רגרסיה

התוכנית החדשה 4 יח"ל

תמר לבידון

1

בחיי יום יום נתקלים בשאלות כמו:

2

הראשון שעסק בקשרים בין משתנים �היה סר פרנסיס גלטון, �שהתעניין בתכונות שעוברות בתורשה �בקרב בני אדם �ובמידת הדמיון בין ילדים להוריהם��

דיאגרמת פיזור

ניתוח הנתונים שאסף גלטון על ידי ממשיכו �קרל פירסון – מאבות הסטטיסטיקה,�גילה תופעות מעניינות ומפתיעות, �והיווה את הבסיס לתחום חשוב בסטטיסטיקה – �שנקרא רגרסיה.

3

דיאגרמת פיזור של תלמידי מתמטיקה לפי הציון הפסיכומטרי וציון שנה א באוניברסיטה

4

דיאגרמת פיזור של 20 מדינות לפי תמ"ג לנפש וממוצע ציוני מתמטיקה של כיתות ו במבחן פיזה

5

דיאגרמת פיזור של משקל וצריכת הדלק (בק"מ לליטר) עבור מספר רכבים

6

דיאגרמת פיזור של הקשר בין רדיוס ושטח של מעגלים

7

בכל אחד מהמקרים הבאים זהו את האוכלוסייה ואת המשתנים. �האם הייתם מצפים לראות קשר בין שני המשתנים? �אם כן, האם הייתם מצפים לקבל קשר חיובי או שלילי, והאם הוא דטרמיניסטי?

1. מספר גני הילדים בכל עיר בישראל והרווח השנתי מקנסות על דו"חות חניה באותה עיר.
2. שנת הלידה של תושבי חיפה והגיל שלהם בשנה הנוכחית.
3. הכנסה חודשית של משפחה וצריכת החשמל של אותה המשפחה.
4. מספר שנות הלימוד של אדם ושכרו של אותו האדם.

8

נסתכל בדסמוס על הקשר בין גובה למשקל ונתבונן בקווי הממוצעים.

נסתכל על הפונקציות הסטטיסטיות בדסמוס

​

​

​

​

https://www.desmos.com/calculator/x5qyp3kxgc

9

4 רביעים סביב נקודת הממוצעים

10

ברביעים הראשון והשלישי מכפלת ההפרשים היא חיובית

11

ברביעים השני והרביעי מכפלת ההפרשים היא שלילית

12

נסכם את מכפלות ההפרשים מהממוצעים מחולקים בסטיות התקן

ומכאן נקבל את מקדם המתאם

13

מקדם המתאם r

​

​

​

• הערך של r נע בין 1 ל- 1-

• ככל ש- r מתקרב ל- 1 או ל- 1- , הקשר חזק יותר

​

• הערך של r משמש כמדד לחוזק הקשר הלינארי

​

​

14

מקדם המתאם r

• מקדם המתאםr הוא חסר יחידות

​

• מקדם המתאם לא מושפע משינוי יחידות ומהזזות של כל אחד מהמשתנים

​

​

15

מקדם המתאם r

סידור נוח יותר שלו לצורכי חישוב:

​

​

​

​

​

​

​

​

​

16

דוגמה – מספר הילדים במשפחה - הוצאות חודשיות על אוכל���נחשב את מקדם המתאם�נחשב ידנית את המספרים ונבדוק מול דסמוס

https://www.desmos.com/calculator/caynx4tijl

17

התאימו דיאגרמות פיזור לערכים של מקדמי מתאם

רשימה של ערכי מקדמי המתאם שלהן:

-0.75 -0.93 0.27 -0.20 1.0 0.63

18

ישר הרגרסיה – מינימום של ריבועי השגיאות

19

​

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים

20

שיפוע ישר הרגרסיה: a

משוואת ישר הרגרסיה:

21

דוגמה – מספר הילדים במשפחה - הוצאות חודשיות על אוכל���נחשב את ישר הרגרסיה�נחשב ידנית את המספרים ונבדוק מול דסמוס

https://www.desmos.com/calculator/caynx4tijl

22

​

נסתכל על הקשר בין גובה למשקל ונמצא ישר רגרסיה

​

​

נשתמש ב- 5 מספרים מוכנים מראש: 2 הממוצעים, 2 סטיות התקן ומקדם המתאם

​

https://www.desmos.com/calculator/x5qyp3kxgc

23

�ננסח דוגמה – ���נחשב את ישר הרגרסיה�נחשב ידנית את המספרים ונבדוק מול דסמוס

https://www.desmos.com/calculator/rtzdop2gmy

24

נסתכל על הדגמה של דסמוס לישר רגרסיה שנותן קירוב לינארי ועל קירוב אחר

​

https://www.desmos.com/calculator?tour=regressions

25

מתי נשתמש בישר רגרסיה?

חיזוי בעזרת ישר הרגרסיה הוא בעל משמעות רק כאשר קיים קשר סטטיסטי לינארי בין שני המשתנים. במצבים בהם אין קשר סטטיסטי בין המשתנים או כאשר הקשר אינו לינארי אין משמעות מעשית לישר הרגרסיה.

26

דוגמה - חיזוי בעזרת ישר רגרסיה

27

דוגמה (מקור: נעמה חריש) (עוסקת בהשפעת שינוי נתונים)�

28

סיכום הנוסחאות הנדרשות

מקדם המתאם r

שיפוע ישר הרגרסיה a

משוואת ישר הרגרסיה

29

הוכחות בקישור:� �https://drive.google.com/file/d/1X4s6UQYAi6Vmq8dXKH7YAQrqHWZtGzyE/view?usp=sharing

1. ההגדרה המתמטית של ישר הרגרסיה
2. הוכחה שישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים
3. מציאת השיפוע
4. הגדרת מקדם המתאםr
5. המשמעות של r כמדד לעוצמת הקשר הלינארי
6. הצורה המקוצרת לחישוב קווריאנס ושונות

​

​

30