1 of 45

Media Pembelajaran

MATEMATIKA

Untuk SMP/MTs Kelas VIII

2 of 45

LINGKARAN

Sumber: shutterstock.com

3 of 45

LINGKARAN

Unsur Lingkaran

Keliling dan Luas Lingkaran

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut dalam

Sudut luar

Segi empat tali busur

Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran

Garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran

Garis singgung persekutuan luar dua lingkaran

Melukis Lingkaran Dalam dan Luar Segitiga

Menyelesaikan Masalah tentang Lingkaran

PETA KONSEP

4 of 45

Observasi

Mungkin di antara kamu ada yang pergi ke sekolah dengan menggunakan sepeda atau diantar orang tua menggunakan sepeda motor. Tahukah kamu bahwa satu putaran roda berputar dari satu titik kembali ke titik tersebut adalah jarak tempuh satu putaran roda? Coba kamu ukur berapa jarak tempuh satu putaran roda sepeda atau sepeda motor kamu dengan cara membuat lilitan menggunakan benang atau tali dari satu titik bagian luar roda sampai kembali lagi pada titik asal. Bentangkan tali tersebut pada permukaan datar kemudian ukurlah panjangnya. Panjang tali yang telah kamu ukur tersebut yang kemudian disebut keliling roda.

5 of 45

7.1 LINGKARAN, UNSUR-UNSUR, DAN UKURANNYA

A. Tinjauan Kontekstual

6 of 45

B. Tinjauan Formal

Lingkaran adalah bangun yang dibentuk oleh kumpulan (himpunan) titik-titik yang berjarak sama ke suatu titik tertentu. Titik tertentu yang dimaksud disebut titik pusat dan jarak tertentu yang dimaksud disebut jari-jari.

Definisi 1

7 of 45

Daerah lingkaran adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran.

Definisi 2

Kerjakan Latihan 1 halaman 183 – 184

Berkenaan dengan lingkaran, kita juga perlu mengenal unsur-unsur atau bagian dari sebuah lingkaran.

8 of 45

7.2 KELILING DAN LUAS LINGKARAN

A. KELILING LINGKARAN

9 of 45

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 2 halaman 189 – 190

Diameter sebuah botol minuman 42 mm. Tentukan panjang pita merek minuman yang dipasang pada dinding (permukaan) botol minuman tersebut.

Jawab:

​

 

10 of 45

B. Luas Lingkaran

Luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran.

Kesepakatan

11 of 45

Contoh Soal

Kerjakan Latihan 3 halaman 194 – 195

Perhatikan gambar di samping. Jika satuan luas untuk setiap petak persegi tersebut 1 cm2, tentukan luas lingkaran tersebut.

 

12 of 45

7.3 SUDUT-SUDUT PADA LINGKARAN, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING

A. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Gambar 7.11(a)

∠P atau ∠APB disebut sudut pusat

Gambar 7.11(b)

∠A atau ∠BAC disebut sudut keliling

13 of 45

 

14 of 45

Bukti

Untuk pembuktian, tariklah garis perpanjangan AP hingga memotong lingkaran di titik D.

15 of 45

Gambar 7.15 Peragaan pembuktian hubungan sudut pusat dan sudut keliling secara deduktif

16 of 45

Pada lingkaran, jika sudut keliling dan sudut pusat menghadap busur yang sama, maka ukuran dari sudut keliling sama dengan setengah dari sudut pusat.

Teorema

Secara umum, kita dapat menyimpulkan bahwa:

17 of 45

Contoh Soal

Perhatikan gambar di samping. Tentukan ukuran masing-masing sudut pada ΔABC jika derajat busur-busur lingkaran luarnya seperti yang diketahui pada gambar di samping.

 

18 of 45

B. Sudut Dalam Lingkaran, Sudut Luar Lingkaran, dan Segi Empat Tali Busur

  • Gambar 7.17 (a) : ∠S merupakan sudut dalam lingkaran.
  • Gambar 7.17 (b) : ∠T merupakan sudut luar lingkaran.
  • Gambar 7.17 (c) : Segi empat ABCD merupakan segi empat tali busur.

19 of 45

​

Besar/ukuran sudut dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah ukuran busur-busur lingkaran yang dihadapinya, yakni:

​

Besar/ukuran sudut luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih ukuran busur-busur lingkaran yang dihadapinya, yakni:

​

Pada segi empat tali busur berlaku jumlah sudut yang saling berhadapan besarnya sama dengan 180°.

