Physique 3 �Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°7 :

Systèmes soumis à une force sinusoïdale (2^ième partie)

Leçon n°7 : Systèmes soumis �à une force sinusoïdale (2^ième partie)�

• Mouvement sinusoïdal de la base
• Systèmes forcés avec amortissement sec
• Système amorti avec déséquilibre de rotation
• Analyse de la stabilité d’un système

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base

Système amorti soumis à une excitation de la base

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (2)

• L’équation du mouvement s’écrit :

​

• Si y(t) = Y sin ωt, on obtient :

​

​

​

​

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (3)

• En utilisant des relations trigonométriques, on peut écrire :

​

​

​

​

​

​

​

​

• transmissibilité du déplacement

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (4)

Variations de la transmissibilité du déplacement et de φ avec r.

3. La valeur de T_d est inférieure à un (T_d<1) pour les valeurs quelque soit l’amortissement.

4. T_d=1 pour toutes les valeurs de ζ à

5. Pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus grandes valeurs de T_d d’un autre côté pour les plus petits rapports d’amortissement donnent de plus petites valeurs de T_d.

6. La transmissibilité du déplacement T_d atteint un maximum pour 0<ζ<1 au rapport de fréquence r = r_m<1 donné par

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (5)

Remarques sur la transmissibilité du déplacement T_d

1. La valeur de T_d est égale à 1 à r=0 et proche de un pour les petites valeurs

2. Pour un système non amorti (ζ=0), T_d → ∞ à la résonance (r=1)

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, force transmise

• La force transmise à la masse m est calculée à partir de l’équilibre des forces :

​

​

où F_T est l’amplitude ou la valeur maximale de la force transmise.

​

• On définit la transmissibilité de la force par le rapport F_T/kY :

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base (suite)

Transmissibilité de la force en fonction du rapport de fréquence r.

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif

• Si z=x-y dénote le mouvement de la masse par rapport à la base, l’équation du mouvement s’écrit :

​

​

• qui a pour solution

​

​

​

où

​

​

​

​

et

Réponse d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base, mouvement relatif, (suite)

Variation de Z/Y en fonction du rapport de fréquence r.

Exemple : Véhicule roulant sur une route ondulée

Véhicule roulant sur une route ondulée.

Exemple 1 : Véhicule roulant sur

une route ondulée

Enoncé : Soit le modèle simplifié d’un véhicule qui peut vibrer dans la direction verticale dans son déplacement sur une route ondulée. Le véhicule a une masse de 1200 kg. Son système de suspension a une constante de raideur de 400KN/m et un rapport d’amortissement ζ=0,5. Si la vitesse du véhicule est de 100 km/h, déterminer l’amplitude de déplacement du véhicule. La surface de la route varie de manière sinusoïdale avec une amplitude Y=0,05 m et une longueur d’onde de 6 m. Trouver l’amplitude du déplacement du véhicule X.

Exemple 1 (suite) : Véhicule roulant sur une route ondulée

Le rapport des amplitudes du véhicule avec celui de la route s’écrit en fonction de ζ et de r, nous avons :

​

Avec

​

​

​

​

​

d’où

​

l’amplitude du déplacement du véhicule est donnée par :

Exemple 2 : Machine sur des fondations antivibratoires

Une lourde machine pesant 3000N est placée sur un support antivibratoire. La déflection statique des fondations due au poids de la machine est de 7,5 cm. On observe que la machine vibre avec une amplitude de 1 cm quand la base des fondations est sujette à une oscillation harmonique à la fréquence naturelle non amortie du système avec une amplitude de 0,25 cm. Trouver (1) la constante d’amortissement des fondations, (2) l’amplitude de la force dynamique de la base, et l’amplitude du déplacement de la machine par rapport à la base.

​

Données : P=3000N, δ_st=7,5 cm, X=1cm quand y(t)=0,25sinω_nt (c’est à dire à la résonance (ω=ω_n ou r=1).

Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires

Trouver : α, F_T et Z.

