1 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Урок

№ 2

Цілі вирази. Тотожність

Алгебра

Повторення і систематизація навчального матеріалу

2 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Цілі вирази. Тотожність

3 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Організація класу

Алгебра — інтелектуальний

інструмент, який створений,

щоб додати ясність

кількісному аспекту миру.

(А. Уайтхед)

4 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація

навчально-пізнавальної діяльності учнів

Мета уроку:� узагальнити і систематизувати знання та практичні вміння з теми «Цілі вирази. Тотожність. Степінь з натуральним показником»

5 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Перевірка домашнього завдання

6 of 39

Online завдання

02.09.2025

Сьогодні

Відскануй QR-код або натисни жовтий круг!

7 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Рівність, ліва і права частини якої є тотожно

рівними виразами, називається тотожністю.

Рівності, що виражають властивості додавання та множення чисел, є прикладами тотожностей:

а + b =b+ а;

(а + b) + с = а + (b + с);

ab = bа;

(ab) с = а (bс);

a (b + с) = ab + ас.

8 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

Вирази, відповідні значення яких є

рівними при будь-яких значеннях змінних, що входять до них, називають тотожно рівними.

Наприклад, вирази 2 (х - 1) - 1 і 2х - 3 — тотожно рівні, а вирази х⁵ - х і 5х³ - 5х не є тотожно рівними.

Ось ще приклади тотожно рівних виразів:

7 (а + с) і 7а + 7с;

Зх + у і у + Зх;

а -(b + с) і а - b - с.

9 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доведення тотожності

Для того щоб довести, що дана рівність є тотожністю, використовують такі прийоми (методи):

• тотожно перетворюють одну із частин даної
рівності, отримуючи другу частину;
• тотожно перетворюють кожну із частин даної
рівності, отримуючи той самий вираз;
• показують, що різниця лівої і правої частин даної, рівності тотожно дорівнює нулю.

10 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові задачі

1. Доведіть тотожність:

2 (За + 4b) + 3 (а – 7b) - 7 (2а – 7b) = -5а + 36b

Розв’язання.

Спростимо ліву частину рівності: 2(За + 4b) + 3 (а -7b)-7 (2а-7b)=

= 6а + 8b + За – 21b - 14а + 49b = -5а + 36b.

Тотожність доведено.

2. Доведіть, що рівність (а + 2)(а-3) = а² - 6 не є тотожністю.

Розв’язання. Щоб довести, що рівність не є тотожністю, достатньо навести контрприклад, указати таке значення змінної (змінних, якщо їх кілька), при якому дана рівність не справджується. Наприклад, при а = 1 маємо:

(а + 2) (а - 3) = (1 + 2) (1 - 3) = -6; а² -6 = 1-6 = -5.

Отже, дана рівність не є тотожністю.

11 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Повторимо…

Числові вирази утворюють із чисел за допомогою знаків

арифметичних дій і дужок.

Число, що є результатом виконання всіх дій у числовому виразі, називають значенням виразу.

Наприклад, 12 ∙ 3 - 9 = 27, тому 27 є значенням числового виразу 12 ∙ 3 - 9 .

Якщо числовий вираз містить дію, яку неможливо виконати,

то кажуть, що вираз не має змісту (смислу). Наприклад, вираз

5 : (8 : 2 - 4) не має змісту, бо 8:2-4 = 0 і наступну дію

5 : 0 виконати неможливо.

12 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вираз зі змінною — це запис, у якому використовують букви, що позначають змінні, числа, знаки

арифметичних дій і дужки.

Наприклад, знайдіть значення виразу:

1) 10а - 1,2, якщо: а) а = 0,1; б) а = -11;

2) 5а + 56 - 5с, якщо а + b - с = -2.

Розв'язання

1. Якщо а = 0,1, то 10 ∙ 0,1 - 1,2 = -0,2.

Якщо а = -11, то 10 ∙ (-11) - 1,2 = -111,2.

2. Якщо а + Ь - с = -2, то 5а + 5b - 5с = 5(а + Ь - с) = 5 ∙ (-2) = -10.