20 of 45

Contoh Soal

Perhatikan gambar di samping. Diketahui besar busur-busur AB = 110° dan CD = 58°. Tentukan besar ∠S dan ∠T.

Kerjakan Latihan 4 halaman 203 – 204

 

21 of 45

C. Hubungan antara Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring

22 of 45

Contoh Soal

Sudut pusat dan jari-jari sebuah juring lingkaran berturut-turut adalah 48° dan 14 cm. Tentukan panjang busur dan luas juring lingkaran itu.

Kerjakan Latihan 5 halaman 209 – 210

 

23 of 45

7.4 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN

A. Tinjauan Kontekstual

Pada konstruksi roda putar, seperti pada mesin-mesin mobil dan sejenisnya, terdapat streng. Streng (sabuk lilitan) adalah karet pengait antara dua buah roda. Jika salah satu roda diputar, maka roda lainnya yang terhubung juga akan ikut berputar. Berikut adalah dua buah konstruksi gambar streng roda pada mesin.

24 of 45

Garis singgung persekutuan adalah salah satu ruas garis yang merupakan bagian dari sabuk lilitan.

Titik singgung lingkaran adalah titik pada lingkaran sedemikian sehingga jari-jari lingkaran yang melalui titik itu tegak lurus dengan garis singgung.

Definisi

Berdasarkan definisi di atas, titik A3 pada Gambar 7.27 adalah satu-satunya titik singgung yang ada pada garis singgung tersebut. Titik-titik lainnya seperti A1, A2, A4 dan A5 bukanlah titik singgung meskipun titik-titik itu terletak pada garis singgung.

25 of 45

B. Garis Singgung Persekutuan Luar

Masalah

Dua buah lingkaran masing-masing berjari-jari r cm dan R cm. Jarak antara kedua titik pusatnya p, dan jarak antara kedua titik singgungnya sL. Bagaimana menentukan sL dalam p, r, dan R?

 

26 of 45

​

Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran (sL) dapat ditentukan dengan rumus berikut.

​

​

​

dengan:

p = jarak antara kedua titik pusat

r = panjang jari-jari lingkaran kecil

R = panjang jari-jari lingkaran besar

​

27 of 45

C. Garis Singgung Persekutuan Dalam

Masalah

Dua buah lingkaran jarak kedua titik pusatnya p. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah r dan R. Bagaimana menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam sD dalam p, r, dan R?

 

28 of 45

​

Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran (sD) dapat ditentukan dengan rumus berikut.

​

​

​

dengan:

p = jarak antara kedua titik pusat

r = panjang jari-jari lingkaran kecil

R = panjang jari-jari lingkaran besar

​

Kerjakan Latihan 6 halaman 215 – 217

29 of 45

7.5 MELUKIS LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN LUAR SEGITIGA

A. Pengenalan Bentuk

Ciri khas:

  • Lingkaran dalam menyinggung sisi-sisi segitiga dari bagian dalam.
  • Lingkaran luar tepat melingkupi segitiga melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut

30 of 45

B. Garis Singgung Lingkaran

Suatu garis disebut garis singgung pada lingkaran jika garis tersebut tepat memotong lingkaran tersebut di satu titik. Titik potong tersebut selanjutnya disebut titik singgung dari garis singgung itu dengan lingkaran.

Definisi

Sifat Garis Singgung

  1. Jika suatu garis memotong tegak lurus sebuah jari-jari lingkaran di sebuah titik pada lingkaran, maka garis tersebut adalah garis singgung.
  2. Garis singgung lingkaran tepat tegak lurus dengan jari-jari yang melalui titik singgung.

31 of 45

C. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga (Pengayaan)

Contoh Soal

Perhatikan ΔABC berikut.

Lukislah lingkaran dalam ΔABC.

A

B

C

Jawab:

32 of 45

Contoh Soal

Jawab:

  1. Lukis garis bagi ∠A.
    • Lukis busur sembarang dengan pusat A dan jari-jari tertentu. Kedua busur akan memotong sisi AB dan AC berturut-turut di titik D dan E.
    • Lukis busur dengan jari-jari tertentu di titik pusat D dan titik pusat E sehingga berpotongan di titik F.
    • Lukis segi empat ADFE berupa layanglayang sehingga diagonal AF menjadi diagonal utamanya. Akibatnya, diagonal AF akan menjadi garis bagi ∠A.
    • Hubungkan AF sehingga perpanjangannya akan memotong sisi BC di suatu titik. Beri indeks perpotongan tersebut dengan titik G.

