ทศนิยมและเศษส่วน
วิชาคณิตศาสตร์
1. นักเรียนสามารถเปรียบเทียบทศนิยม หาผลบวก ผลลบ ผลคูณ � และผลหารของทศนิยมได้
2. นักเรียนสามารถ เปรียบเทียบเศษส่วน หาผลบวก ผลลบ ผลคูณ � และผลหารของเศษส่วนได้
จุดประสงค์การเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
บทที่ 1 ทศนิยม
1.1 ค่าประจำหลักของทศนิยม
1.2 ค่าสัมบูรณ์ของทศนิยม
1.3 จำนวนตรงข้ามของทศนิยม
บทที่ 2 การเปรียบเทียบทศนิยม� 2.1 การเปรียบเทียบทศนิยมระหว่างทศนิยมที่เป็นจำนวนบวก� 2.2 การเปรียบเทียบทศนิยมระหว่างทศนิยมที่เป็นจำนวนลบ� 2.3 การเปรียบเทียบทศนิยมระหว่างทศนิยมที่เป็นจำนวนบวก� และทศนิยมที่เป็นจำนวนลบ
สาระการเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
บทที่ 3 การบวกและการลบทศนิยม
3.1 การบวกทศนิยม
3.2 การลบทศนิยม
บทที่ 4 การคูณและการหารทศนิยม
4.1 การคูณทศนิยม
4.2 การหารทศนิยม
สาระการเรียนรู้ (ต่อ)
บทที่ 5 เศษส่วน
5.1 เศษส่วนบนเส้นจำนวน
5.2 จำนวนตรงข้ามของเศษส่วน
บทที่ 6 การเปรียบเทียบเศษส่วน
6.1 เศษส่วนที่เท่ากัน
6.2 เศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
6.3 เศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
บทที่ 7 การบวกและการลบเศษส่วน
7.1 การบวกเศษส่วน
7.2 การลบเศษส่วน
บทที่ 8 การคูณและการหารเศษส่วน
8.1 การคูณเศษส่วน
8.2 การหารเศษส่วน
บทที่ 9 ความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมและเศษส่วน
สาระการเรียนรู้ (ต่อ)
ทศนิยม
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
ทศนิยม
ทศนิยม (decimal) คือ จำนวนที่ใช้สัญลักษณ์มหัพภาค (.) ในการเขียน เช่น 1.45, 0.022
องค์ประกอบของทศนิยม
67.024
ภาคจำนวนเต็ม
ภาคเศษส่วน
จุดทศนิยม
ตารางแสดงความสัมพันธ์ของค่าประจำหลักต่อไปนี้
จากตารางข้างต้น นักเรียนสามารถใช้ความสัมพันธ์ของค่าประจำหลักในการเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปทศนิยม หรือเขียนทศนิยมให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้
เศษส่วน
ค่าประจำหลัก (place value)
จำนวนเต็ม
ทศนิยม
...
หลักร้อย
หลักสิบ
หลักหน่วย
ตำแหน่งที่ 1
ตำแหน่งที่ 2
ตำแหน่งที่ 3
...
...
...
100
10
1
1
10
1
100
1
1,000
ค่าประจำหลักของทศนิยม
1
พิจารณาการเขียน 67.024 ในรูปกระจาย
67.024
6 x 10
7 x 1
1
10
0 x
1
1,000
4 x
1
100
2 x
จะได้ว่า 67.024 = (6 x 10) + (7 x 1) + ( ) + ( ) + ( )
1
10
0 x
1
100
2 x
1
1,000
4 x
ค่าประจำหลักของทศนิยม
1
ค่าสัมบูรณ์ของทศนิยม หาได้จากระยะห่างระหว่างทศนิยมนั้นกับ 0 บนเส้นจำนวน
1.5 อยู่ห่างจาก 0 ไปทางขวา 1.5 หน่วย ค่าสัมบูรณ์ของ 1.5 คือ 1.5 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |1.5| = 1.5
-1.5 อยู่ห่างจาก 0 ไปทางซ้าย 1.5 หน่วย ค่าสัมบูรณ์ของ -1.5 คือ 1.5 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |-1.5| = 1.5
ดังนั้น ค่าสัมบูรณ์ของ 1.5 และ -1.5 จึงมีค่าเท่ากัน คือ 1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
1.5 หน่วย
1.5 หน่วย
ค่าสัมบูรณ์ของทศนิยม
2
จำนวนตรงข้าม คือ จำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบ ซึ่งอยู่คนละข้างของ 0 และอยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจำนวนเป็นระยะเท่ากัน นักเรียนสามารถนำมาใช้ในการหาจำนวนตรงข้ามของทศนิยมได้เช่นกัน พิจารณาเส้นจำนวนต่อไปนี้