13 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Значення виразу зі змінними залежить від значень змінних, що входять до нього.

Усі значення змінної, допустимі для даного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.

14 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вираз називається цілим, якщо він не містить дію ділення на вираз зі змінними. У цілого раціонального виразу ОДЗ кожної змінної — будь-яке число.

Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до квадрата, куба чи іншого степеня з натуральним показником, то такий вираз називають раціональним.

Раціональні вирази

Цілі вирази

Дробові вирази

15 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Вид раціонального виразу	Приклад
Цілий раціональний вираз
Дробовий раціональний вираз

16 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Опрацюй і запам’ятай…

17 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Степенем числа а з натуральним показником п (п > 1)

називають добуток n множників, кожний з яких дорівнює а.

Степенем числа а з показником 1 називають саме число а.

Вираз а читають так: «а в степені n» або «n- енний степінь числа а». Вирази а² і а³ називають відповідно квадратом числа а і кубом числа а.

18 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Простіші властивості степенів

Якщо :	То:
показник степеня дорівнює 1	а¹ = 0
основа степеня дорівнює 1	1^п = 1
основа степеня дорівнює 0	0^п = 0
а^п = 0	а= 0

19 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові задачі і вправи

Запишіть вираз 27 ∙ 3 ∙ 9 у вигляді степеня з основою:

1)3; 2)9; 3)27.

1) 27 ∙ 3 ∙ 9= 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ З ∙ 3 = З⁶;

2) 27 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 9 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 9³;

3) 27 ∙ 3 ∙ 9= 27 ∙ 27 = 27²

Розв’яжіть рівняння: 1) (х + 5)² = 0; 2) (2х + 7)⁵(х - 9)⁴ = 0.

1) (х + 5)² = 0, звідси х+5=0 і х= -5.

2) (2х + 7)⁵(х - 9)⁴ = 0, звідси:

(2х + 7)⁵ = 0, або (х-9)⁴ = 0,

2х + 7 = 0, х - 9 = 0,

х=3,5; х = 9.

20 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Порядок виконання дій у виразах зі степенями

У виразах, що містять степені, спочатку виконують піднесення до степеня, потім — множення або ділення, а останніми — додавання або віднімання. Тут і далі буквені показники є натуральними числами.

Знайти значення виразу:

1) 3 - 7 ∙ 2³; 2) (2 + (-3)⁴)²; 3) ((-І)⁵ + (-1)⁶)⁸;

Розв’язання.

1) 3 - 7 ∙ 2³=3 -7∙ 8 = 3 - 56 = -53;

2) (2 + (-3)⁴)²= (2 + 81)² = 83² = 6889;

3) ((-І)⁵ + (-1)⁶)⁸= (-1 + 1)⁸ = 0⁸ = 0.

21 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Порівняння степенів

Знак основи	Показник степеня	Знак степеня
+	Будь-який	+
-	Парний	+
-	Непарний	-

Знак степеня залежить від знака основи степеня та від парності чи непарності показника степеня.

Наприклад, значення 5³ є додатним числом, а значення (-5)³ є від’ємним числом, тому:

5³ > (- 5)³

Чи завжди треба знаходити значення степенів, щоб їх порівняти?

Ні.

22 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

а³а² = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а⁵

аⁿа^m = а^m+n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Множення степенів з однаковими основами

Щоб помножити степені з однаковими основами, основу

залишають тією самою, а показники степенів додають. Наприклад, З⁷ ∙ З⁵ = 3⁷⁺⁵ = З¹²;

а⁷а²а³ = а⁷⁺²⁺³ = а¹²

23 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

а⁴ :а² = (аааа) : (аа) = аа

аⁿ : а^m = а^m-n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Ділення степенів з однаковими основами

Щоб поділити степені з однаковими основами, основу

залишають тією самою, а показники степенів віднімають. Наприклад, З⁷ : З⁵ = 3^7-5 = З²;

а⁷ : а² = а^7-2= а⁵

24 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

(а⁷)³ = а⁷ ∙ а⁷ ∙ а⁷ = а⁷⁺⁷⁺⁷ = а^7∙3 = а²¹.

