∞ [
Lorsque on fait varier uniquement ρ de 0
Si on fait varier z de façon continue …
Question :
Pour z > 0 :
z
Pour z < 0 :
M
m
ϕο
ϕ
o
y
à + ∞ …
Conclusion :
La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) faisant un angle ϕο avec l’axe Ox+.
Deuxième surface de coordonnée ϕ = ϕo
Pour d’autres valeurs de ρ ,
Le point M décrit un cercle de centre O′ et de rayon ρ .
on obtient un ensemble de cercles de centre O′ .
] 0 , + ∞ [
Quelle est la surface décrite par le point M lorsque on varie ϕ et ρ ? 🖰.
L’ensemble de cercles de centre O′ forme un disque de rayon infini
Khayar-marrakh
Si on fixe z ( z = zo ) 🖰
[ 0 , 2π [
Question :
Réponse :
O
z
y
x
ϕ
ρ
M
m
ρ
Z 0
O′
Z o
Troisième surface de coordonnée z = zo
Lorsque on fait varier ϕ de 0 à 2π …
plan de cote zo .
Maintenant, si on fait varier ρ de façon continue …
Conclusion :
La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est
un plan perpendiculaire à l’axe Oz.
Khayar-marrakh
Axes de Coordonnées
Axe des ϕ
ρ = ρo et z = zo
Axe des z
ρ = ρο et ϕ = ϕo
Axe des ρ
z = zo et ϕ = ϕo
Définition :
Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième.
Khayar-marrakh
O
zo
y
z
x
Axe des ρ
Z = Zo
ϕ = ϕo
et
Leur intersection donne
l’axe des ρ
ϕo
ρ
Conclusion :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo et du demi-plan ϕo, forme une demi-droite perpendiculaire à l’axe Oz. Cette demi-droite, ayant son origine sur Oz, est appelée axe des ρ .
On trace les deux surfaces de coordonnées:
Khayar-marrakh
ρο
x
y
z
o
ϕ
ρo
Zo
Axe des ϕ
Z = Zo
ρ = ρo
et
Leur intersection donne
l’axe des ϕ
On trace les deux surfaces de coordonnées:
Conclusion :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du plan, de cote zo, et du cylindre de rayon ρo; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des ϕ.
Khayar-marrakh
Axe des z
ρ = ρo
ϕ = ϕo
et
Leur intersection donne
l’axe des z
Conclusion :
x
y
z
o
On trace les deux surfaces de coordonnées :
L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cylindre, de rayon ρo, et du demi-plan ϕo, forme une droite perpendiculaire aux plans Oxy. Cette droite est appelée axe des z.
ρο
ϕο
z
Khayar-marrakh
Conclusion :
sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes
des ρ, des ϕ et des z dirigés dans le sens croissant des variables ρ, ϕ et z .
ρ
O’
z
ez
ϕ
O
z
y
x
ρ
O′
Vecteurs unitaires
ρ
ϕ
z
eϕ
eρ
M
Traçons à partir du point M les trois axes de coordonnées.
A partir de M on trace les vecteurs unitaires.
z
ez
eϕ
Axes vecteurs unitaires
et changent de direction et de sens, suivant la position du point
M dans l’espace.
eρ
M'
Pour un autre point M'
porté par l’axe des ρ , dans le sens croissant de la variable ρ.
tangent à l’axe des ϕ , dans le sens croissant de la variable ϕ.
Porté par l’axe des z , dans le sens croissant de la variable z.
Khayar-marrakh
x
y
O
ex
ey
eϕ
eρ
m
ϕ
O
z
y
x
Expressions de , et dans le système cartésien
ρ
z
ez
ex
ey
eρ
ez
eϕ
Dans le plan Oxy on a la configuration suivante :
eϕ
eρ
ϕ
m
ϕ
ϕ
ϕ
Réalisons une vue de dessus.