​

Solution

(1) la raideur des fondations est égale à

​

​

A la résonance, nous avons :

​

​

​

la solution de cette équation nous donne ζ = 0,1291

la constante d’amortissement est :

Exemple 2 (Suite) : Machine sur des fondations antivibratoires

(2) l’amplitude de la force dynamique de la base à r=1 s’écrit :

​

​

​

(3) L’amplitude du déplacement relatif de la machine à r=1 est :

​

​

​

On peut noter que X=0,01m, Y=0,0025 m et Z=0,0098 m. Ce qui veut dire que Z≠X-Y. Ceci est due aux différences de phases entre x, y, et z.

Exemple 3 : Instruments séismiques (1)

Le dispositif mécanique ci-dessus est un instrument séismique qui consiste en une masse (m), un ressort (k), un amortisseur (α) et traceur qui donne le mouvement de la masse m en fonction du temps. Soit x(t) le mouvement de la masse m et y(t) le mouvement de la base que l’on suppose de la forme y(t)=Ysinωt.

​

1. Etablir l’équation du mouvement de la masse m en fonction du déplacement relatif z(t) = x(t) - y(t)
2. Déterminer la solution stationnaire z(t). Cette solution doit être donnée sous la forme z(t) = Z sin (ωt - φ). La variation de (Z/T) en fonction du rapport des fréquences est donnée dans la figure (b).
3. Dans le cas d’un ressort de faible raideur, la pulsation propre ω_n est petite devant la pulsation ω. Ecrire dans ce cas z(t). Montrer que l’on peut ainsi déterminer l’amplitude Y des vibrations. Ceci est le principe du vibromètre.
4. Dans le cas d’un ressort de raideur élevée, ω_n set grande devant ω. Montrer que l’on peut déterminer ainsi l’accélération des vibrations ω²Y, ceci est le principe de l’accéléromètre. Pourquoi les accéléromètres sont préférés aux vibromètres.

Exemple 3 : Instruments séismiques (2)

1)

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​

​

​

​

2)

Exemple 3 : Instruments séismiques (3)

3) On voit d’après le graphe

​

en comparant z(t) et y(t), on voit qu’on peut lire directement y (après un temps t’=φ/ω) sur le graphe.

​

4)

​

​

​

​

Qui montre que si (ça veut dire r<<1)

​

​

​

On sait que donc z(t) donne l’accélération de la base exception faite du retard de phase φ (t’=φ/ω).

Les accéléromètre sont moins lourds car leur ω_n est plus petit.

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol

La bâtisse schématisée sur la figure (a) est soumise à une accélération harmonique du sol.

1. Trouver le mouvement subit par la dalle supérieure de masse m.
2. Trouver le déplacement horizontal de la dalle (masse m) de la bâtisse quand l’accélération du sol est donnée par on suppose les données suivantes : m=2000 kg, k=0,1 MN/m, ω=25 rad/s, et

​

• Si cette foie ci le sol est sujet à un déplacement harmonique horizontal avec une fréquence ω=200 rad/s et une amplitude X_g=15 mm, trouver l’amplitude des vibrations de la dalle supérieure (masse m). On suppose la masse de la dalle égale à 2000 kg et la raideur des colonnes égale à 0,05 MN/m.
• On se propose d’ajouter un amortisseur pour absorber les vibrations dues à un mouvement horizontal du sol y(t)=Ycosωt. Trouver l’expression de la constante d’amortissement de l’amortisseur qui absorbe le maximum d’énergie.

​

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (2)

1. Nous avons :

​

​

​

En supposant on obtient

​

L’équation du mouvement s’écrit : (z=x-y) :

​

​

​

La solution est :

​

​

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (3)

2)

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​

​

​

​

​

​

Le déplacement horizontal maximum de la dalle est 0,3339 mm.

