LÍMITES Y CONTINUIDAD
2ºBACHILLERATO
1. Límite de una función
2. Límites infinitos en un punto
3. Límites en el infinito
4. Límites laterales
5. Propiedades de los límites
6. Indeterminaciones
7. Resolución de indeterminaciones
8. Regla de L’Hôpital
9. Funciones continuas
10. Discontinuidad. Tipos.
L
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
VIDEOTUTORIAL
|
-0.5 |
-0.4 |
-0.1 |
-0.0001 |
|
0.5 |
0.2 |
0.1 |
0.001 |
|
-2.125 |
-2.064 |
-2.001 |
-2,000000001 |
|
-1.875 |
-1.992 |
-1.999 |
-1,9999999 |
izquierda
derecha
|
-0,5 |
-0,6 |
-0,8 |
-0,9 |
-0.99 |
-0,999 |
|
-1,5 |
-1,4 |
-1,2 |
-1,1 |
-1,01 |
-1,001 |
|
1,5 |
1,4 |
1,2 |
1,1 |
1,01 |
1,001 |
|
1,25 |
1,36 |
1,64 |
1,81 |
1,98 |
1,998 |
izquierda
derecha
LÍMITES LATERALES
PROPIEDAD
|
-0,5 |
-0,6 |
-0,8 |
-0,9 |
-0.99 |
-0,999 |
|
-1,5 |
-1,4 |
-1,2 |
-1,1 |
-1,01 |
-1,001 |
|
1,5 |
1,4 |
1,2 |
1,1 |
1,01 |
1,001 |
|
1,25 |
1,36 |
1,64 |
1,81 |
1,98 |
1,998 |
izquierda
derecha
x |
-0,1 |
-0,01 |
-0,0001 |
f(x) |
-10 |
-100 |
-10000 |
x |
0,1 |
0,01 |
0,0001 |
f(x) |
10 |
100 |
10000 |
izquierda
derecha
LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
INDETERMINACIONES
EXPRESIONES QUE SÍ TIENEN SENTIDO EN MATEMÁTICAS
INDETERMINACIONES
Calculamos límites laterales y comprobamos si son iguales
|
0,5 |
0,1 |
0,001 |
0,00001 |
|
-0,5 |
-0,1 |
-0,001 |
-0,00001 |
|
14 |
390 |
3999000 |
|
|
0,36 |
400,1 |
4001000 |
|
izquierda
derecha
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
VIDEOTUTORIAL
Funciones racionales
Descomposición factorial y simplificación
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
VIDEOTUTORIAL
Funciones irracionales
Multiplicar y dividir por el conjugado
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
VIDEOTUTORIAL
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
VIDEOTUTORIAL
REGLA DE LOS GRADOS
RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES
ACTIVIDAD 1
Transformación en o
Realizar operaciones con las funciones y convertimos en o
ACTIVIDAD 2
Número de Euler o constante de Napier
VIDEOTUTORIAL
ACTIVIDAD 3
REGLA DE L’HOPITAL
VIDEOTUTORIAL
ACTIVIDAD 4
ACTIVIDAD 5
Sol: 0
ACTIVIDAD 6
a)1 b)2 c)1/2 d)1 e)0 f)-1/2
Resolverlos siguientes límites:
ACTIVIDAD 7
Utilizaremos el número e aplicando logaritmos neperianos y usaremos las propiedades de estos
L’Hopital
L’Hopital
VIDEOTUTORIAL
L´Hop
ACTIVIDAD 8
Sol: 1
L´Hop
ACTIVIDAD 9
Sol: 1
L´Hop
L´Hop
ACTIVIDAD 10
L´Hop
ACTIVIDAD 11
Sol: 1
ACTIVIDAD 12
Sol: a=-2
Determina el valor de a sabiendo que existe el límite y es finito. Calcula dicho límite.
