II региональная методическая конференция �«Актуальные проблемы обучения математике �для учителей образовательных организаций»
Решение неравенств методом интервалов
Матвеева Е.А., методист МБУ города Костромы «Городской центр обеспечения качества»,
учитель математики МБОУ СОШ № 24
Линии УМК по алгебре
(базовый уровень),
используемые в образовательных организациях города Костромы
Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.
Линия УМК А.Г. Мерзляк�(когда сделаны уроки)
(х - 2)(х + 3)(х-1) > 0
Числа -3, 1 и 2 являются нулями функции
f(x) = (х - 2)(х + 3)(х-1)
x
-3
1
2
+
+
-
-
Линия УМК А.Г. Мерзляк
Область ее определения все действительные числа, кроме -3 и 1.
-0,5 – ноль функции.
Если х < -3 , то f(x)>0; при -3<x<-0,5 f(x)<0;
если -0,5<x<1, то f(x)<0 если x>1, то f(x) >0.
-3
-0,5
1
+
+
-
-
x
-3
-0,5
1
+
+
-
-
x
Линия УМК Ю.Н.Макарычев
x
-4
0
0,5
+
+
-
-
f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
х1, х2 ,…, хn – неравные друг другу нули функции.
В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак меняется.
Решить неравенство: x(0,5-x)(x+4)<0,
-x(х-0,5)(x+4)<0,
x(х-0,5)(x+4)>0.
Отметим на координатной прямой нули функции f(x)= x(x-0,5)(x+4): -4, 0 и 0,5.
В правом крайнем промежутке поставим знак «+». Двигаясь по координатной прямой справа налево, расставляем знаки функции, используя свойство чередования.
Линия УМК Ю.Н.Макарычев
Данное неравенство равносильно неравенству:
(7-х)(х+2)<0
Данное неравенство равносильно системе:
Линия УМК А.Г. Мордкович
Решить неравенство: (x-1)(х+1)(x-2)>0,
Рассмотрим выражение f(x)= (x-1)(х+1)(x-2):
+
-
+
-
-1
1
2
x
-1; 1 и 2 обращают выражение в ноль.
Числовая прямая разбивается указанными точками на 4 промежутка, в каждом из которых выражение сохраняет постоянным знак.
Линия УМК А.Г. Мордкович
x
a
c
d
+
+
-
-
b
+
Замечания:
Линия УМК С.М. Никольского
x
х1
х2
х3
+
+
-
-
(x-x1)(x-x2)…(x-xn) > 0 (<0), x1<x2<…<xn (*)
В основе метода интервалов лежит свойство двучлена x-x0:
Линия УМК С.М. Никольского
x
1
3
4
-
+
-
-
2
+
Линия УМК С.М. Никольского
x
1
3
4
-
+
-
-
2
+
+
+
Линия УМК С.М. Никольского
1
2
x
+
-
+
Замечание (автора):
на х-2 сокращать нельзя, т.к. такое сокращение приведет к неравносильному неравенству
Линия УМК С.М. Никольского
Нестрогие неравенства изучаются отдельным параграфом
Сравнительная таблица
| УМК Макарычев | УМК Мордкович | УМК Никольский | УМК Мерзляк |
Основание МИ | Функциональный: смена знака функции Исследуется знак функции | Алгебраический: смена знака бинома (неявно) Исследуется знак выражения | Алгебраический: смена знака бинома Исследуется знак выражения | Нет Исследуется знак функции |
Приводимый вид неравенства | (x-x1)(x-x2)…(x-xn) >0 (<0) x1≠x2≠…≠xn | (x-a)(x-b)(x-c) >0 (<0) | (x-x1)(x-x2)…(x-xn) >0 (<0) x1<x2<…<xn | нет |
Примеры множителей в степени | нет | Определяется знак в каждом интервале. Кривая знаков не используется | Знаки сохраняются при переходе через корень четной степени и чередуются, если корень нечетной степени | Определяется знак в каждом интервале. |
Сравнительная таблица
| УМК Макарычев | УМК Мордкович | УМК Никольский | УМК Мерзляк |
Дробно-рациональные строгие неравенства | Замена равносильным целым | Решаются в дробном виде: на прямой отмечаются точки в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль, используется кривая знаков | Замена равносильным целым неравенством | Находится область определения функции и ее нули. Знак определяется в каждом промежутке |
Дробно-рациональные нестрогие неравенства | Замена равносильной системой целого неравенства и условия ОДЗ | Решается строгое неравенство, в ответе учитываются точки, в которых выражение обращается в ноль | Объединение решений уравнения и строго неравенства | Метод решения аналогичный строгому неравенству |
Задание ОГЭ 2021
Решение:
х=5 х=-3
+
-
+
-3
5
x
Ответ: (-3; 5)
+
-
+
x
Задание ОГЭ 2021
Задание ОГЭ 2021
+
-
+
x
Задание ОГЭ 2021
Решение:
+
-
+
x
Решение:
x
График функции парабола, ветви которой направлены вверх, а=1, 1>0
Найдем нули функции:
или
или
Задание ОГЭ 2021
Основные задания | Расширенная версия |
| |
Задание № 20 ОГЭ