История тригонометрии

Выполнил Синус Косинусов

в рамках проекта

"С тригонометрией по жизни"

Гипотеза

Я надеюсь узнать об истории тригонометрии неизвестные мне факты.

Тригонометрия

Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса.

Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников.

Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Некоторые тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции.

Греческий астроном Гиппарх во II веке до н.э. составил таблицу числовых значений хорд в зависимости от величин стягиваемых ими дуг.

Клавдий Птолемей

Птолемей делил окружность на 360°, а диаметр на 120 частей.

И записывал на основании теоремы

Пифагора:

, что соответствует современной формуле

Птолемей

Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а по существу тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. В работах великих математиков Древней Греции Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского.

Евклид

Архимед

Аполлоний Пергский

В римский период эти отношения уже достаточно

систематично исследовались

Менелаем (I в. н.э.), хотя и не приобрели специального названия. Современный синус угла , например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной ,или как хорда удвоенной дуги.

Развитие тригонометрии в странах Средней Азии , Ближнего Востока, Закавказья(VII-XV в.)

Развиваясь в тесной связи с астрономией и географией,- среднеазиатская математика имела ярко выраженный «вычислительный характер» и была направлена на разрешение прикладных задач измерительной геометрии и тригонометрии. Из числа сделанных ими важнейших успехов следует в первую очередь отметить введение всех шести тригонометрических линий: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, из которых лишь первые две были известны грекам и индийцам.

Тригонометрия отделяется от астрономии и становится самостоятельной наукой (Х III в.)

В трудах среднеазиатских ученых

тригонометрия превратилась

из науки, обслуживающей

астрономию, в особую

математическую дисциплину,

представляющую самостоятельный

интерес.

Это отделение обычно

связывают с именем

азербайджанского математика

Насирэддина Туси (1201-1274).

Дальнейшее развитие учение тригонометрических величинах получило в IX - XV в.в. в странах Среднего и Ближнего Востока в трудах ряда математиков.

В «Трактате о полном

четырехстороннике»

впервые изложил

тригонометрические

сведения как

самостоятельный

отдел математики, а не

придаток в астрономии.

Насирэддин Туси

Значительные высоты достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов. Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые в современной форме выражается как:

sin a + cos a = 1,

sin a = cos (90 - a)

sin (a + b) = sin a. cos B + cos a. sin b

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты. Отрезок CB он назвал ардхаджива (ардха –половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в веке оно было заменено латинским синус (sinus –изгиб, кривизна). Известный Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми (IX в.) составил таблицы синусов и котангенсов. Ал-Хабаш вычислил таблицы для тангенса, котангенса и косеканса..

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических

величинах получило в IX - XV в.в. в странах Среднего

и Ближнего Востока в трудах ряда математиков.

Составил таблицы

синусов и котангенсов.

Аль-Хорезми

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических

величинах получило в IX - XV в.в. в странах Среднего

и Ближнего Востока в трудах ряда математиков.

Дальнейшее развитие учение о тригонометрических

величинах получило в IX - XV в.в. в странах Среднего

и Ближнего Востока в трудах ряда математиков.

Аль Каши

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cosa=sin(90°-a) и sin2a+cos2a=r2, а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

Тангенсы возникли в связи с

решением задач об

определении длины тени.

Тангенс (а также котангенс,

секанс и косеканс) введен в Хв.

Арабским математиком Абу-л-

Вафои. который составил

первые таблицы для

нахождения тангенсов и

котангенсов. Однако эти

открытия долгое время

оставались неизвестными,

европейским ученым, и

тангенсы были заново

открыты в XIV в.

Региомонтан

Региомонтан

Сначала английским

ученым Т. Бравердином,

позднее немецким

математиком,

астрономом

Региомонтаном е 1467 г.

Название «тангенс»,

происходящее от tanger

(касаться), появилось в

1583 г. Tangens

переводится как

«касающийся».

Позже тригонометрия

начала широко изучаться в Европе

Швейцарский математик

Иоганн Бернулли

(1642-1727)

уже применял символы

обратных тригонометрических функций.

Но общепринятыми эти

символы стали лишь в

конце XVIII столетия.

Приставка «арн»

происходит от

латинского arcus (дуга),

что вполне согласуется

со смыслом понятия:

arcsin х, например,' это

угол (а можно сказать, и

дуга), синус которого

равен х.

Жозеф Лагранж

Иоганн Бернулли

В XVII - XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа. Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов.

Применял символы тригонометрических функций. Из физики известно, что уравнение гармоничоского колебания (например, колебания маятника)

имеет вид:

График гармонических колебаний

называется синусоидой, поэтому в

физике и технике сами гармонические колебание часто называют синусоидальными колебаниями.

Иоганн Бернулли

Якоб Бернулли

Якоб Бернулли, совместно с братом

Иоганном, положил начало

вариационному исчислению.

Они доказал в 1713г.

так называемую теорему Бернулли -

важный частный случай закона

больших чисел.

Тригонометрия:

1) плоская - изучает только плоские треугольники

2) сферическая – изучает только сферические треугольники

3) прямолинейная – не входит в школьную программу.

Плоская тригонометрия начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы ее встречались и раньше, так например 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (III в. до н. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская тригонометрия получила развитие у аль-Баттани (2-я половина IX – начало Xв.), Абу-ль-Вефа, Бхскала и Насиреддина Туси, которым была уже известна теорема синусов.

Тригонометрия, занимающаяся сферическими треугольниками, называется сферической, также она рассматривает соотношения между сторонами и углами треугольников на сфере, образованных дугами больших кругов. В работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Франсуа Виет

Франсуа Виет дополнил и систематизировал различные случаи решения плоских и сферических треугольников, открыл формулы для тригонометрических функций от кратных углов.

Жан Фурье

Доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебании.

Окончательный вид тригонометрия приобрела в XVIII веке в трудах Л. Эйлера.

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер

Трактует синус, косинус и т.д. не как тригонометрические линии, обязательно связанные с окружностью, а как тригонометрические функции, которые рассматриваются как отношение сторон

прямоугольного треугольника, как числовые величины.

«Введение в анализ бесконечных» 1748 г.

Исключил из своих формул R - целый синус, принимая

R = 1, и упростил таким образом записи и вычисления.

Содействовал

развитию

аналитической

теории

тригонометрических

функций.

В XIX веке продолжил

развитие теории

тригонометрических

функций.

Исаак Ньютон

Н.И.Лобачевский

Н.И.Лобачевский

« Геометрические рассмотрения ,- пишет

Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале

тригонометрии, покуда они не послужат к

открытию отличительного свойства

тригонометрических функций... Отсюда

делается тригонометрия совершенно

независимой от геометрии и имеет все

достоинства анализа».

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

Интернет - ресурсы

История тригонометрии - Google Slides