ให้ a เป็นทศนิยมใด ๆ จะได้ว่า จำนวนตรงข้ามของ a คือ -a และ จำนวนตรงข้ามของ -a คือ a �เขียนแทนด้วย -(-a) = a กล่าวคือ a และ -a เป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
จำนวนตรงข้าม
จะเห็นว่า 2.5 และ -2.5 อยู่คนละข้างของ 0 บนเส้นจำนวน และอยู่ห่างจากศูนย์เป็นระยะ 2.5 หน่วยเท่ากัน �
จึงสรุปได้ว่า -2.5 และ 2.5
เป็นจำนวนตรงข้ามซึ่งกันและกัน
จำนวนตรงข้ามของทศนิยม
3
การเปรียบเทียบทศนิยม
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
การเปรียบเทียบทศนิยม
การเปรียบเทียบทศนิยมทำได้เช่นเดียวกับการเปรียบเทียบจำนวนเต็ม �โดยทศนิยมที่อยู่ทางขวาจะมีค่ามากกว่าทศนิยมที่อยู่ทางซ้ายของเส้นจำนวนเสมอ
พิจารณาเส้นจำนวนต่อไปนี้
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
ทศนิยมที่เป็นจำนวนบวกจะมีค่ามากกว่าทศนิยมที่เป็นจำนวนลบเสมอ
จำนวนลบ (-)
จำนวนบวก (+)
พิจารณาจาก
ค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าจะมีค่ามากกว่า
การเปรียบเทียบทศนิยม
จำนวนทางซ้าย < จำนวนทางขวา
0
1.2
1.4
-1.4
-1.2
-1.4 < -1.2
1.2 > 1.4
|-1.4| = 1.4 > 1.2 = |-1.2|
-1.4 < 1.2
1.2 > 1.4
1 . 2
1 . 4
(2 > 4)
พิจารณาจาก
การบวกและ�การลบทศนิยม
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
ตั้งหลักของเลขโดดและจุดทศนิยมให้ตรงกัน
จำนวน +,+
จำนวน -,-
จำนวน +,-
หลักเดียวกันบวกกัน
คำตอบเป็นจำนวนบวก
นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกัน
คำตอบเป็นจำนวนลบ
นำค่าสัมบูรณ์มาลบกัน
โดยค่าสัมบูรณ์ตัวที่มากกว่าเป็นตัวตั้ง
คำตอบตามเครื่องหมายตัวตั้ง
1.2 + 1.4 = 2.6
ตอบ 2.6
1 . 2
1 . 4
+
2 . 6
|-1.2| = 1.2
|-1.4| = 1.4
(-1.2) + (-1.4) = -2.6
ตอบ -2.6
(1.2) + (-1.4) = -0.2
ตอบ -0.2
|1.2| = 1.2
|-1.4| = 1.4
การบวกทศนิยม
1
4.3 - (9.5) = 4.3 + 9.5
การลบทศนิยม
2
การลบทศนิยมมีวิธีการเช่นเดียวกับการลบจำนวนเต็ม โดยการจัดเลขโดดในหลักเดียวกัน
ทั้งตัวตั้งและตัวลบให้ตรงกัน แล้วนำเลขโดดที่อยู่ในหลักเดียวกันมาลบกัน
ตัวตั้ง ตัวลบ = ตัวตั้ง จำนวนตรงข้ามตัวลบ
-
+
ตั้งหลักของเลขโดดและจุดทศนิยมให้ตรงกัน
การคูณและ�การหารทศนิยม
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
เช่น 1.2 x 1.4
คูณเช่นเดียวกันการคูณจำนวนนับ
การคูณทศนิยม
1
นำจุดทศนิยมออก
1 2
1 4
4 8
1 2 0
1 6 8
x
+
ดังนั้น 1.2 x 1.4 = 1.68
ผลคูณมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากับ
จำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวตั้ง + จำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวคูณ
1.2 × 1.4 = 1.68
จำนวน +,+
จำนวน -,-
จำนวน +,-
คำตอบเป็นจำนวนบวก
คำตอบเป็นจำนวนบวก
คำตอบเป็นจำนวนลบ
1.2 x 1.4 = 1.68
การคูณทศนิยม
1
(-1.2) x (-1.4) = 1.68
1.2 x (-1.4) = -1.68
(-1.2) x 1.4 = -1.68
ทศนิยม 1 ตำแหน่ง x ทศนิยม 1 ตำแหน่ง = ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
การหารทศนิยม
2
การหารทศนิยม
ตัวหารเป็นจำนวนเต็ม : 1.2 2
ตัวหารเป็นทศนิยม : 0.12 0.2
ทำตัวหารให้เป็นจำนวนเต็ม : 1.2 2
ตั้งหารเช่นเดียวกับการหารจำนวนนับ
ใส่จุดทศนิยมที่ผลหารให้ตรงกับตัวตั้ง
0 . 6
2 1 . 2