Aplicamos L’Hopital:
Como el enunciado dice que existe el límite y es finito, habrá de cumplirse que:
El límite seguirá del siguiente modo:
Aplicamos L’Hopital:
Aplicamos L’Hopital:
ACTIVIDAD 13
FUNCIONES CONTINUAS
VIDEOTUTORIAL
CONDICIONES DE CONTINUIDAD
Del mismo modo una función es continua por la izquierda si se cumple:
Comprobar si la función f(x) es continua en el punto x = 1
ACTIVIDAD 14
Comprobar si la función f(x) es continua en el punto x = 1
Comprobar si la función f(x) es continua en el punto x = 1
DEFINICIÓN: Una función es continua en un intervalo (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo.
DEFINICIÓN: Una función f(x) es continua en el intervalo [a, b] si lo es en el intervalo (a, b), en a y en b.
Discontinuidad evitable
El límite de la función en x=a existe y es finito pero no coincide con el valor de la función en a o bien no existe f(a)
TIPOS DE DISCONTINUIDAD
VIDEOTUTORIAL
Presenta una discontinuidad evitable
Discontinuidad no evitable (de salto) (de 1º especie)
Los dos límites laterales existen, pero no coinciden
Si los ambos límites son finitos
salto
2. De salto infinito
Si alguno de los límites laterales tiene valor
o
en x = 0
|
0,5 |
0,1 |
0,001 |
0,00001 |
|
-0,5 |
-0,1 |
-0,001 |
-0,00001 |
|
-2 |
-10 |
-1000 |
|
|
2 |
10 |
1000 |
|
ACTIVIDAD 15
Discontinuidad de 2ª especie
Cuando uno de los dos límites laterales o los dos no existen
Discontinuidad no evitable
Comprobar la continuidad de la siguiente función en x=0
Hallar a y b para que sea continua la función:
ACTIVIDAD 16
¿Es continua la función
en x = 0? Justifique la respuesta
L´Hop
ACTIVIDAD 17
Calcule los siguientes límites
Por la regla de los grados, tienen numerador y denominador el mismo grado, el resultado del límite será:
Murcia septiembre 2014
ACTIVIDAD 18
L´Hop
L´Hop
Considere la función
Murcia junio 2013
ACTIVIDAD 19
b) Demuestra que f(x) es derivable y calcula su derivada.
L´Hop
L´Hop
L´Hop
Calcule los siguientes límites:
L´Hop
L´Hop
Murcia septiembre 2013
ACTIVIDAD 20
Considere las siguiente función:
Determine los valores de los parámetros para que la función sea continua y derivable en todo R.
Derivable:
Continua:
Murcia septiembre 2012
ACTIVIDAD 21
MURCIA SEPTIEMBRE 2018
Calcula los siguientes límites:
L´Hop
ACTIVIDAD 22
MURCIA JUNIO 2023 C3
Calcula los siguientes límites:
L´Hop
L´Hop
ACTIVIDAD 23
MURCIA JULIO 2023 C3
Considere la función
b) Determine el valor de a para que la función sea continua en x = 1
L´Hop
L´Hop
ACTIVIDAD 24
MURCIA JUNIO 2024 C3
Calcule los siguientes límites:
L´Hop
L´Hop
ACTIVIDAD 25
MURCIA JUNIO 2024 C3
Calcule los siguientes límites:
ACTIVIDAD 26
MURCIA JUNIO 2024 C3
Calcule los siguientes límites:
L´Hop
L´Hop
ACTIVIDAD 27
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo opuesto en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que f(c) = 0
TEOREMA DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Comprobar que la ecuación x3 + x − 1 = 0 tiene al menos una solución real en el intervalo [0,1].
ACTIVIDAD 28
Utilizando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: x3 + x − 5 = 0, tiene al menos una solución x = a tal que 1< a <2.
ACTIVIDAD 29
PISTA: Si se cortan, las funciones han de coincidir en un punto, es decir que
ACTIVIDAD 30
Dada la función:
La función está definida en el intervalo indicado. Demuestra si se cumple el Teorema de Bolzano
ACTIVIDAD 31
Probar que la función f (x) = x + sen x − 1 es continua para todos los números reales y probar que existe al menos una raíz real de la ecuación x + sen x − 1 = 0
ACTIVIDAD 32