1 of 22

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

2 of 22

Ключевые слова

  • множество
  • подмножество
  • объединение множеств
  • пересечение множеств
  • дополнение

3 of 22

Понятие множества

Множество — совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.

!

4 of 22

Способы задания множества

Попробуйте описать эти множества словесно, указав характеристическое свойство их элементов.

?

5 of 22

Способы задания множества

Любое ли множество можно задать перечислением всех элементов?

?

6 of 22

Способы задания множества

1 способ – для задания конечных множеств

2 способ – для задания любых множеств

!

7 of 22

Стандартные обозначения

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита (A, B, C, …).

Объекты, входящие в состав множества, называются его элементами и обозначаются строчными латинскими буквами.

8 of 22

Стандартные обозначения

9 of 22

Круги Эйлера

Для наглядного изображения множеств используются круги Эйлера.

Точки внутри круга считаются элементами множества.

М

х

●

М

х

●

x ∈ M

x ∉ M

10 of 22

Подмножество

Если каждый элемент множества P принадлежит множест-�ву М, то говорят, что P есть подмножество М, и записывают:

P ⊂ М

М

Р

Само множество М является своим подмножеством:�М ⊂ М

Пустое множество является подмножеством М:�∅ ⊂ М

Универсальное множество содержит все возможные подмножества одной приро-ды. Обозначается буквой U.

P ⊂ М

11 of 22

Пересечение множеств

Множества M и X не имеют общих элементов:�M ∩ X = ∅

P подмножество множества М:�М ∩ P = P

Пересечение множеств М и М:�М ∩ М = М

X ∩ Y

Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов. Обозначается X ∩ Y.

!

X

Y

X ∩ Y

12 of 22

Объединение множеств

X ∪ Y

X

Y

X ∪ Y

Объединением двух множеств X и Y называется мно-жество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов (X ∪ Y).

!

M ∪ ∅ = М

P подмножество множества М:�М ∪ P = М

Объединение множеств М и М:�М ∪ М = М

13 of 22

Примеры пересечения и объединения множеств

X

Y

X ∪ Y = {Ш,К,О,Л,А,У,Р}

X = {Ш,К,О,Л,А}

Y = {У,Р,О,К}

X ∩ Y = {К,О}

X

Y

Ш

Л

А

К

О

У

Р

Ш

Л

А

К

О

У

Р

 

?

X = {Ш,К,О,Л,А}

Y = {У,Р,О,К}

14 of 22

Дополнение множества

Пусть множество P является подмножеством множества М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P. Обозначается или P ’.

!

М

Р

 

 

 

P ∪ = M

15 of 22

Мощность множества

Мощностью конечного множества называется число его элементов.

Мощность множества X обозначается |X|.

!

Мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества.

16 of 22

Вопросы и задания

  1. Задайте путем перечисления всех элементов множество O всех цифр, используемых для записи чисел в восьмеричной системе счисления.

​

  • Задайте путем перечисления всех элементов множество К всех цепочек из 0 и 1, состоящих ровно из трёх символов.

​

Проверка

Проверка

17 of 22

Вопросы и задания

  1. Пусть М={а, б, в}, P={а, б, г, д, и}, K={г, д, и}.

​

​

​

​

Запишите с помощью фигурных скобок или знака ∅:

1) пересечение M и P 2) пересечение M и K 3) пересечение Р и K

4) объединение M и P 5) объединение M и K 6) объединение K и P

7) дополнение K до P 8) дополнение ∅ до M

​

а

б

в

д

г

и

М

Р

К

18 of 22

Вопросы и задания

  •  

A

B

C

19 of 22

Самое главное

  • Множество — это совокупность объектов произвольной природы, которая рассматривается как единое целое.
  • Пересечением двух множеств X и Y называется множество их общих элементов.
  • Объединением двух множеств X и Y называется множество, состоящее из всех элементов этих множеств и не содержащее никаких других элементов.
  • Пусть множество P является подмножеством множест-�ва М. Дополнением P до М называется множество, состоящее из тех элементов М, которые не вошли в P.
  • Мощностью конечного множества называется число его элементов.

20 of 22

Информационные источники

  • http://www.unikru.ru/userfiles/zoo-animal-friends-angela-waye.jpg
  • http://download.4-designer.com/files/20140221/Childlike-cartoon-alphabet-vector-material-62504.jpg
  • http://s4.pic4you.ru/y2014/07-04/12216/4477117.png
  • http://azbukadekor.ru/upload/iblock/475/475cddb0ce49566682e02adfdffd946e.jpg
  • http://st.gdefon.com/wallpapers_original/s/580857_babochki_raznotsvetnyie_radujnyie_5500x3765.jpg
  • https://pixabay.com/static/uploads/photo/2013/07/12/13/16/pencil-146715__180.png

​

21 of 22

Множество О всех цифр, используемых для записи чисел в восьмеричной системе счисления:

О = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

​

К задачам

22 of 22

Множество множество К всех цепочек из 0 и 1, состоящих ровно из трёх символов:

К = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

​

К задачам