​

​

​

​

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (4)

3)

dans ce cas : et l’équation devient :

​

​

La solution est :

​

avec

​

​

​

​

​

​

​

​

L’amplitude de vibration de la dalle =0,03009 m = 30,09 mm

Exemple 4 : Bâtisse soumise à mouvement harmonique du sol (5)

4)

​

​

​

La force d’amortissement =

​

Energie absorbée par période par l’amortisseur

​

​

​

​

​

Puisque

​

Pour le maximum d’énergie,

Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation

• Les machines tournantes (moteurs, turbines, machines à laver …) peuvent être le siège de vibrations importantes. Un modèle simplifié est montré dans la figure.
• Masse totale de la machine M
• 2 petites masses en rotation dans des directions opposées
• Force centrifuges meω²/2 pour chaque masse
• La force d’excitation a seulement une composante verticale

Réponse d’un système amorti avec un déséquilibre de rotation

​

Même équation que celle du mouvement relatif d’un système amorti soumis à un mouvement sinusoïdal de la base.

​

​

Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (1)

Un compresseur à air monocylindre de masse 100 kg est monté sur les supports en caoutchouc, comme le montre la figure . Les constantes d’élasticité et d’amortissement des supports en caoutchouc sont : 10⁶ N/m et 2000 N.s/m, respectivement. Si le déséquilibre de rotation du compresseur est équivalent à une masse de 0,1 kg localisée à la fin de l’essieu de 3000 rpm. Supposer r=10 cm et ℓ=40 cm.

​

L’équation du mouvement est

​

Où

​

​

La réponse est

Exemple 5 : compresseur à air avec un déséquilibre de rotation (2)

Le diagramme schématique d’une turbine à eau de Francis est donné dans la figure. L’eau à travers le passage A dans les palettes B et descend par le canal C. Le rotor a une masse de 250 kg et un déséquilibre de rotation (me) de 5 kg.mm. La turbine opère dans une plage de fréquence de 600 à 6000 rpm. L’arbre d’acier supportant le rotor peut être supposé fixé à l’essieu (aux roulements, voulant dire qu’il ne vibre pas en haut ). Déterminer le diamètre de l’arbre pour que le rotor ne touche pas le stator à toutes les vitesses de rotation auxquelles opère la turbine. Supposer que l’amortissement est négligeable et que l’arbre d’acier peut-être assimilée à une poutre supportant une masse avec k=3EI/ℓ³ où I=πd⁴/64=moment d’inertie de surface de l’arbre et E=2,07×10¹¹= module d’Young de l’acier

Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (1)

​

On sait que pour avoir les plus petite amplitude de vibration, on doit avoir r=ω/ω_n>>1, donc ω_n petit donc k est le plus possible, on prend k = 10,04 × 10⁴π²

Exemple 6 : la turbine à eau de Francis (2)

Vibrations forcées avec amortissement sec

• Equation du mouvement

​

​

où le signe de la force d’amortissement est positif ou négatif suivant le mouvement se fait de gauche à droite ou de droite à gauche, respectivement.

​

• On se limite au cas où μN est petit devant F₀, on suppose un rapport d’amortissement visqueux équivalent. On trouve une solution approchée au problème en égalant les énergies dissipées dans les deux cas pendant une période. Si l’amplitude du mouvement est X :

Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)

Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)

• La solution particulière, l’amplitude et la phase s’écrivent :

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​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

avec

Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)

• En trouvant la solution pour l’amplitude X :

​

​

​

​

​

​

• On obtient la valeur finale de la phase φ :

Vibrations forcées avec amortissement sec (suite)

• Deux observations peuvent être faites à partir des équations de X et de φ
1. Pour que X ne soit pas imaginaire :

​

​

​

Ce qui donne une limite à notre approximation de la force de friction qui doit être petite devant F₀ :

​

• φ<0 pour ω/ω₀ >1 , pour φ>0 pour ω/ω₀<1 et φ est discontinue pour ω=ω₀, on peut écrire :

Exemple : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb

Enoncé : Soit un système masse-ressort avec m=10 kg et k=4000N/m, oscillant sur une surface horizontale. Le coefficient de friction μ est égal à 0,12. Quand sujette à une force harmonique de fréquence 2Hz, la masse vibre avec une amplitude de 40 mm. Trouvez l’amplitude de la force harmonique appliquée à la masse.