Objectif:On cherche à exprimer , et dans le système cartésien.
eρ
eϕ
ez
Ces deux vecteurs unitaires sont identiques dans les deux systèmes de coordonnées
eρ
ϕ
eϕ
M
ez
Le déplacement élémentaire est le résultat de trois déplacements :
MM′
N.B. : M′ est infiniment voisin de M.
Quelle est l’expression du vecteur déplacement élémentaire
dans ce système de coordonnées ?
dl = MM′
Khayar-marrakh
z
Troisième déplacement suivant l’axe des
ρ
Deuxième déplacement suivant l’axe des
z
dϕ
ρ
O
z
y
x
ρ
Déplacement élémentaire
Soient M et M′ deux points de l’espace.
ϕ
Premier déplacement suivant l’axe des
de M vers M1
MM1 =
ϕ
O'
M1
M2
dρ
dz
ρdϕ
Question :
Réponse :
de M1 vers M2
M1 M2 =
de M2 vers M′
M2 M′ =
MM′ = MM1 + M1 M2 + M2 M′
ρ dϕ
dρ
dz
MM1 =
M1 M2 =
M2 M′ =
ρ dϕ
dρ
dz
MM′ = M1M2 + MM1 + M2 M′
ou encore :
ρ + d ρ
M
z
ρ
ϕ
M′
M2
M’
z
ρ + dρ
ϕ + dϕ
z + dz
ρ + dρ
ϕ + dϕ
M
M1
z
ρ
ϕ
z
ρ
ϕ + dϕ
M1
M2
z
ρ
ϕ + dϕ
z
ρ + dρ
ϕ + dϕ
ϕ + d ϕ
z + dz
M
M′
suivi d’un autre suivant
l’axe des z ,
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des ϕ ,
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
Khayar-marrakh
x
y
z
O
ρ
dϕ
Surfaces élémentaires
ρ = constante
ρ d ϕ
Un déplacement élémentaire MM’ sur la surface latérale du cylindre ρ =constante définit un élément de surface
d z
dS
=
Λ
ρ dϕ dz
=
On se trouve sur la surface latérale du cylindre de rayon ρ
dS
M
M'
dS
A retenir :
dS = ρ dϕ dz
on obtient l’élément de surface
Un déplacement élémentaire MM’ sur le plan z = constante définit un élément de surface
ρ
ϕ
Si nous effectuons un déplacement
élémentaire suivant l’axe des ϕ,
Khayar-marrakh
x
y
z
O
z = constante
On se trouve sur un plan parallèle au plan Oxy de cote z.
dρ
dϕ
ρ
suivi d’un autre le long de l’axe des ρ,
dS
A retenir :
dS = ρ dρ dϕ
Λ
ρ dρ dϕ
=
dS
=
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
dS
dϕ
ρ
on obtient l’élément
z
M'
M
Si nous effectuons un déplacement élémentaire suivant l’axe des ρ ,
suivi d’un autre suivant l’axe des z ,
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
Khayar-marrakh
Un déplacement élémentaire M M', sur la surface ϕ = constante, définit un élément de surface .
dρ dz
=
ϕ = constante
On se trouve sur le
demi-plan ϕ.
dS
=
Λ
dρ
dz
A retenir :
dS = dρ dz
ϕ
M
M'
z
O
x
y
ρ
z
dS
dS
on obtient un élément de surface
ϕ
Khayar-marrakh
=
ρ dρ dϕ dz
dϕ
z
O
z
y
x
Volume élémentaire
M'
Soient M et M' deux points de l’espace.
dϕ
ρ
O’
dρ
dz
N.B. : M' est infiniment voisin de M.
M
Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dτ.
Λ
dτ
=
(
)
Traçons d’abord les axes de coordonnées
et effectuons des déplacements élémentaires le long de ces axes.
On obtient le volume élémentaire dτ
dτ
Surface de la base
A retenir :
dτ = ρ dρ dϕ dz
ρdϕ