(а^m )ⁿ = а^m∙n

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Піднесення степеня до степеня

Щоб піднести степінь до степеня, основу залишають тією

самою, а показники степенів перемножують.

Наприклад, (З⁷) ⁵ = 3^7∙5 = З^35;

((З²) ⁵ )⁷= 3^2∙5∙7 = З⁷⁰

25 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

(ab)³ = ab ∙ ab ∙ ab = (ааа) ∙ (bbb) = а³Ь³

(аb)^m = а^m ∙ b^m

Для будь-якого числа а й довільних натуральних чисел m і n справджується рівність:

Піднесення добутку до степеня

Щоб піднести добуток до степеня, потрібно піднести до цього степеня кожний з множників і отримані результати перемножити. Наприклад, (7ab)² = 7²а²Ь² = 49а²Ь²

26 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Застосування властивостей степеня

до розв'язування вправ

27 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

«Шпаргалка»

Таблиця квадратів

і кубів

28 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові вправи і задачі

№1. Спростити вираз (а²)³ ∙ (а⁴а)⁶.

Розв’язання: (а²)³ ∙ (а⁴а)⁶= а⁶ ∙ (а⁵)⁶ = а⁶а³⁰ = а³⁶.

Відповідь: а³⁶

№2. Подати у вигляді степеня вираз: 25а²b⁴

Розв’язання: 25а²b⁴ = 5²а² (b²)² = (5аb²)²

Відповідь: (5аb²)²

№3. Порівняти значення виразів 7⁴⁰ і 48²⁰.

Розв’язання. Оскільки 7⁴⁰ = (7²)²⁰ = 49²⁰ і 49²⁰ > 48²⁰, то 7⁴⁰ > 48²⁰.

Відповідь: 7⁴⁰ > 48²⁰.

29 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

30 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Подайте у вигляді степеня:

Розв‘язання:

31 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Виконайте множення:

1) p(x ‒ 2);

2) –c(m – 4);

3) x(c – 3 – d);

1) p(x ‒ 2) = p · x – p · 2 = px – 2p;

2) –c(m – 4) = ‒c · m + c · 4 = ‒cm + 4c;

3) x(c – 3 – d) = x · c – x · 3 ‒ x · d = xc – 3d – xd.

32 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Розкладіть на множники:

1) 4a + 12b;

2) 15ac – 20a;

3) a(c – x) + 9c – 9x.

1) 4a + 12b = 4(a + 3b);

2) 15ac – 20a = 5a(3c – 4);

3) a(c – x) + 9c – 9x = a(c – x) + 9(c ‒ x) = (c – x)(a + 9).

33 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Знайдіть значення виразу,

використовуючи властивості степенів:

34 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Спростіть вираз (9x ‒ 1)(4x + 2) – (6x – 7)(6x + 7) та знайдіть його значення, якщо x = ‒3, відтак дізнаєтеся, скільки разів жіноча збірна України із шахів ставала призером командного чемпіонату світу.

35 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Розв‘яжіть рівняння:

36 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

рівень

Розв‘язання:

Доведіть, що якщо n ‒ натуральне число, то значення виразу

(2n – 3)(5n - 1) ‒ 2n(5n – 12) + n є непарним числом.

37 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. З чого утворюють числові вирази?

Який вираз називають цілим раціональним виразом?
Що таке тотожність?
Що означає довести тотожність? Які є способи доведення тотожності?
Що таке степінь числа? Основа степеня? Показник степеня? Що означає піднести число а до натурального степеня?
Який порядок виконання дій у виразі, що містить степені?

38 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацюй презентацію

Розв’язати рівняння 1-3

Розв'яжіть рівняння:

2x² + x = 0;
36x² - 12x + 1 = 0;
(x + 2)² - 9 = 0.

39 of 39

02.09.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Плюс – мінус – цікаво»

Що сподобалось на уроці? Що здалося цікавим та корисним?

Що не сподобалось? Що здалося важким, незрозумілим?

Про які факти дізналися на уроці? Чого б ще хотіли дізнатися?