1 2
0
)
คำตอบเป็นจำนวนบวก
จำนวน +,+
1.2 2 = 0.6
คำตอบเป็นจำนวนบวก
จำนวน -,-
(-1.2) (-2) = 0.6
คำตอบเป็นจำนวนลบ
จำนวน +,-
1.2 (-2) = -0.6
(-1.2) 2 = -0.6
เศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
0
1
3
4
2
4
1
4
-1
0
5
6
-
4
6
-
3
6
-
2
6
-
1
6
-
สามารถแสดงเศษส่วนบนเส้นจำนวนได้เช่นเดียวกับจำนวนเต็ม โดยแบ่งเส้นจำนวนระหว่างจำนวนเต็มเป็นส่วนเท่า ๆ กัน เช่น
เศษส่วนบนเส้นจำนวน
1
ซ้าย
ขวา
3 ส่วน
ซ้าย
ขวา
5 ส่วน
เมื่อต้องการแสดง บนเส้นจำนวน
ทำได้โดยแบ่งเส้นจำนวนระหว่าง 0 กับ 1 ออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน จะได้ อยู่ห่าง
จาก 0 ไปทางด้านขวา 3 ส่วน ดังรูป
3
4
3
4
5
6
5
6
0
1
-1
จำนวนตรงข้ามของเศษส่วน
2
จำนวนตรงข้ามของเศษส่วน
ซ้าย
ขวา
2 ส่วน
2 ส่วน
ซ้าย
ขวา
1
3
2
3
1
3
-
2
3
-
การเปรียบเทียบ�เศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
เศษส่วนที่เท่ากัน
1
เศษส่วนอย่างตำ คือ เศษส่วนที่ไม่สามารถลดทอนได้อีก โดยตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) ของตัวเศษ
และตัวส่วนเท่ากับ 1
กำหนดให้ เป็นเศษส่วนและ c กับ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ
โดยที่ b, c และ d ไม่เท่ากับศูนย์
จะได้ว่า หรือ
นั่นคือ , และ เป็นเศษส่วนที่เท่ากัน
a
b
a
b
a x c
b x c
=
a
b
a c
b c
=
a x c
b x c
a c
b c
a
b
การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนเท่ากัน
2
สังเกตว่า เมื่อเศษส่วน 2 จำนวนมีตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มที่เท่ากัน นักเรียนสามารถเปรียบเทียบเศษส่วน 2 จำนวนนั้นได้อย่างง่ายดาย เพราะเศษส่วนที่มี “ตัวเศษมากกว่าจะมีค่ามากกว่า”
ให้นักเรียนพิจารณาแผนภาพต่อไปนี้
2
4
3
4
จากส่วนที่แรเงา
จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า <
2
4
3
4
การเปรียบเทียบเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน
3
ให้นักเรียนพิจารณาแผนภาพต่อไปนี้
2
3
2
4
จากตัวอย่างข้างต้นจะสรุปได้ว่า เมื่อต้องการเปรียบเทียบเศษส่วน 2 จำนวนที่มีตัวส่วนไม่เท่ากัน ต้องทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนที่เท่ากันเสียก่อน โดยใช้หลักการหาเศษส่วนที่เท่ากัน
ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้ตัวส่วนใน�การพิจารณาเปรียบเทียบเศษส่วนได้
หากใช้แผนภาพในการเปรียบเทียบเศษส่วน จะสามารถมองภาพและสรุปผลได้ทันทีว่า มีค่ามากกว่า แม้ว่าตัวส่วนของ จะมีค่าน้อยกว่าตัวส่วนของ ก็ตาม (3 < 4)
2
3
2
4
2
3
2
4
การเปรียบเทียบเศษส่วน
จากตัวอย่างที่ผ่านมาสามารถสรุปวิธีการเปรียบเทียบเศษส่วน ได้ดังนี้
1
ทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มบวกที่เท่ากัน โดย
- หาเศษส่วนที่เท่ากัน โดยใช้วิธีการคูณหรือการหาร
- หาตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของตัวส่วนทั้งหมด และทำให้ตัวส่วนมีค่าเท่ากับ
ตัวคูณร่วมน้อยนั้น
2
เปรียบเทียบตัวเศษ
โดยเศษส่วนที่ตัวเศษมีค่ามากกว่าจะเป็นเศษส่วนที่มีค่ามากกว่า
การบวกและ�การลบเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
การบวกเศษส่วน
1
การบวกเศษส่วน
ตัวส่วนเท่ากัน
2
5
4
5
+
นำตัวเศษมาบวกกัน
ตัวส่วนไม่เท่ากัน
2
3
3
5
+
ทำให้ตัวส่วนเท่ากัน (หา ค.ร.น.)