33 of 45

  1. Lukis garis bagi ∠B.
    • Lukis busur sembarang dengan pusat B dan jari-jari tertentu. Busur tersebut memotong sisi AB dan BC berturut-turut di titik K dan L.
    • Lukis busur dengan jari-jari tertentu di titik pusat K dan titik pusat L sehingga berpotongan di titik H. Titik potong kedua garis bagi adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga.
    • Lukis segi empat yang bertitik sudut B berupa layang-layang sehingga diagonal utamanya adalah garis bagi ∠B.

Contoh Soal

34 of 45

  1. Titik potong kedua garis bagi adalah titik pusat lingkaran dalam segitiga.

Berilah indeks pada titik potong kedua garis bagi tersebut dengan titik P sehingga lingkaran dalam ΔABC terlukis, yakni lingkaran yang pusatnya di titik P dan tepat menyinggung ketiga sisi ΔABC. Lingkaran tersebut adalah lingkaran dalam segitiga.

Contoh Soal

35 of 45

C. Melukis Lingkaran Luar Segitiga (Pengayaan)

36 of 45

37 of 45

38 of 45

Contoh Soal

Diketahui ΔABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 6, BC = 5, dan AC = 4 seperti pada gambar di samping. Lukislah ΔABC dan lukis lingkaran luarnya.

Jawab:

Perhatikan langkah-langkah melukis ΔABC berikut.

  1. Buat garis mendatar. Tentukan titik A dan ukurlah AB = 6.
  2. Lukis busur dengan pusat A dan jari-jari 4 dan busur dengan pusat B dan jari-jari 5 sehingga berpotongan di titik C.
  3. Lukis ΔABC.

39 of 45

Contoh Soal

Perhatikan langkah-langkah berikut untuk melukis lingkaran luar segitiga ΔABC.

  1. Lukis sumbu AB dan sumbu AC. Kedua sumbu akan berpotongan di satu titik, yaitu titik P sehingga titik P adalah titik pusat lingkaran luar ΔABC.
  2. Lukis lingkaran dengan pusat P dan jari-jarinya = PA. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar ΔABC.

​

Kerjakan Latihan 7 halaman 227

40 of 45

7.6 PERHITUNGAN JARI-JARI LINGKARAN DALAM DAN

LINGKARAN LUAR SEGITIGA (PENGAYAAN)

A. Tinjauan Kontekstual

41 of 45

B. Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga

Masalah

Misalkan pada ΔABC panjang ketiga sisi segitiga tersebut berturut-turut adalah a = 9 m, b = 10 m, dan c = 17 m. Perhatikan bahwa a adalah panjang sisi di depan ∠A, b adalah panjang sisi di depan ∠B, dan c adalah panjang sisi di depan ∠C. Bagaimana cara menentukan jari-jari lingkaran dalam ΔABC?

Pemecahan Masalah:

Perhatikan Gambar 7.51 di samping. Segitiga ABC dengan titik pusat lingkaran dalam P. Titik-titik singgung lingkaran dalam D, E, dan F membagi sisi-sisi a, b, dan c menjadi 2 bagian dengan panjang masing-masing adalah sebagai berikut.

a = x1 + x2

b = y1 + y2

c = z1 + z2

Keliling segitiga = a + b + c.

42 of 45

 

43 of 45

 

 

44 of 45

C. Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Masalah

Misalkan pada segitiga ABC, panjang ketiga sisinya, yaitu a, b, dan c diketahui. Bagaimana bentuk dan perhitungan panjang jari-jari lingkaran luar ΔABC tersebut? Perhatikan uraian berikut.

ΔABC dengan panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Misalkan R dan L berturut-turut adalah jari-jari lingkaran luar dan luas segitiga. Akan dibuktikan bahwa jari-jari lingkaran luar segitiga adalah sebagai berikut.

 

45 of 45

 

 

Kerjakan Latihan Ulangan Bab 7 halaman 233 – 238

Kerjakan Latihan 8 halaman 231