​

Données : m=10kg, k=4000N/m, μ=0,12, fréquence de la force harmonique = 2Hz, l’amplitude des vibrations X=410mm.

​

Trouver F₀.

Exemple (suite) : Système masse-ressort avec amortissement de coulomb

Solution : la fréquence naturelle des vibrations est :

​

​

Le rapport des fréquence est :

​

​

L’amplitude des vibrations s’écrit :

​

​

​

​

C’est à dire :

​

​

Ce qui donne F₀=97,9874 N

• La force agissant sur un système vibratoire est d’habitude extérieure. Dans certains systèmes, la force est générée de l’intérieur et est fonction des paramètres du mouvement du système tels que le déplacement, la vitesse ou l’accélération.
• Un système est dynamiquement stable si son mouvement converge ou reste stable avec le temps. Certaines circonstances entrainent l’instabilité : on trouve beaucoup d’instabilité en mécanique des fluide où des vibrations sont causées par un fluide qui se déplace autour où à l’intérieur d’un corps.

​

​

​

​

​

Force auto-générée et analyse de la stabilité

d’un système

​

• Le mouvement est divergent si les racines s₁ et s₂ sont :

​

• Réelles et positives, évité si

​

• Complexes conjuguées avec des parties réelles positives dans ce cas :

​

Force auto-générée et analyse de la stabilité

d’un système (suite)

Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une ceinture mouvante

• Considérons le système de la figure. On suppose que le coefficient de friction μ varie avec la vitesse relative de friction comme le montre la courbe (b). Quand la vitesse relative augmente, le coefficient de friction diminue à partir de sa valeur statique pour ensuite augmenter à partir d’une vitesse relative de transmission v_q. En supposant que la vitesse relative de friction est inférieure à v_q, nous avons :

​

​

​

où a est une constante et W=mg est le poids de la masse. Déterminer la nature des vibrations libres autour de la position d’équilibre de la masse.

Exemple 8 : Instabilité d’un système masse-ressort sur une ceinture mouvante (suite)

• Supposons qu’à l’équilibre de la masse m, le ressort a un allongement x₀, si V est la vitesse de la ceinture :

​

• Si la masse est déplacée d’une distance x à partir de sa position d’équilibre x₀, la vitesse relative de friction est donnée par :
• L’équation du mouvement s’écrit, en utilisant la deuxième loi de Newton :

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​

​

​

​

Le système est instable, la valeur de x augmente avec le temps. Sauf si

auquel cas l’équation du mouvement change.0

• Même genre d’équation dans les instabilités dynamiques causées par le déplacement des fluides autour d’un corps.

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​

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Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB

• En utilisant MATLAB, trouver et faire un graphe de la réponse d’un système masse-ressort avec amortissement visqueux soumis à une excitation de sa base de la forme y(t)=Y sin ωt, avec les données suivantes : m=1200 kg, k=4×10⁵ N/m, ζ=0,5, Y=0,05 m, ω = 29,0887 rad/s, x₀=0,

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• Solution : L’équation du mouvement est :

qui est exprimée comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , on peut écrire :

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Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)

• Le programme :

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​

• La solution MATLAB

Exemple 9 : Réponse d’un système à une excitation de la base utilisant MATLAB (suite)

Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (1)

• En utilisant MATLAB, faire la figure représentant la réponse d’un système forcé avec amortissement de Coulomb pour les données suivantes : m= 5 kg, k=2000 N/m, μ=0,5, F(t)=100sin 30 t N, x₀=0,1 m,

​

• Solution : L’équation du mouvement du système s’écrit est :

​

que l’on peut écrire comme un système de deux équations différentielles du premier ordre en utilisant : , comme :

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Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (2)

• Le programme :

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​

• La solution MATLAB

Exemple 10 : Réponse d’un système forcé avec amortissement sec (3)