2 x 5
3 x 5
10
15
=
,
3 x 3
5 x 3
9
15
=
ค.ร.น. ของ 3
และ 5 คือ 15
นำตัวเศษมาบวกกัน
10 + 9
15
19
15
=
หรือ
1
4
15
2 + 4
5
=
6
5
การลบเศษส่วน
2
การลบเศษส่วน
ตัวส่วนเท่ากัน
นำตัวเศษมาลบกัน
(-5) - 1
7
-6
7
=
ตัวส่วนไม่เท่ากัน
ทำให้ตัวส่วนเท่ากัน (หา ค.ร.น.)
(-5) x 2
7 x 2
-10
14
=
,
1 x 7
2 x 7
7
14
=
ค.ร.น. ของ 7
และ 2 คือ 14
นำตัวเศษมาลบกัน
(-10) - 7
14
17
14
= -
หรือ
-1
3
14
(
-
5
7
)
-
1
7
(
-
5
7
)
-
1
2
การคูณและ�การหารเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
การคูณเศษส่วน
1
นำตัวเศษคูณตัวเศษ และตัวส่วนคูณตัวส่วน
จำนวน +,+
คำตอบเป็นจำนวนบวก
x
2
15
1
3
2
5
=
จำนวน -,-
คำตอบเป็นจำนวนบวก
2
15
(
-
1
3
)
x
(
-
2
5
)
=
จำนวน +,-
คำตอบเป็นจำนวนลบ
=
(
-
1
3
)
x
2
5
-
2
15
-
1
3
x
(
-
2
5
)
=
-
2
15
x
2
15
1
3
2
5
=
1 x 2
3 x 5
=
นำตัวเศษคูณด้วยส่วนกลับของตัวหาร
การหารเศษส่วน
2
จำนวน +,+
จำนวน -,-
คำตอบเป็นจำนวนบวก
2
3
(
-
1
7
)
(
-
3
14
)
=
จำนวน +,-
คำตอบเป็นจำนวนลบ
=
(
-
1
7
)
3
14
-
2
3
1
7
(
-
3
14
)
=
-
2
3
คำตอบเป็นจำนวนบวก
2
3
1
7
3
14
=
x
2
3
1
7
3
14
=
=
1
7
14
3
ความสัมพันธ์ระหว่าง
ทศนิยมและเศษส่วน
หน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
ความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมและเศษส่วน
เศษส่วนที่แปลงเป็นทศนิยมดังที่แสดงไว้นี้สามารถแปลงเป็นทศนิยม
ได้อย่างง่ายดาย เพราะมีตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000, ...
เขียนทศนิยมในรูปเศษส่วนมาแล้ว เช่น
-4.5 =
-4
5
10
ในทางกลับกันก็สามารถเขียนเศษส่วนให้อยู่ในรูปของทศนิยมได้ เช่น
0.92 =
92
100
056.
1000.
0.056
1
=
= 0.056
3.
10.
-
-0.3
1
=
= -0.3
ความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมและเศษส่วน
1
แบบที่ 1 การทำให้ตัวส่วนเป็น 10, 100, 1,000, ...
โดยอาศัยความรู้เรื่องเศษส่วนที่เท่ากัน เช่น
5
2
=
5 x 5
2 x 5
25
10
=
= 2.5
36
20
=
36 2
20 2
18
10
=
= 1.8
เศษส่วนที่มีตัวเศษเป็นจำนวนเต็ม และตัวส่วนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เท่ากับศูนย์ �จะสามารถเขียนในรูปทศนิยมซำได้ การเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยมซำ�สามารถพิจารณาได้ 2 แบบ ดังนี้
ความสัมพันธ์ระหว่างทศนิยมและเศษส่วน
2
0. 6 6 6…
1 8
2 0
1 8
2 0
1 8
2
)
-
-
-
…
แบบที่ 2 ใช้การหาร โดยนำเอาตัวส่วนไปหารตัวเศษ
เช่น เขียนให้ อยู่ในรูปทศนิยม โดยนำ 3 ไปหารด้วย 2 ดังนี้
2
3
2
3
จบหน่วยการเรียนรู้
ทศนิยมและเศษส่วน
อย่าลืมทำแบบฝึกหัดทบทวนกันนะ